学案19 排列、组合和二项式定理.ppt

1 理解分类计数原理和分步计数原理 会用分类计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际问题 2 理解排列 组合的概念 能利用排列公式 组合公式 解决简单的实际问题 3 二项式定理 1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 学案19排列 组合和二项式定理 1 2009 全国 甲组有5名男同学 3名女同学 乙组有6名男同学 2名女同学 若从甲 乙两组中各选出2名同学 则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 a 150种b 180种c 300种d 345种解析若从甲组中选出1名女同学 有种选法 则甲组还需从5名男同学中选1名 有种选法 其余2名同学还应从乙组的男同学中选 有种 此时有 225 种 若从乙组中选1名女同学 有种选法 则 乙组还需从男同学中选1人 有种选法 从甲组的5名男同学中选2名 共有种 此时有 120 种 故共有225 120 345 种 不同选法 答案d2 2009 湖北 将甲 乙 丙 丁四名学生分到三个不同的班 每个班至少分到一名学生 且甲 乙两名学生不能分到同一个班 则不同分法的种数为 a 18b 24c 30d 36解析用间接法解答 四名学生中有两名学生在一个班的种数是顺序有种 而甲乙被分在同一个班的有种 所以种数是 c 3 2009 北京 用0到9这10个数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 a 324b 328c 360d 648解析若组成没有重复数字的三位偶数 可分为两种情况 当个位上是0时 共有9 8 72 种 情况 当个位上是不为0的偶数时 共有4 8 8 256 种 情况 综上 共有72 256 328 种 情况 b 4 2009 四川 的展开式的常数项是 用数字作答 解析设展开式中第r 1项是常数项 20 题型一计数原理 例1 1 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法共有 a 10种b 20种c 25种d 32种解析因为每人均有两种选择方法 所以不同的报名方法有25 32种 d 2 2009 全国 甲 乙两人从4门课程中各选修2门 则甲 乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 a 6种b 12种c 24种d 30种解析甲 乙所选的课程中恰有1门相同的选法为 探究拓展 加法原理和乘法原理的应用实质是对问题的分类或分步的讨论 正确的分类或分步的关键是弄清楚分类或分步的区别 分类是对问题的不同情况分别处理 而分步是对完成该问题的一种方法分成几步去做 分步和分类往往交互使用 c 变式训练1 1 生产过程有4道工序 每道工序需要安排一人照看 现从甲 乙 丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序 第一道工序只能从甲 乙两工人中安排1人 第四道工序只能从甲 丙两工人中安排1人 则不同的安排方案有 a 24种b 36种c 48种d 72种解析若第一道工序由甲来完成 则第四道工序必由丙来完成 故完成方案共有 12种 若第一道工序由乙来完成 则第四道工序必由甲 丙二人之一来完成 故完成方案共有 24种 不同的安排方案共有 36种 b 2 将1 2 3填入3 3的方格中 要求每行 每列都没有重复数字 右面是一种填法 则不同的填写方法共有 a 6种b 12种c 24种d 48种解析由于3 3方格中 每行 每列均没有重复数字 因此可从中间斜对角线填起 如图中的 当 全为1时 有2种 即第一行第2列为2或3 当第二列填2时 第三列只能填3 当第一行填完后 其他行的数字便可确定 当 全为2或3时 分别有2种 共有6种 当 分别为1 2 3时 也共有6种 所以不同的填写方法共12种 b 题型二排列与组合 例2 1 2009 湖南 某政府召集5家企业的负责人开会 已知甲企业有2人到会 其余4家企业各有1人到会 会上有3人发言 则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 a 14b 16c 20d 48解析3个来自不同企业的可能情况的种数为 b 2 12名同学合影 站成了前排4人后排8人 现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排 若其他人的相对顺序不变 则不同调整方法的种数是 a b c d 解析在后排选出2个人有种选法 分别插入到前排中去 有种方法 由乘法原理知共有种调整方案 c 探究拓展 解决排列 组合通常分三步 一 分清问题的性质是分类还是分步 分类时还要做到不重不漏 二 分步计算时要先选后排 写出每一类或每一步的方法种数 三 各分类种数相加或分步种数相乘 然后得出结果 变式训练2 1 2009 湖北 从5名志愿者中选派4人在星期五 星期六 星期日参加公益活动 每人一天 要求星期五有一人参加 星期六有两人参加 星期日有一人参加 则不同的选派方法共有 a 120种b 96种c 60种d 48种解析从5人中选4人有种方法 星期五有一人参加有种方法 星期六有两人参加有种方法 共有 5 4 3 60种选派方法 c 2 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践 每个班去一个工厂 每个工厂至少安排一个班 则不同的安排方法共有 种 用数字作答 解析由题意知必有2个班去同一个工厂 故将5个班中的2个作为一组 与其他3个班共为4组 再将这4组安排在4个不同的工厂 所以不同的安排种数为 240 题型三二项式定理 例3 1 2009 江西 若能被7整除 则x n的值可能为 a x 4 n 3b x 4 n 4c x 5 n 4d x 6 n 5解析由分别将选项a b c d代入检验知 仅有c适合 c 2 2009 陕西 若 1 2x 2009 a0 a1x a2009x2009 x r 则的值为 a 2b 0c 1d 2解析 1 2x 2009 a0 a1x a2009x2009 其中a0 1所以 c 3 1 2x 3 1 x 4展开式中x的系数为 解析 1 2x 3 1 x 4展开式中x项为 所求系数为 探究拓展 利用二项展开式的通项公式求二项式中的某种特定项是一类典型的问题 首先要确定通项公式中r的取值范围 还需注意二项式系数与项的系数的区别与联系 2 变式训练3 1 2009 北京 若 a b为有理数 则a b等于 a 33b 29c 23d 19解析 又 a b为有理数 a 17 b 12 a b 29 2 的展开式中 常数项为15 则n等于 a 3b 4c 5d 6解析令2n 3r 0 而r 0 1 2 n 则则r 2 4 6 8 n 3 6 9 此时只有 15 所以n 6 b d 考题再现 2009 四川 2位男生和3位女生共5位同学站成一排 若男生甲不站两端 3位女生中有且只有两位女生相邻 则不同排法的种数是 a 60b 48c 42d 36 解题示范 解析方法一从3位女生中任取2人 捆 在一起记作a a共有种不同排法 剩下一名女生记作b 两位男生分别记作甲 乙 则男生甲必须在a b之 间 若甲在a b两端 则为使a b不相邻 只有把男生乙排在a b之间 此时就不能满足男生甲不在两端的要求 此时共有6 2 12种排法 a左b右和a右b左 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙 所以 共有12 4 48种不同排法 方法二从3位女生中任取2人 捆 在一起记作a a共有种不同排法 剩下一名女生记作b 两位男生分别记作甲 乙 为使男生甲不在两端可分三类情况 第一类 女生a b在两端 男生甲 乙在中间 共有种排法 第二类 捆绑 a和男生乙在两端 则中间女生b和男生甲只有一种排法 此时共有种排法 第三类 女生b和男生乙在两端 同样中间 捆绑 a和男生甲也只有一种排法 此时共有种排法 故不同排法为24 12 12 48种 答案b5分 1 两个计数原理的应用 1 应用分类计数原理要求每一种方法都能把事件独立完成 即每法皆可完 方法可分类 应用分步计数原理要求每步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤 即每法必分步 每步皆未完 2 在应用分类计数原理和分步计数原理解决问题时 一般先分类再分步 每一步中可能要用到分类计数原理 3 对于复杂问题 往往同时运用两个原理 恰当地画出示意图或用列出表格的方法来帮助分析 是使问题形象化 具体化 直观化的有效手段 2 关于排列 组合综合题解法的若干技巧 1 解排列 组合混合题一般是先组合后排列或先利用元素的性质进行分类 分步 再利用两个计数原理作最后处理 2 对于较难解决的问题可用间接法 但应做到不重不漏 3 对于有附加条件的排列 组合应用题 通常采用以下途径思考 以元素为主 即先满足特殊元素的要求 再考虑其它元素 以位置为主 即先满足特殊位置的要求 4 关于排列 组合问题的求解 应掌握以下基本方法与技巧 特殊元素 特殊位置 优先安排 排列 组合混合问题先选后排 相邻问题捆绑处理 不相邻问题插空处理 定序问题排除 法处理 分排问题直排处理 小集团 排列问题先整体后局部 合理分类与准确分步 正难则反 等价转化 构造模型 解决问题 3 二项式定理及应用 1 对于二项式定理中 二项展开式的特征要分清 清楚各项的变化规律 2 通项是解决二项式定理问题的重要公式 高考中很多问题都是用它来解决 3 赋值法是求二项式系数问题的常用方法 给a b赋予特殊值往往可以快速解决展开式 部分 系数 绝对值 和等问题的常用方法 4 对于二项式相乘的系数求解问题 前后搭配是常用的有效手段 一 选择题1 2009 广东 2010年广州亚运会要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四个分别从事翻译 导游 礼仪 司机四项工作 若其中小张和小赵只能从事前两项工作 其余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有 a 36种b 12种c 18种d 48种解析分两类 若小张和小赵恰有1人入选 则有选法若小张 小赵都入选 则有选法 12 共有选法36种 a 2 由数字1 2 3 9组成的三位数中各位数字按严格递增 如 156 或严格递减 如 421 顺序排列的数的个数是 a 120b 168c 204d 216解析可分两步完成 首先选出三个数字 有种选法 然后再按从小到大或从大到小排列 有2种排法 所以共有84 2 168个 b 3 从1 3 5 7中任取2个数字 从2 4 6 8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数 其中能被5整除的四位数的个数为 a 120b 300c 240d 108解析第一步把5放到四位数的个位上 第二步从1 3 7中任取1个数字 有种方法 第三步从2 4 6 8中任取2个数字 有种方法 第四步把选出的3个数字分别放在四位数的千位 百位与十位上 有种方法 故共有个 d 4 2009 江西 1 ax by n展开式中不含x的项的系数绝对值和为243 不含y的项的系数绝对值的和为32 则a b n的值可能为 a a 2 b 1 n 5b a 2 b 1 n 6c a 1 b 2 n 6d a 1 b 2 n 5解析令x 0 y 1得 1 b n 243 令y 0 x 1得 1 a n 32 将选项a b c d代入检验知d正确 其余均不正确 d 5 如图所示 一环形花坛分成a b c d四块 现有4种不同的花供选种 要求在每块里种1种花 且相邻的2块种不同的花 则不同的种法总数为 a 96b 84c 60d 48解析当花坛中的花各不相同时 共有种不同的种法 若在花坛中种植三种花 此时一种方法是a与c种的花相同有种 b d各不相同有种 另 一种方法是b d相同 a c各不相同 共有种 因此种植三种花时有种 若在花坛中种植两种花 则只能是a c相同 b d相同 共有种 所以共有 24 48 12 84 种 不同种法 答案b 6 2009 陕西 从0 1 2 3 4 5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数 组成没有重复数字的四位数的个数为 a 300b 216c 180d 162解析分两类情况 一类不含0 有个数 一类含0 有个数 所以共有72 108 180 个 二 填空题7 2009 全国 x y 10的展开式中 x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 解析 c 240 8 2009 浙江 甲 乙 丙3人站到共有7级的台阶上 若每级台阶最多站2人 同一级台阶上的人不区分站的位置 则不同的站法种数是 用数字作答 解析当每个台阶上各站1人时有种站法 当两个人站在同一个台阶上时有种站法 因此不同的站法种数有 210 126 336 种 336 9 在的展开式中 x2的系数是 用数字作答 解析令得r 1 故x2的系数为 2 14 14 10 某工程队有6项工程需要先后单独完成 其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行 工程丙必须在工程乙完成后才能进行 又工程丁必须在工程丙完成后立即进行 那么安排这6项工程的不同排法种数是 用数字作答 解析依题意 甲 乙 丙 丁四个工程先后顺序已确定 而丙 丁必须相邻 只需将剩余两个工程进行排列 若剩余两个工程相邻 则插在甲 乙 丙 丁形成的4个空档之一 有4 8种方法 若剩余两个工程不相邻 则插在甲 乙 丙 丁形成的4个空档中的2个空档 有 12种方法 故共有8 12 20种