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文档简介
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 平面向量的概念与线性运算(2)导学案 文知识梳理:1. 向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有 的量叫向量;通常记为 ;长度为 的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量 加法与减法(1).向量加法按 法则或 法则;向量加运算律:交换律: ;结合律: (2).向量减法作法:3.实数与向量的积(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度与方向规定如下:长度: 方向: (2)运算律 4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、题型探究探究一:平面向量的基本概念例1给出下列命题:若|,则=;若a,b,c,d是不共线的四点,则是四边形abcd为平行四边形的充要条件;若=,=,则=;=的充要条件是|=|且/; 若/,/,则/;其中正确的序号是 。 解析:(1)不正确两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同;正确; , 且,又 a,b,c,d是不共线的四点, 四边形 abcd为平行四边形;反之,若四边形abcd为平行四边形,则,且,因此,。正确; =, ,的长度相等且方向相同;又, ,的长度相等且方向相同, ,的长度相等且方向相同,故。 不正确;当/且方向相反时,即使|=|,也不能得到=,故|=|且/不是=的充要条件,而是必要不充分条件; 不正确;考虑=这种特殊情况; 综上所述,正确命题的序号是。点评:本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多,因而容易遗忘。为此,复习时一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。例2:设为单位向量,(1)若为平面内的某个向量,则=|;(2) 若与a0平行,则=|;(3)若与平行且|=1,则=。上述命题中,假命题个数是( )a0b1c2d3解析:向量是既有大小又有方向的量,与|模相同,但方向不一定相同,故(1)是假命题;若与平行,则与方向有两种情况:一是同向二是反向,反向时=|,故(2)、(3)也是假命题。综上所述,答案选d。点评:向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要分清,理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。探究二:平面向量的线性运算例2:如图所示,已知正六边形abcdef,o是它的中心,若=,=,试用,将向量, 表示出来。(1)解析:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量,来表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形abcdef是正六边形,所以它的中心o及顶点a,b,c四点构成平行四边形abco,所以,=,= =+,由于a,b,o,f四点也构成平行四边形abof,所以=+=+=2+,同样在平行四边形 bcdo中,()2,。点评:其实在以a,b,c,d,e,f及o七点中,任两点为起点和终点,均可用 ,表示,且可用规定其中任两个向量为,另外任取两点为起点和终点,也可用,表示。探究三:平面向量共线定理例3:如图所示,abc中,点m是bc的中点,点n在ac边上,且an=2nc,am与bn相交于点p,求ap:pm的值.解:设=e1, e2,则=-3e2-e1, 2e1+e2,apm和bpn分别共线,存在r,使=-e1-3e2, =2e1+e2.故=(+2)e1+(3+)e2,而2e1+3e2,由平面向量基本定理得,即ap:pm=4:1.三、方法提升1、向量的线性运算可以结合图形,利用三角形法则或平行四边形法则,特别是有向线段表示向量运算时,要利用“首尾相接”或“起点相同”来化简;2、证明三点共线问题,可用向量共线定理来解决。四、反思感悟 五、课时作业1.(2010四川)设点m是线段bc的中点,点a在直线bc外, =16,|则|=( )a.8 b.4 c.2 d.1解析:由可知,则am为rtabc斜边bc上的中线,因此,|选c.2.已知abc中,点d在bc边上,且则r+s的值是( ) c.-3 d.0解析: 又r=,r+s=0.故选d.3.平面向量a,b共线的充要条件是( )a.a,b方向相同 b.a,b两向量中至少有一个为0c.存在r,使b=a d.存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故a错.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故b错.当b=a时,a,b一定共线,若b0,a=0.则b=a不成立,故c错.排除a、b、c,故选d.4.已知oab是平面上的三个点,直线ab上有一点c,满足则等于( )解析:故选a.5.设def分别是abc的三边bc、ca、ab上的点,且则与a.反向平行b.同向平行 c.不平行d.无法判断解析:故选a.6.已知a,b是不共线的向量, =a+b, =a+b,(,r),那么a、b、c三点共线的充要条件为()a.+=2 b.-=1 c.=-1 d.=1解析:对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由a、b、c三点共线a+b=ma+mb(-m)a=(m-1)b.因为a,b不共线,所以必有故可得=1.反之,若=1,则=所以 (a+b)=所以a、b、c三点共线.故选d.7、关于非零向量a ,b ,有下列四个命题 “|a|+|b |=|a+b|”的充要条件是“a 与b方向相同”; “|a|+|b |=|a-b|”的充要条件是“a 与b方向相反”; “|a|+|b |=|a-b|”的充要条件是“a 与b有相等的模”;“|a|-|b |=|a-b|”的充要条件是“a 与b方向相同”;其中真命题的个数是(a) 1个 (b)2个 (c)3个 (d)4个二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上
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