高中数学 第四章 圆与方程本章测评 新人教A版必修2.doc

第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2.直线l:x-y=1与圆c:x2+y2-4x=0的位置关系是()a.相离b.相切c.相交d.无法确定解析:圆c的圆心为c(2,0),半径为2,圆心c到直线l的距离d=2,所以圆c与直线l相交.答案:c3.圆x2+y2-4x=0在点p(1,)处的切线方程为()a.x+y-2=0b.x+y-4=0c.x-y+4=0d.x-y+2=0解析:点p(1,)在圆x2+y2-4x=0上,点p为切点.从而圆心与点p的连线应与切线垂直.又圆心为(2,0),设切线斜率为k,k=-1,解得k=.切线方程为x-y+2=0.答案:d4.两圆相交于点a(1,3),b(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为()a.-1b.2c.3d.0解析:由条件可知,ab的中点在直线x-y+c=0上,且ab与该直线垂直,解得m+c=5-2=3.答案:c5.圆c1:x2+y2+2x+2y-2=0与c2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有()a.1条b.2条c.3条d.4条解析:两圆的标准方程分别为(x+1)2+(y+1)2=4,(x-2)2+(y-1)2=4.|c1c2|=.|r1-r2|c1c2|r1+r2,即两圆相交,两圆共有两条公切线.答案:b6.(2016河南洛阳八中段考试题)已知圆c经过a(5,1),b(1,3)两点,圆心c在x轴上,则圆c的方程为()a.(x-2)2+y2=50b.(x+2)2+y2=10c.(x+2)2+y2=50d.(x-2)2+y2=10解析:易得线段ab的垂直平分线为2x-y-4=0.因为圆心在此垂直平分线上,令y=0,得x=2,圆心为(2,0),半径为,圆c的方程为(x-2)2+y2=10.答案:d7.已知圆的方程是x2+y2=36,记过点p(1,2)的最长弦和最短弦分别为ab,cd,则直线ab,cd的斜率之和等于()a.-1b.c.1d.-解析:圆心坐标为o(0,0),当过点p(1,2)的最长弦ab过圆心o时,弦ab最长,此时直线ab的斜率k=2;过点p(1,2)的弦以p为中点时,此时弦cd最短,此时满足cdab,所以直线cd的斜率k=-,所以直线ab,cd的斜率之和为-+2=.答案:b8.一束光线自点p(1,1,1)发出,被xoy平面反射,到达点q(3,3,6)被吸收,则光线自点p到点q所走的距离是()a.b.12c.d.57解析:点q关于xoy平面的对称点为q(3,3,-6),|pq|=.答案:c9.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差为()a.36b.18c.6d.5解析:x2+y2-4x-4y-10=0(x-2)2+(y-2)2=18,圆心(2,2),半径为3.圆心到直线x+y-14=0的距离为=5,直线与圆相离.圆上的点到直线的最大距离与最小距离之差为圆的直径,即6.答案:c10.若圆c1:x2+y2=1与圆c2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()a.21b.19c.9d.-11解析:易知圆c1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.将圆c2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m25),得圆c2的圆心坐标为(3,4),半径r2=(m25).由两圆相外切,得|c1c2|=r1+r2=1+=5,解得m=9.故选c.答案:c11.圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为()a.36b.12c.4d.4解析:由题意,圆心为(0,-1).又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以s=4()2=12.答案:b12.导学号96640137过点(,0)引直线l与曲线y=相交于a,b两点,o为坐标原点,当aob的面积取最大值时,直线l的斜率等于()a.b.-c.d.-解析:曲线y=的图象如图所示:若直线l与曲线相交于a,b两点,则直线l的斜率k0),圆心(a,b)到直线x-y-1=0的距离d=r.圆c过a(4,1),b(2,1),(4-a)2+(1-b)2=r2,(2-a)2+(1-b)2=r2.由,得a=3,b=0,r=,圆的方程为(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=216.已知圆c过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆c所截得的弦长为2,则过圆心,且与直线l垂直的直线的方程为.解析:设圆心(a,0)(a0),+()2=|a-1|2.a=3.圆心(3,0).所求直线方程为x+y-3=0.答案:x+y-3=0三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求下列各圆的标准方程.(1)圆心在y=0上,且过两点a(1,4),b(3,2);(2)圆心在直线2x+y=0上,且与直线x+y-1=0切于点m(2,-1).解:(1)设圆心坐标为(a,b),半径为r,则所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆心在y=0上,故b=0,圆的方程为(x-a)2+y2=r2.又该圆过a(1,4),b(3,2)两点,解得a=-1,r2=20.所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.(2)已知圆与直线x+y-1=0相切,并且切点为m(2,-1),则圆心必在过点m(2,-1)且垂直于x+y-1=0的直线l上,l的方程为y+1=x-2,即y=x-3.由解得即圆心为(1,-2).r=,所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.18.(本小题满分12分)已知点a(0,2)是圆x2+y2=16内的定点,b,c是这个圆上的两个动点,若baca,求bc中点m的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线.解:设点m(x,y).m是弦bc的中点,ombc.又bac=90,|ma|=|bc|=|mb|.|mb|2=|ob|2-|om|2,|ob|2=|mo|2+|ma|2,即42=(x2+y2)+(x-0)2+(y-2)2,化简为x2+y2-2y-6=0,即x2+(y-1)2=7.所求轨迹为以(0,1)为圆心,以为半径的圆.19.(本小题满分12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.解:设圆心为c(a,a-1),半径为r,则点c到直线l2的距离d1=.点c到直线l3的距离是d2=.由题意,得解得a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy中,o为坐标原点,圆o过点m(1,).(1)求圆o的方程;(2)若直线l1:y=mx-8与圆o相切,求m的值;(3)过点(0,3)的直线l2与圆o交于a,b两点,点p在圆o上,若四边形oapb是菱形,求直线l2的方程.解:(1)圆o的半径r=2.故圆o的方程为x2+y2=4.(2)若直线l1与圆o相切,则=2,解得m=.(3)由题意可设直线l2的方程为y=kx+3,四边形oapb为菱形,op与ab垂直平分,故圆心o到直线l2的距离应为|op|=1,即=1,解得k2=8,k=2,直线l2的方程为y=2x+3或y=-2x+3.21.(本小题满分12分)已知圆c:x2+y2-4x-14y+45=0及点q(-2,3),(1)若点p(m,m+1)在圆c上,求直线pq的斜率;(2)若点m是圆c上任意一点,求|mq|的最大值、最小值;(3)若n(a,b)满足关系:a2+b2-4a-14b+45=0,求出t=的最大值.解:圆c:x2+y2-4x-14y+45=0可化为(x-2)2+(y-7)2=8.(1)因为点p(m,m+1)在圆c上,所以m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解得m=4,故点p(4,5).所以直线pq的斜率是kpq=.(2)如图,点m是圆c上任意一点,q(-2,3)在圆外,所以|mq|的最大值、最小值分别是|qc|+r,|qc|-r.易求|qc|=4,r=2,所以|mq|max=6,|mq|min=2.(3)易知点n在圆c:x2+y2-4x-14y+45=0上,t=表示的是定点q(-2,3)与圆上的动点n连线l的斜率.设l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.当直线l和圆c相切时,d=r,即=2,解得k=2.所以t=的最大值为2+.22.导学号96640139(本小题满分12分)已知圆c的方程:x2+y2-2x-4y+m=0,其中m5. (1)若圆c与直线l:x+2y-4=0相交于m,n两点,且|mn|=,求m的值;(2)在(1)的条件下,是否存在直线l:x-2y+c=0,使得圆上有四点到直线l的距离为?若存在,求出c的取值范围;若不存在,说明理由.解