高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.4 空间直角坐标系课后作业 新人教B版必修2.doc

2.4空间直角坐标系一、非标准1.点p(2,3,4)到x轴的距离是()a.b.2c.5d.答案:c2.在空间直角坐标系中,p(2,3,4),q(-2,3,-4)两点的位置关系是()a.关于x轴对称b.关于yoz平面对称c.关于坐标原点对称d.关于y轴对称解析:因为p,q两点的y坐标相同,x坐标,z坐标分别互为相反数,它们的中点在y轴上,并且pq与y轴垂直,故p,q关于y轴对称.答案:d3.空间一点p在xoy面上的射影为m(1,2,0),在xoz面上的射影为n(1,0,3),则p在yoz面上的射影q的坐标为()a.(1,2,3)b.(0,0,3)c.(0,2,3)d.(0,1,3)解析:由点p在xoy面上的射影,知点p的x坐标为1,点p的y坐标为2,又点p在xoz面上的射影为n(1,0,3),所以点p的z坐标为3.故点p(1,2,3)在yoz面上的射影为q(0,2,3).答案:c4.已知a(1-t,1-t,t),b(2,t,t),则a,b两点间距离的最小值是()a.b.c.d.解析:因为d(a,b)=,所以a,b两点间距离的最小值是.答案:c5.如图所示,在正方体abcd-abcd中,棱长为1,点p在对角线bd上,且bp=bd,则点p的坐标为()a.b.c.d.解析:点p在坐标面xdy上的射影落在bd上.因为bp=bd,所以点p的x坐标和y坐标都为,点p的z坐标为.故点p的坐标为.答案:d6.(2013北京高考)如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,p为对角线bd1的三等分点,p到各顶点的距离的不同取值有()a.3个b.4个c.5个d.6个解析:设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系,如图所示.则d(0,0,0),d1(0,0,a),c1(0,a,a),c(0,a,0),b(a,a,0),b1(a,a,a),a(a,0,0),a1(a,0,a),p,则|pb|=a,|pd|=a,|pd1|=a,|pc1|=|pa1|=a,|pc|=|pa|=a,|pb1|=a,故共有4个不同取值,故选b.答案:b7.有一个棱长为1的正方体,对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面,给出以下各点:a(1,0,1),b(-1,0,1),c,d,e,f,则位于正方体之外的点是.解析:由题意知,位于正方体内或面上的点的三个坐标的绝对值均小于或等于.答案:a,b,f8.已知点p在x轴上,它到点p1(0,3)的距离是到点p2(0,1,-1)的距离的2倍,则点p的坐标是.解析:因为点p在x轴上,设p(x,0,0),则|pp1|=,|pp2|=.因为|pp1|=2|pp2|,所以=2,解得x=1.所以所求点的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).答案:(1,0,0)或(-1,0,0)9.若点p(x,y,z)到a(1,0,1),b(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是,猜想它表示的图形是.解析:由两点间距离公式得(x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2,化简得2x+2y-2z-3=0,由几何图形的性质知这个方程表示线段ab的中垂面.答案:2x+2y-2z-3=0线段ab的中垂面10.如图所示,已知正四面体abcd的棱长为1,e,f分别为棱ab,cd的中点.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点a,b,c,d的坐标;(2)求ef的长.解:正四面体的顶点和底面正三角形中心的连线是正四面体的高,以底面正三角形的中心为坐标原点,高为z轴,建立空间直角坐标系.(1)设底面正三角形bcd的中心为点o,连接ao,do,延长do交bc于点m,则ao平面bcd,m是bc的中点,且dmbc,过点o作onbc,交cd于点n,则ondm,故以o为坐标原点,om,on,oa所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为正四面体abcd的棱长为1,o为底面bcd的中心,所以|od|=|dm|=,|om|=|dm|=.|oa|=.所以a,b,c,d.(2)点e是ab的中点,点f是cd的中点,由(1)及中点坐标公式,得e,f,所以|ef|=.11.在空间直角坐标系中,已知a(3,0,1)和b(1,0,-3),试问:(1)在y轴上是否存在点m,满足|ma|=|mb|?(2)在y轴上是否存在点m,使mab为等边三角形?若存在,试求出点m的坐标.解:(1)假设在y轴上存在点m满足|ma|=|mb|,设m(0,y,0),则有,由于此式对任意yr恒成立,即y轴上所有点均满足条件|ma|=|mb|.(2)假设在y轴上存在点m,使mab为等边三角形.由(1)可知,y轴上任一点都满足|ma|=|mb|,所以只要|ma|=|ab|就可以使得mab是等边三角形.因为|ma|=,|ab|=,所以,解得y=或y=-.故y轴上存在点m使mab为等边三角形,点m的坐标为(0,0)或(0,-,0).12.已知正方形abcd,abef的边长都是1,而且平面abcd与平面abef互相垂直,点m在ac上移动,点n在bf上移动,若|cm|=|bn|=a(0a).求:(1)mn的长;(2)a为何值时,mn的长最小.解:(1)因为平面abcd平面abef,又平面abcd平面abef=ab,所以abbe.所以be平面abcd