新课标(必修2)第二章点、线、面（立体几何）13个课件2.3.1直线和平面垂直quanbu.ppt

2 3 1直线与平面垂直 思考 一条直线与一个平面垂直的意义是什么 1 直线和平面垂直的定义 直线和平面垂直 如果一条直线和一个平面相交 并且和这个平面内的任意一条直线都垂直 我们就说这条直线和这个平面垂直 其中直线叫做平面的垂线 平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 平面的垂线 直线的垂面 垂足 1 如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直 则直线l和平面 互相垂直 判断 性质定理 2 b是平面 内任一直线 a 则a b a d b a c b d c 容易发现 当且仅当折痕ad是bc边上的高时 ad所在直线与桌面所在平面 垂直 a 思考 1 有人说 折痕ad所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直 就可以判断ad垂直平面 你同意他的说法吗 2 折痕ad bc 翻折之后垂直关系不变 即ad cd ad bd 由此你能得到什么结论 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 例2 求证 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 二 直线与平面垂直的性质定理 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 已知 求证 例1 有一根旗杆ab高8m 它的顶端a挂有一条长10m的绳子 拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点 和旗杆脚不在同一条直线上 c d 如果这两点都和旗杆脚b的距离是6m 那么旗杆就和地面垂直 为什么 1 如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等 则这条直线和平面的位置关系是 a 平行b 相交c 平行或相交 练习题 2 在空间 下列命题 1 平行于同一直线的两条直线互相平行 2 垂直于同一直线的两条直线互相平行 3 平行于同一平面的两条直线互相平行 4 垂直于同一平面的两条直线互相平行 正确的是 a 1 3 4 b 1 4 c 1 d 四个命题都正确 3 判断题 2 斜线在平面上的射影直线和平面所成的角 自一点向平面引垂线 垂足叫做这点在这个平面上的射影 这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段 一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂直 这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点叫做斜足 斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段 a c b 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影 斜线上任意一点在平面上的射影 一定在斜线的射影上 垂线段比任何一条斜线段都短 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段ab ac ad ae 中 那一条最短 ob oc ab ac ob oc ab ac ab ac ob oc ab ac ob oc 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 1 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 2 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 3 垂线段比任何一条斜线段都短 练习 2 判断下列说法是否正确 1 两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线 2 两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线 3 两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线 要么是相交直线 4 若斜线段长相等 则它们在平面内的射影长也相等 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直与平面 它们所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 它们所成的角是0 的角 直线和平面所成角的范围是 0 90 例题 例1 如图 ao是平面 的斜线 ab 平面 于b od是 内不与ob重合的直线 aob bod aod 求证 cos cos cos a b o c 练习 3 ao与平面 斜交 o为斜足 ao与平面 成 角 b是a在 上的射影 od是 内的直线 bod 30 aod 60 则sin 例2 线段mn长6厘米 m到平面 的距离是1厘米 n到平面 的距离是4厘米 求mn与平面 所成角的余弦值 o mom 就是mn与 所成的角 如图 m是菱形abcd所在平面外一点 满足ma mc 求证 二 三垂线定理1 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条直线垂直 2 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的垂直 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直 三 例题 1 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 如图 在空间四边形abcd中 pa 面abc ac bc 若a在pb pc上的射影分别是e f 求证 ef pb 探究 二面角 二面角 一 二面角及二面角的平面角 平面的一条直线把平面分为两部分 其中的每一部分都叫做一个半平面 1 半平面 二面角 从空间一直线出发的两个半 2 二面角的定义 3 二面角的平面角 角的平面角 一个平面垂直于二面角 的棱 并与两半平 面分别相交于射线pa pb 垂足为p 则 apb叫做二面 平面所组成的图形叫做二面角记作 二面角 a p b 与 apb是否相等 思考 相等 利用等角定理 注 二面角的平面角取值范围是 00 1800 注 二面角的平面角的特点 10 1 2 二面角 2 二面角的表示方法 二面角 ab 二面角 l 二面角c ab d 二面角c ab e 二 作二面角的平面角的常用方法 点p在棱上 点p在一个半平面上 点p在二面角内 a b a b a b o 定义法 三垂线定理法 垂面法 二面角 1 如图 ab是圆的直径 pa垂直圆所在的平面 c是圆上任一点 则二面角p bc a的平面角为 a abpb acpc 都不是 基础练习 60 二面角 例1 如图 已知p是二面角 ab 棱上一点 过p分别在 内引射线pm pn 且 mpn 60 bpm bpn 45 求此二面角的度数 c d 解 在pb上取不同于p的一点o 在 内过o作oc ab交pm于c 在 内作od ab交pn于d 连cd 可得 cod是二面角 ab 的平面角 设po a bpm bpn 45 co a do a pca pda 又 mpn 60 cd pca cod 90 因此 二面角的度数为90 a 二面角 例2 如图p为二面角 内一点 pa pb 且pa 5 pb 8 ab 7 求这二面角的度数 过pa pb的平面pab与棱 交于o点 pa pa pb pb 平面pab aob为二面角 的平面角 又 pa 5 pb 8 ab 7 由余弦定理得 p 60 aob 120 这二面角的度数为120 解 o 二面角 取ab的中点为e 连pe oe o为ac中点 abc 90 oe bc且oebc 在rt poe中 oe po 所求的二面角p ab c的正切值为 例3 如图 三棱锥p abc的顶点p在底面abc上的射影是底面rt abc斜边ac的中点o 若pb ab 1 bc 求二面角p ab c的正切值 peo为二面角p ab c的平面角 在rt pbe中 be pb 1 pe oe ab 因此pe ab 解 二面角 二面角的计算 1 找到或作出二面角的平面角 2 证明1中的角就是所求的角 3 计算出此角的大小 一 作 二 证 三 计算 16 d 练习2 已知棱长为1正方体abcd a