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数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 1 第一章第一章 数学软件简介数学软件简介 第一节第一节 MatLab 简介及基本运算简介及基本运算 一 一 MatLabMatLab 简介简介 MATLAB 名字由 MATrix 和 LABoratory 两词的前三个字母组合而成 那是 20 世纪七 十年代后期的事 时任美国新墨西哥大学计算机科学系主任的 Cleve Moler 教授出于减轻 学生编程负担的动机 为学生设计了一组调用 LINPACK 和 EISPACK 库程序的 通俗易用 的接口 此即用 FORTRAN 编写的萌芽状态的 MATLAB 经几年的校际流传 在 Little 的推动下 由 Little Moler Steve Bangert 合作 于 1984 年成立了 MathWorks 公司 并把 MATLAB 正式推向市场 从这时起 MATLAB 的内核 采用 C 语言编写 而且除原有的数值计算能力外 还新增了数据图视功能 MATLAB 以商品形式出现后 仅短短几年 就以其良好的开放性和运行的可靠性 使原 先控制领域里的封闭式软件包 如英国的 UMIST 瑞典的 LUND 和 SIMNON 德国的 KEDDC 纷纷淘汰 而改以 MATLAB 为平台加以重建 在时间进入 20 世纪九十年代的时候 MATLAB 已经成为国际控制界公认的标准计算软件 在欧美大学里 诸如应用代数 数理统计 自动控制 数字信号处理 模拟与数字通信 时间序列分析 动态系统仿真等课程的教科书都把 MATLAB 作为内容 这几乎成了九十年代 教科书与旧版书籍的区别性标志 在那里 MATLAB 是攻读学位的大学生 硕士生 博士生 必须掌握的基本工具 在国际学术界 MATLAB 已经被确认为准确 可靠的科学计算标准软件 在许多国际一 流学术刊物上 尤其是信息科学刊物 都可以看到 MATLAB 的应用 在设计研究单位和工业部门 MATLAB 被认作进行高效研究 开发的首选软件工具 如 美国 National Instruments 公司信号测量 分析软件 LabVIEW Cadence 公司信号和通信 分析设计软件 SPW 等 或者直接建筑在 MATLAB 之上 或者以 MATLAB 为主要支撑 又如 HP 公司的 VXI 硬件 TM 公司的 DSP Gage 公司的各种硬卡 仪器等都接受 MATLAB 的支持 MATLAB 具有用法简易 可灵活运用 程式结构强又兼具延展性 以下为其几个特色 功能强的数值运算 在 MATLAB 环境中 有超过 500 种数学 统计 科学及工程方 面的函数可使用 函数的标示自然 使得问 题和解答像数学式子一般简单明了 让使用者可全力发挥在解题方面 而非浪费在电脑操作上 先进的资料视觉化功能 MATLAB 的物件导向图形架构让使用者可执行视觉数据分 并制作高品质的图形 完成科学性或工程 性图文并茂的文章 高阶但简单的程式环境 作为一种直译式的程式语言 MATLAB 容许使用者在短时 间内写完程式 所花的时间约为用 FORTRAN 或 C 的几分之一 而且不需要编译 compile 及联结 link 即能执行 同时包含了更多及更容易使用的内建 功能 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 2 开放及可延伸的架构 MATLAB 容许使用者接触它大多数的数学原使码 检视运算 法 更改现存函数 甚至加入自己的函数使 MATLAB 成为使用者所须要的环境 丰富的程式工具箱 MATLAB 的程式工具箱融合了套装前软体的优点 与一个灵活 的开放但容易操作之环境 这些工具箱提 供了使用者在特别应用领域所需之许多 函数 现有工具箱有 符号运算 利用 Maple V 的计算核心执行 影像处理 统计分析 讯号处理 神经网路 模拟分析 控制系统 即时控制 系统确认 强 建控 制 弧线分析 最佳化 模糊逻辑 mu 分析及合成 化学计量分析 二 二 MatLabMatLab 界面界面 MATLABMATLAB 系统命令系统命令 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 3 命 令含 义 help 在线帮助 helpwin 在线帮助窗口 helpdesk 在线帮助工作台 demo 运行演示程序 ver 版本信息 readme 显示 Readme 文件 who 显示当前变量 whos 显示当前变量的详细信息 clear 清空工作间的变量和函数 pack 整理工作间的内存 load 把文件调入变量到工作间 save 把变量存入文件中 quit exit 退出 MATLAB what 显示指定的 matlab 文件 lookfor 在 HELP 里搜索关键字 which 定位函数或文件 path 获取或设置搜索路径 echo 命令回显 cd 改变当前的工作目录 pwd 显示当前的工作目录 dir 显示目录内容 unix 执行 unix 命令 dos 执行 dos 命令 执行操作系统命令 computer 显示计算机类型 在 MATLAB 系统中使用帮助方式有三 1 是利用 help 指令 如果你已知要找的题材 topic 为何的话 直接键入 help 所以即使身旁没有使用手册 也可以使用 help 指令查询不熟悉的指令或 是题材之用法 例如 help sqrt 2 是利用 lookfor 指令 它可以从你键入的关键字 key word 即使这个关键字并不 是 MATLAB 的指令 列出 所有相关的题材 例如 lookfor cosine lookfor sine 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 4 3 是利用指令视窗的功能选单中的 HelpHelp 从中选取 TableTable ofof ContentsContents 目录 或是 IndexIndex 索引 三 基本数学运算三 基本数学运算 在 MATLAB 下进行基本数学运算 只需将运算式直接打在提示号 后面 并按入 Enter 键即可 MATLAB 将计算 的结果以 ans 显示 例 求的算术运算结果 2 3 47 212 1 用键盘在 MATLAB 指令窗中输入以下内容 12 2 7 4 3 2 12 2 7 4 3 2 2 在上述表达式输入完成后 按 Enter 键 该就指令被执行 3 在指令执行后 MATLAB 指令窗中将显示以下结果 ans 2 我们也可给运算式的结果设定一个变量 x x 5 2 1 3 0 8 10 2 25 x 42 变量 x 的值可以在下个语句中调用 y 2 x 1 y 85 变量命名规则 变量命名规则 1 变量名的大小写是敏感 2 变量的第一个字符必须为英文字母 而且不能超过 31 个字符 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 5 3 变量名可以包含下连字符 数字 但不能为空格符 标点 系统预定义的变量 ans 预设的计算结果的变量名 eps MATLAB 定义的正的极小值 2 2204e 16 pi 内建的 值 3 1415926 inf 值 无限大 NaN 无法定义一个数目 i 或 j 虚数单位 i j 1 nargin 函数输入参数个数 nargout 函数输出参数个数 realmax 最大的正实数 realmin 最小的正实数 flops 浮点运算次数 而键入 clear 则是去除所有定义过的变量名称 表达式表达式 MATLAB 书写表达式的规则与 手写算式 差不多相同 但要求所有表达式都是以纯文 本形式输入 如果一个指令过长可以在结尾加上 代表此行指令与下一行连续 例如 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ans 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 6 744 若不想让 MATLAB 每次都显示运算结果 只需在运算式最後加上分号 即可 如下例 y 1034 22 3 5 若要显示变数 y 的值 直接键入 y 即可 y y 22991 MATLAB 会忽略所有在百分比符号 之後的文字 因此百分比之後的文字均可视为程式 的注解 Comments 例 计算圆面积 Area 半径r 2 则可键入 r 2 圆半径r 2 area pi r 2 计算圆面积 area area 12 5664 MATLAB 提供基本的算术运算有 加 减 乘 除 幂次方 范例 为 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 MATLABMATLAB 常用数学函数常用数学函数 三角函数和双曲函数 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 7 名称含义名称含义名称含义 sin 正弦 csc 余割 atanh 反双曲正切 cos 余弦 asec 反正割 acoth 反双曲余切 tan 正切 acsc 反余割 sech 双曲正割 cot 余切 sinh 双曲正弦 csch 双曲余割 asin 反正弦 cosh 双曲余弦 asech 反双曲正割 acos 反余弦 tanh 双曲正切 acsch 反双曲余割 atan 反正切 coth 双曲余切 atan2 四象限反正切 acot 反余切 asinh 反双曲正弦 sec 正割 acosh 反双曲余弦 指数函数 名称含义名称含义名称含义 exp E 为底的指数 log10 10 为底的对数 pow2 2 的幂 log 自然对数 log2 2 为底的对数 sqrt 平方根 复数函数 名称含义名称含义名称含义 abs 绝对值 conj 复数共轭 real 复数实部 angle 相角 imag 复数虚部 圆整函数和求余函数 名称含义名称含义 ceil 向 圆整 rem 求余数 fix 向 0 圆整 round 向靠近整数圆整 floor 向 圆整 sign 符号函数 mod 模除求余 矩阵变换函数 名称含义名称含义 fiplr 矩阵左右翻转 diag 产生或提取对角阵 fipud 矩阵上下翻转 tril 产生下三角 fipdim 矩阵特定维翻转 triu 产生上三角 Rot90 矩阵反时针 90 翻转 det 行列式的计算 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 8 其他函数 名称含义名称含义 min 最小值 max 最大值 mean 平均值 median 中位数 std 标准差 diff 相邻元素的差 sort 排序 length 个数 norm 欧氏 Euclidean 长度 sum 总和 prod 总乘积 dot 内积 cumsum 累计元素总和 cumprod 累计元素总乘积 cross 外积 例 y sin 10 exp 0 3 4 2 y 0 0045 例 复数表达 及计算 i eziziz 6 321 2 21 43 3 21 z zz z 1 经典教科书的直角坐标表示法 z1 z1 3 3 4i4i z1 3 0000 4 0000i 2 采用运算符构成的直角坐标表示法和极坐标表示法 z2z2 1 1 2 2 i i 运算符构成的直角坐标表示法运算符构成的直角坐标表示法 z3 2 exp i pi 6 z3 2 exp i pi 6 运算符构成的极坐标表示法运算符构成的极坐标表示法 z z1 z2 z3z z1 z2 z3 z2 1 0000 2 0000i z3 1 7321 1 0000i z 0 3349 5 5801i 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 9 例 复数矩阵的生成及运算 A 1 3 2 4 5 8 6 9 iA 1 3 2 4 5 8 6 9 i B 1 5i 2 6i 3 8 i 4 9 i B 1 5i 2 6i 3 8 i 4 9 i C A BC A B A 1 0000 5 0000i 3 0000 8 0000i 2 0000 6 0000i 4 0000 9 0000i B 1 0000 5 0000i 2 0000 6 0000i 3 0000 8 0000i 4 0000 9 0000i C 1 0e 002 0 9900 1 1600 0 0900i 1 1600 0 0900i 1 3700 例 求上例复数矩阵 C 的实部 虚部 模和相角 C real real C C real real C C imag imag C C imag imag C C magnitude abs C C magnitude abs C C phase angle C 180 piC phase angle C 180 pi 以度为单位计算相角以度为单位计算相角 C real 99 116 116 137 C imag 0 9 9 0 C magnitude 99 0000 116 3486 116 3486 137 0000 C phase 0 4 4365 4 4365 0 例 指令行操作过程示例 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 10 1 若用户想计算的值 那末用户应依次键入以下字符 51 3 0sin 2 1 y y1 2 sin 0 3 pi 1 sqrt 5 y1 2 sin 0 3 pi 1 sqrt 5 2 按 Enter 键 该指令便被执行 并给出以下结果 y1 0 5000 若又想计算 可以简便地用操作键获得指令 具体办法是 先用 51 3 0cos 2 2 y 键调回已输入过的指令 y1 2 sin 0 3 pi 1 sqrt 5 y1 2 sin 0 3 pi 1 sqrt 5 然后移动光标 把 y1 改成 y2 把 sinsin 改成 coscos 便可 即得 y2 2 cos 0 3 pi 1 sqrt 5 y2 2 cos 0 3 pi 1 sqrt 5 y2 0 3633 注 设置精度值 注 设置精度值 t 2 8957e 007 digits 8 精确到小数点后 8 位 sym t d ans 28957372e 6 四 阵列与矩阵四 阵列与矩阵 MATLAB 的运算事实上是以阵列 array 及矩阵 matrix 方式在做运算 阵列强调元 素对元素的运算 而矩阵则采用线性代数的运算方式 宣告一变量为阵列或是矩阵时 须用中括号 将元素置于其中 阵列为一维元素所 构成 而矩阵为多维元素所组成 例如 x 1 2 3 4 5 6 7 8 一维 1x8 阵列 例 简单矩阵的输入步骤 987 654 321 A 1 在键盘上输入下列内容 以 区隔各列的元素 A A 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 2 按 Enter 键 指令被执行 3 在指令执行后 MATLAB 指令窗中将显示以下结果 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 11 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例 矩阵的分行输入 A 1 2 3A 1 2 3 4 5 64 5 6 7 8 9 7 8 9 以下是显示结果 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a 1 4 6 8 10 一维矩阵 a 3 a 的第三个元素 ans 6 x 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 10 11 二维 2x8 矩阵 x 3 x 的第三个元素 ans 2 x 1 2 5 x 的第一 二 五个元素 ans 1 4 3 x 2 3 x 的第二行第三列的元素 ans 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 12 6 x 1 5 x 的第前五个元素 ans 1 4 2 5 3 x 10 end x 的第十个元素后的元素 ans 8 6 9 7 10 8 11 x 10 1 2 x 的第十个元素和第二个元素的倒排 ans 8 5 7 4 6 3 5 2 4 x find x 5 x 中大于 5 的元素 ans 6 7 8 6 9 7 10 8 11 x 4 100 给 x 的第四个元素重新给值 x 1 2 3 4 5 6 7 8 4 100 6 7 8 9 10 11 x 3 删除第三个元素 不是二维数组 x Columns 1 through 12 1 4 100 3 6 4 7 5 8 6 9 7 Columns 13 through 15 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 13 10 8 11 x 16 1 加入第十六个元素 x Columns 1 through 12 1 4 100 3 6 4 7 5 8 6 9 7 Columns 13 through 16 10 8 11 1 当元素很多的时候 则须采用以下的方式 x 1 2 5 120 以 起始值 1 增量值 2 终止值 120 的矩阵 x linspace 0 1 100 利用 linspace 以区隔起始值 0 终止值 1 之间 元素数 目 100 a 空矩阵 a zeros 2 2 全为 0 的矩阵 ans 0 0 0 0 ones 3 3 全为 1 的矩阵 ans 1 1 1 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 14 1 1 1 1 1 1 rand 2 4 随机矩阵 a 1 7 b 1 0 2 5 更直接的方式 c b a 可利用先前建立的阵列 a 及阵列 b 组成新阵列 以下将阵列的运算符号及其意义列出 除了加减符号外其余的阵列运算符号均须多加 符号 阵列运算功能 注意注意 一定要一定要 多加多加 符号符号 加 减 乘 左除 右除 次方 转置 a 1 5 a 2 从阵列 a 减 2 ans 1 0 1 2 3 2 a 1 以 2 乘阵列 a 再减 1 ans 1 3 5 7 9 b 1 2 9 a b 阵列 a 加阵列 b ans 2 5 8 11 14 a b 阵列 a 及 b 中的元素与元素相乘 ans 1 6 15 28 45 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 15 a b 阵列 a 及 b 中的元素与元素相除 ans 1 0000 0 66667 0 6000 0 5714 0 5556 a 2 阵列中的各个元素作二次方 ans 1 4 9 16 25 2 a 以 2 为底 以阵列中的各个元素为次方 ans 2 4 8 16 32 b a 以阵列 b 中的各个元素为底 以阵列 a 中的各个元素为次方 ans 1 9 125 2401 59049 b a 阵列 b 是阵列 a 的转置结果 b 1 2 3 4 5 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 16 矩阵的几种基本变换操作矩阵的几种基本变换操作 1 通过在矩阵变量后加 的方法来表示转置运算 a 10 2 12 34 2 4 98 34 6 a ans 10 34 98 2 2 34 12 4 6 2 矩阵求逆 inv a ans 0 0116 0 0372 0 0015 0 0176 0 1047 0 0345 0 0901 0 0135 0 0045 3 矩阵求伪逆 pinv a ans 0 0116 0 0372 0 0015 0 0176 0 1047 0 0345 0 0901 0 0135 0 0045 4 左右反转 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 17 fliplr a ans 12 2 10 4 2 34 6 34 98 5 矩阵的特征值 u v eig a u 0 2960 0 3635 0 3600 0 2925 0 4128 0 7886 0 9093 0 8352 0 4985 v 48 8395 0 0 0 19 8451 0 0 0 10 9943 6 上下反转 flipud a ans 98 34 6 34 2 4 10 2 12 7 旋转 90 度 rot90 a 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 18 ans 12 4 6 2 2 34 10 34 98 8 取出上三角和下三角 triu a ans 10 2 12 0 2 4 0 0 6 tril a ans 10 0 0 34 2 0 98 34 6 l u lu a l 0 1020 0 1500 1 0000 0 3469 1 0000 0 1 0000 0 0 u 98 0000 34 0000 6 0000 0 9 7959 1 9184 0 0 11 1000 9 正交分解 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 19 q r qr a q 0 0960 0 1232 0 9877 0 3263 0 9336 0 1482 0 9404 0 3365 0 0494 r 104 2113 32 8179 8 0989 0 9 3265 3 1941 0 0 10 9638 10 奇异值分解 u s v svd a u 0 1003 0 8857 0 4532 0 3031 0 4066 0 8618 0 9477 0 2239 0 2277 s 109 5895 0 0 0 12 0373 0 0 0 8 0778 v 0 9506 0 0619 0 3041 0 3014 0 4176 0 8572 0 0739 0 9065 0 4156 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 20 11 求矩阵的范数 norm a ans 109 5895 norm a 1 ans 142 norm a inf ans 138 第二节第二节 数值计算数值计算 符号数学工具箱符号数学工具箱 符号表达式的运算 numeric符号到数值的转换 pretty显示悦目的符号输出 subs替代子表达式 sym建立符号矩阵或表达式 symadd符号加法 symdiv符号除法 symmul符号乘法 symop符号运算 sympow符号表达式的幂运算 symrat有理近似 symsub符号减法 symvar求符号变量 符号表达式的简化 collect合并同类项 expand展开 factor因式 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 21 simple求解最简形式 simplify简化 symsum 和级数 符号多项式 charpoly特征多项式 horner嵌套多项式表示 numden分子或分母的提取 poly2sym多项式向量到符号的转换 sym2poly符号到多项式向量的转换 符号微积分 diff微分 int积分 jordan约当标准形 taylor泰勒级数展开 符号可变精度算术 digits设置可变精度 vpa可变精度计算 求解符号方程 compose函数的复合 dsolve微分方程的求解 finverse函数逆 linsolve齐次线性方程组的求解 solve代数方程的求解 符号线性代数 charploy特征多项式 determ矩阵行列式的值 eigensys特征值和特征向量 inverse矩阵逆 jordan约当标准形 linsolve齐次线性方程组的解 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 22 transpose矩阵的转置 一 一 方程求解方程求解 求解单个代数方程求解单个代数方程 MATLAB具有求解符号表达式的工具 如果表达式不是一个方程式 不含等号 则在求解 之前函数solvesolve将表达式置成等于0 solve a x 2 b x c solve for the roots of the eqution ans 1 2 a b b 2 4 a c 1 2 1 2 a b b 2 4 a c 1 2 结果是符号向量 其元素是方程的2个解 如果想对非缺省x变量求解 solvesolve必须指定 变量 solve a x 2 b x c b solve for b ans a x 2 c x 带有等号的符号方程也可以求解 f solve cos x sin x solve for x f 1 4 pi t solve tan 2 x sin x t 0 acos 1 2 1 2 3 1 2 acos 1 2 1 2 3 1 2 并得到数值解 numeric f ans 0 7854 numeric t ans 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 23 0 0 0 8314i 1 9455 注意在求解周期函数方程时 有无穷多的解 在这种情况下 solvesolve对解的搜索范围限 制在接近于零的有限范围 并返回非唯一的解的子集 如果不能求得符号解 就计算可变精度解 x solve exp x tan x x 1 306326940423079 代数方程组求解代数方程组求解 可以同时求解若干代数方程 语句solvesolve s1 s1 s2s2 sn sn 对缺省变量求解n n个方程 语句solve s1solve s1 s2s2 snsn v1v1 v2v2 vnvn 对n n个个 v1v1 v2v2 vn vn 的未知数求 解n n个方程 solvesolve f 解符号方程式 f solve f1 fn 解由 f1 fn 组成的联立方程式 我们先定义以下的方程式 eq1 x 3 4 注意也可写成 eq1 x 7 eq2 x 2 x 6 0 注意也可写成 eq2 x 2 x 6 eq3 x2 2 x 4 0 eq4 3 x 2 y z 10 eq5 x 3 y 2 z 5 eq6 x y z 1 solve eq1 ans 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 24 7 solve eq2 ans 3 2 原方程式有二个根 3 2 solve eq3 ans 1 i 3 1 2 1 i 3 1 2 注意实根和虚根的表示式 solve eq4 eq5 eq6 解三个联立方程式 ans x 2 y 5 z 6 如何处理中小学典型的代数问题 黛安娜 Diane 想去看电影 她从小猪存钱罐倒出硬币并清点 她发现 10美分的硬币数加上5美分的硬币总数的一半等于25美分的硬币数 1美分的硬币数比5美分 10美分以及25美分的硬币总数多10 25美分和10美分的硬币总数等于1美分的硬币数加上1 4的5美分的硬币数 25美分的硬币数和1美分的硬币数比5美分的硬币数加上8倍的10美分的硬币数多 1 如果电影票价为3 00美元 爆米花为1 00美元 糖棒为50美分 她有足够的钱去买这 三样东西 首先 根据以上给出的信息列出一组线性方程 假如p n d和q分别表示1美分 5美 分 10美分 和25美分的硬币数 d np qpndqqdp n qpnd 2 10 4 81 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 25 然后 建立MATLAB符号方程并对变量求解 eq1 d n p 2 q eq2 p n d q 10 eq3 q d p n 4 eq4 q p n 8 d 1 pennies nickles dimes quarters solve equ1 equ2 equ3 equ4 p n d q pennies 16 nickles 8 dimes 3 quarters 15 所以 黛安娜有16枚1美分的硬币 8枚5美分的硬币 3枚10美分的硬币 15枚25美分 的硬币 这就意味着 money 01 16 05 8 10 3 25 15 money 4 6100 她就有足够的钱去买电影票 爆米花和糖棒并剩余11美分 例 求解二元函数方程组的零点 0 cos 0 sin 2 1 yxyxf yxyxf 0 0 从三维坐标初步观察两函数图形相交情况 从三维坐标初步观察两函数图形相交情况 x 2 0 05 2 y x X Y meshgrid x y x 2 0 05 2 y x X Y meshgrid x y 产生产生 x yx y 平面上网点坐标平面上网点坐标 F1 sin X Y F2 cos X Y F1 sin X Y F2 cos X Y F0 zeros size X F0 zeros size X 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 26 surf X Y F1 surf X Y F1 xlabel x ylabel y xlabel x ylabel y view 31 62 holdview 31 62 hold on on surf X Y F2 surf X Y F0 surf X Y F2 surf X Y F0 shadingshading interp interp holdhold offoff 图 5 6 3 0 两函数的三维相交图 1 1 在某区域观察两函数 在某区域观察两函数 0 0 等位线的交点情况等位线的交点情况 clear clear x 2 0 5 2 y x X Y meshgrid x y x 2 0 5 2 y x X Y meshgrid x y 产生产生 x yx y 平面上网点坐标平面上网点坐标 F1 sin X Y F2 cos X Y F1 sin X Y F2 cos X Y v 0 2 v 0 2 0 0 0 2 0 2 指定三个等位值 是为了更可靠地判断指定三个等位值 是为了更可靠地判断 0 0 等位线的存在 等位线的存在 contour X Y F1 v contour X Y F1 v 画画 F1F1 的三条等位线 的三条等位线 holdhold on contour X Y F2 v holdon contour X Y F2 v hold offoff 画画 F2F2 的三条等位线 的三条等位线 0 5 1 5 2 0 5 1 5 2 图 5 6 3 1 两个二元函数 0 等位线的交点图 2 2 从图形获取零点的初始近似值 从图形获取零点的初始近似值 在图 5 6 3 1 中 用 ginput 获取两个函数 0 等位线 即三线组中间那条线 交点的坐 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 27 标 x0 y0 ginput 2 x0 y0 ginput 2 在图上取两个点的坐标在图上取两个点的坐标 disp x0 y0 disp x0 y0 0 7926 0 7843 0 7926 0 7843 3 3 利用 利用 fsolvefsolve 求精确解 以求 求精确解 以求 0 7926 78430 7926 7843 附近的解为例 附近的解为例 本例直接用字符串表达被解函数 注意 在此 自变量必须写成 x 1 x 2 假如写 成 xy 1 xy 2 指令运行将出错 fun sin x 1 x 2 cos x 1 x 2 fun sin x 1 x 2 cos x 1 x 2 xy fsolve fun x0 2 y0 2 xy fsolve fun x0 2 y0 2 xy 0 7854 0 7854 4 4 检验 检验 fxy1 sin xy 1 xy 2 fxy2 cos xy 1 xy 2 disp fxy1 fxy2 fxy1 sin xy 1 xy 2 fxy2 cos xy 1 xy 2 disp fxy1 fxy2 1 0e 006 0 0994 0 2019 说明 指令可用以下任何一组指令取代 A 内联函数形式指令 fun inline sin x 1 x 2 fun inline sin x 1 x 2 cos x 1 x 2 cos x 1 x 2 x x 项项 x x 必须有 必须有 xy fsolve fun x0 2 xy fsolve fun x0 2 y0 2 y0 2 B M 函数文件形式及指令 先用如下 fun m 表示被解函数 并在搜索路径上 fun m fun m function ff fun x ff 1 sin x 1 x 2 ff 2 cos x 1 x 2 然后运行指令 xy fsolve fun x0 2 y0 2 xy fsolve fun x0 2 y0 2 第四步检验中的结果表明 所找零点处的函数值小于 是一个十分接近零的小 6 10 数 该精度由 options TolFunoptions TolFun 控制 options TolFunoptions TolFun 的缺省值是 1 0000e 006 它 可以用下列指令看到 options optimset fsolve options optimset fsolve options TolFunoptions TolFun ans 1 0000e 006 线性方程求解线性方程求解 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 28 a 7 2 1 2 9 15 3 2 2 2 11 5 1 3 2 13 b 4 7 1 0 x a b x 0 4979 0 1445 0 0629 0 0813 单个微分方程单个微分方程 常微分方程有时很难求解 MATLAB提供了功能强大的工具 可以帮助求解微分方程 函数dsovledsovle计算常微分方程的符号解 因为我们要求解微分方程 就需要用一种方法将微 分包含在表达式中 所以 dsovledsovle句法与大多数其它函数有一些不同 用字母D D来表示求微 分 D2D2 D3D3等等表示重复求微分 并以此来设定方程 任何D D后所跟的字母为因变量 MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve equation condition 其中equation代 表常微分方程式即y g x y 且须 以Dy代表一阶微分项y D2y代表二阶微分项y condition则为初始条件 方程 0用符号表达式D2y 0来表示 独立变量可以指定或由symvarsymvar规则选定d ydx 22 为缺省 例如 一阶方程dy dx 1 y2的通解为 dsolve Dy 1 y 2 find the general solution ans tan x C1 其中 C1C1是积分常数 求解初值y 0 1的同一个方程就可产生 dsolve Dy 1 y 2 y 0 1 add an initial condition y tan x 1 4 pi 独立变量可用如下形式指定 dsolve Dy 1 y 2 y 0 1 v find solution to dy dv 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 29 ans tan v 1 4 pi 让我们举一个二阶微分方程的例子 该方程有两个初始条件 d y dx 2 2 cos 2x y dy dx 0 0 y 0 1 y dsolve D2y cos 2 x y Dy 0 0 y 0 1 y 2 3 cos x 2 1 3 4 3 cos x y simple y y looks like it can be simplified y 1 3 cos 2 x 4 3 cos x 通常 要求解的微分方程含有一阶以上的项 并以下述的形式表示 d y dx 2 2 2 dy dx 3y 0 通解为 y solve D2y 2Dy 3 y 0 y C1 exp x C2 exp 3 x 加上初始条件 y 0 0和y 1 1可得到 y solve D2y 2Dy 3 y 0 y 0 0 y 1 1 y 1 exp 1 exp 3 exp x 1 exp 1 exp 3 exp 3 x y simple y this looks like a candidate for simplification y exp x exp 3 x exp 3 exp 1 pretty y pretty it up exp x exp 3 x 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 30 exp 3 exp 1 现在来绘制感兴趣的区域内的结果 ezplot y 6 2 例例 假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 y 3x2 y 2 0 5 y 2 x cos y 2 y 0 0 25 y 3y exp 2x y 0 3 对应上述常微分方程式的符号运算式为 soln 1 dsolve Dy 3 x 2 y 2 0 5 ans x 3 7 500000000000000 ezplot soln 1 2 4 看看这个函数的长相 6 5 4 3 2 1012 15 10 5 0 5 x exp x exp 3 x exp 3 exp 1 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 31 soln 2 dsolve Dy 2 x cos y 2 y 0 pi 4 ans atan x 2 1 soln 3 dsolve Dy 3 y exp 2 x y 0 3 ans exp 2 x 4 exp 3 x 微分方程组微分方程组 函数dsolvedsolve也可同时处理若干个微分方程式 下面有两个线性一阶方程 3f 4g dg dx 4f 3g dx df 通解为 f f g dsolveg dsolve Df 3 f 4 g Dg 4 f 3 g f C1 exp 3 x sin 4 x C2 exp 3 x cos 4 x g C2 exp 3 x sin 4 x C1 exp 3 x cos 4 x 加上初始条件 f 0 0和g 0 1 我们可以得到 f g dsolve Df 3 f 4 g Dg 4 f 3 g f 0 0 g 0 1 f exp 3 x sin 4 x g exp 3 x cos 4 x 微分和积分微分和积分 微分和积分是微积分学研究和应用的核心 并广泛地用在许多工程学科 MATLAB符号 工具能帮助解决许多这类问题 微分微分 符号表达式的微分以四种形式利用函数diffdiff 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 32 f a x 3 x 2 b x c define a symbolic expression f a x 3 x 2 b x c diffdiff f differentiate with respect to the default variable x ans 3 a x 2 2 x b diff f a differentiate with respect to a ans x 3 diff f 2 differentiate twice with respect to x ans 6 a x 2 diff f a 2 differentiate twice with respect to a ans 0 函数diffdiff也可对数组进行运算 如果F是符号向量或数组 diff F diff F 对数组内的各个元 素进行微分 F sym a x b x 2 c x 3 d s create a symbolic array F a x b x 2 c x 3 d s diff F differentiate the element with respect to x ans a 2 b x 3 c x 2 0 注意函数diffdiff也用在MATLAB 计算数值向量或矩阵的数值差分 对于一个数值向量或 矩阵M diff M 计算M 2 m M 1 m 1 的数值差分 如下所示 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 33 m 1 8 2 create a vector M 1 4 9 16 25 36 49 64 diff M find the differences between elements ans 3 5 7 9 11 13 15 如果diff的表达式或可变参量是数值 MATLAB就非常巧妙地计算其数值差分 如果参 量是符号字符串或变量 MATLAB就对其表达式进行微分 积分积分 积分积分函数int f int f 其中f是一符号表达式 它力图求出另一符号表达式F使diff F fdiff F f 正如从研究微分学所了解的 积分比微分复杂得多 积分或逆求导不一定是以封闭形式存 在 或许存在但软件也许找不到 或者软件可明显地求解 但超过内存或时间限制 当 MATLAB不能找到逆导数时 它将返回未经计算的命令 int log x exp x 2 attempt to integrate ans log x exp x 2 同微分一样 积分函数有多种形式 形式int f int f 相对于缺省的独立变量求逆导数 形 式 f f s s 相对于符号变量s积分 形式int fint f a a b b 和int fint f s s a a b b a a b b是 数值 求解符号表达式从a a到b b的定积分 形式int fint f m m n n 和形式int fint f s s m m n n 其中m m n n是符号变量 求解符号表达式从m m到n n的定积分 f sin s 2 x crate a symbolic function f sin s 2 x int f integrate with respect to x ans 1 2 cos s 2 x int f s integrate with respect to s ans cos s 2 x 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 34 int f pi 2 pi integrate with respect to x from 2 to ans cos x int f s pi 2 pi integrate with respect to s from 2 to ans cos 2 x sin 2 x int f m n integrate with respect to x from m to n ans 1 2 cos s 2 n 1 2 cos s 2 m 正如函数diffdiff一样 积分函数intint对符号数组的每一个元素进行运算 F sym a x b x 2 c x 3 d s create a symbolic array F a x b x 2 c x 3 d s diff F ubtegrate the array elements with respect to x ans 1 2 a x 2 1 3 b x 3 1 4 c x 4 d s x diff 函数用以演算一函数的微分项 相关的函数语法有下列 4 个 diff f 传回 f 对预设独立变数的一次微分值 diff f t 传回 f 对独立变数 t 的一次微分值 diff f n 传回 f 对预设独立变数的 n 次微分值 diff f t n 传回 f 对独立变数 t 的 n 次微分值 先定义下列三个方程式 接著再演算其微分项 S1 6 x 3 4 x 2 b x 5 数学实验与数学建模 校本教材 数学实验与数学建模 校本教材 35 S2 sin a S3 1 t 3 1 t 4 diff S1 ans 18 x 2 8 x b diff S1 2 ans 36 x 8 diff S1 b ans x diff S2 ans cos a diff S3 ans 3 t 2 1 t 4