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空间解析几何基本知识一、向量1、已知空间中任意两点和，则向量2、已知向量、，则（1）向量的模为（2）（3）3、向量的内积（1）（2）其中为向量的夹角，且注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。4、向量的外积（遵循右手原则，且、）5、（1）（2）二、平面1、平面的点法式方程已知平面过点，且法向量为，则平面方程为注意：法向量为垂直于平面2、平面的一般方程，其中法向量为3、（1）平面过原点 （2）平面与轴平行（与面垂直）法向量垂直于轴（如果，则平面过轴）平面与轴平行（与面垂直）法向量垂直于轴（如果，则平面过轴）平面与轴平行（与面垂直）法向量垂直于轴（如果，则平面过轴）（3）平面与面平行法向量垂直于面平面与面平行法向量垂直于面平面与面平行法向量垂直于面注意：法向量的表示三、直线1、直线的对称式方程过点且方向向量为直线方程注意：方向向量和直线平行2、直线的一般方程，注意该直线为平面和的交线3、直线的参数方程4、（1）方向向量，直线垂直于轴（2）方向向量，直线垂直于轴（3）方向向量，直线垂直于轴5、（1）方向向量，直线垂直于面（2）方向向量，直线垂直于面（3）方向向量，直线垂直于面应用一、柱面1、设柱面的准线方程为，母线的方向向量，求柱面方程方法：在准线上任取一点，则过点的母线为 又因为在准线上，故 （1） （2）令 （3）由（1）、（2）、（3）消去求出，再把代入求出关于的方程，则该方程为所求柱面方程例1：柱面的准线为，而母线的方向为，求这柱面方程。 解：在柱面的准线上任取一点，则过点的母线为即（1）又因为在准线上，故（2），（3）由（1）（2）（3）得2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径方法：在圆柱面上任取一点，过点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点，则为圆柱的半径例2：已知圆柱面的轴为，点（1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。解：设圆柱面上任取一点，过点且垂直于轴的平面为轴方程的参数式为代入平面方程得 故该平面和轴的交点为过点（1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得注意：也可找圆柱面的准线圆处理例3：求以直线x=y=z为对称轴，半径R=1的圆柱面方程解：在圆柱面上任取一点，过点且垂直于轴的平面为轴方程的参数式为代入平面方程得 故该平面和轴的交点为M1则的长等于半径R=1故利用距离公式得即所求方程为二、锥面锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。1、设锥面的准线为，顶点为，求锥面方程方法：在准线上任取一点，则过点的母线为 （1）又因为在准线上，故 （2） （2）由（1）、（2）、（3）消去求出关于的方程，则该方程为所求锥面方程例1锥面的顶点在原点，且准线为，求这锥面方程。解：在准线上任取一点，则过点的母线为 又因为在准线上，故且上面三个方程消去得2、圆锥面已知圆锥面的顶点，对称轴（或轴）的方向向量为，求圆锥面方程方法：在母线上任取一点，则过该点的母线的方向向量为利用和的夹角不变建立关于的方程，该方程为所求例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（）解：在坐标轴上取三点，则过三点的平面为故对称轴的方向向量为，一条母线的方向向量为，则母线和对称轴的夹角为，即在母线上任取一点，则过该点的母线的方向向量为所以例3圆锥面的顶点为，轴垂直于平面，母线和轴成，求圆锥面方程解：在母线上任取一点，轴的方向向量为，母线的方向向量为则即 三、旋转曲面设旋转曲面的母线方程为，旋转轴为，求旋转曲面方程方法：在母线上任取一点，所以过的纬圆方程又因为在母线上，有由上述四个方程消去的方程为旋转曲面例4求直线绕直线：旋转一周所得的旋转曲面的方程。解：在母线上任取一点，则过的纬圆方程又因为在母线上，有由上述方程消去的方程得四、几种特殊的曲面方程1、母线平行于坐标轴的柱面方程设柱面的准线是平面上的曲线，则柱面方程为设柱面的准线是平面上的曲线，则柱面方程为设柱面的准线是平面上的曲线，则柱面方程为注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母 （2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、抛物线柱面例求柱面方程（1）准线是，母线平行于轴解：柱面方程为（2）准线是，母线平行于轴解：柱面方程为（3）准线是，母线平行于轴解：2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面设母线是，旋转轴是轴的旋转曲面为；旋转轴是轴的旋转曲面为（同理可写出其它形式的旋转曲面方程）注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。例方程是什么曲面，它是由面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的解：面上的绕轴旋转而成的3、平行于坐标面的平面和曲面的交线方程平行于面的平面和曲面的交线为平行于面的平面和曲面的交线为平行于面的平面和曲面的交线为例求曲面和三个坐标面的交线（1）解：、（2）解：注意在面上无交线（3）解：在面上交于一点五、求投影 1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点方法：（1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量（2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影例5（1）求点在平面上的投影（2）求点到平面的距离，并求该点关于平面的对称点坐标（1）求过直线且与点的距离为1的平面方程2、求点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点方法：（1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量（2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影例6（1）求点到直线的距离，该点在直线上的投影（2）求点到直线的距离3、直线在平面上的投影方法：（1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面法向量的外积（2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影例7（1）求直线在平面上的投影直线的方程（2）直线在面上的投影为，在面上的投影为，求直线在面上的投影4、曲线在坐标面上的投影柱面及投影方法：（1）消去得，则为曲线在面上的投影（2）消去得，则为曲线在面上的投影（3）消去得，则为曲线在面上的投影例（1）求球面与平面的交线在面上的投影柱面及投影（2）把曲线的方程用母线平行于轴和轴的两个投影柱面方程表示解：消去得母线平行于轴的投影柱面方程；消去得母线平行于轴的投影柱面方程，因此曲线可表示为五、求平面方程1、过直线的平面方程可设为如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理例（1）在过直线的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。（2）平面过轴，且与平面的夹角为，求该平面方程（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角）（3）求过点和直线的平面方程（4）过直线作平面，使它平行于直线 (5)过平面和的交线作切于球面的平面（6）求由平面所构成的两面角的平分面方程 2、利用点法式求平面方程注意：（1）任何垂直于平面的向量均可作为平面的法向量（2）和平面平行的平面可设为（3）如存在两个向量、和平面平行（或在平面内），则平面的法向量为例（1）已知两直线为，求过两直线的平面方程（2）求过和两点，且垂直于平面的平面（3）一平面垂直于向量且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程（4）已知球面与一通过球心且与直线垂直的平面相交，求它们的交线在面上的投影3、轨迹法求方程方法：（1）设平面上任一一点（2）列出含有的方程化简的平面方程例求由平面和所构成的二面角的平分面的方程六、求直线方程1、把直线的一般方程化为点向式方程方法：已知直线方程为，则该直线的方向向量为在直线上任取一点，则直线方程为例化直线的一般方程为标准方程2、根据直线的方向向量求直线方程例（1）过点，且平行于两相交平面和的直线方程（2求过点，且与直线平行的直线方程（3）求过点，且与平面平行，又与直线垂直的直线方程注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量3、利用直线和直线的位置关系求直线方程注意：（1）两直线平行，则，其中和为直线的方向向量（2）两直线和相交，则且（3）两直线和异面，其中公垂线的方向向量为，则两异面直线的距离为；公垂线方程为例（1）求通过点且与两直线和都相交的直线方程解：设所求直线的方向向量为，已知两直线的方向向量为、，且分别过点、则，即；，即故，故所求直线为（2）已知两异面直线和，求它们的距离与公垂线方程（3）求与直线平行且与下列两直线相交的直线和（4）求过点与轴相交，且与已知直线垂直的直线方程习题1、已知柱面的准线为且（1）母线平行于轴（2）母线平行于直线，求柱面方程2、已知柱面的准线为母线垂直于准线所在的方程，求柱面方程3、求过三条平行线的圆柱面方程4、求顶点为原点，准线为的锥面方程5、顶点为，准线为，求锥面方程6、顶点为，轴垂直于平面，且过点，求该圆锥面的方程7、求下列旋转曲面方程（1）直线绕直线旋转（2）直线绕直线旋转（3）直线绕直线旋转（4）曲线绕直线旋转8例求曲面和三个坐标面的交线（1） （2） （3）9（1）求点关于直线的对称点（2）求点到直线的距离，10求直线在平面上的投影直线的方程11求曲线在三个坐标面的投影柱面和投影 12（1）过直线作平面，使它垂直于平面（2）求过点和直线的平面方程（3）求过两平面、交线且与平面垂直的平面（4）求过点和直线的平面方程（5）过直线且与直线垂直（6）过直线且与平面垂直的平面(7)在过直线的所有平面中找出一个平面，使它与原点的距离最远13（1）求平行于平面且与球面相切的平面方程（2）求过两直线、的平面方程（3）求和平面平行，且距离为3的平面（4）求和两直线，平行且与两直线等距离的平面方程（5）求过点，且垂直于平面与的平面方程14（1）求由平面和所构成的二面角的平分面的方程（2）动点与点的距离