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函数值域的求法 一 配方法 形如y af2 x bf x c a 0 的函数常用配方法求函数的值域 要注意f x 的取值范围 例1 1 求函数y x2 2x 3在下面给定闭区间上的值域 二 换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法 把无理函数 指数函数 对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法 关注新元范围 例2求下列函数的值域 4 3 4 1 2 1 0 1 6 11 2 11 2 6 3 6 三 判别式法 例6求下列函数的值域 1 1 4 能转化为a y x2 b y x c y 0的函数常用判别式法求函数的值域 1 求下列函数的值域 值域课堂练习题 1 3 3 2 4 4 3 8 1 解 f x 的定义域为r mx2 8x n 0恒成立 64 4mn0 则1 y 9 变形得 m y x2 8x n y 0 当m y时 x r 64 4 m y n y 0 整理得y2 m n y mn 16 0 解得m 5 n 5 当m y时 方程即为8x n m 0 这时m n 5满足条件 故所求m与n的值均为5 求函数值域方法很多 常用配方法 换元法 判别式法 不等式法 反函数法 图像法 数形结合法 函数的单调性法以及均值不等式法等 这些方法分别具有极强的针对性 每一种方法又不是万能的 要顺利解答求函数值域的问题 必须熟练掌握各种技能技巧 根据特点选择求值域的方法 下面就常见问题进行总结 例1求函数 如图 y 3 4 3 2 分析 本题是求二次函数在区间上的值域问题 可用配方法或图像法求解 例2求函数 分析 函数是分式函数且都含有二次项 可用判别式和单调性法求解 解法1 由函数知定义域为r 则变形可得 2y 1 x2 2y 1 x 3y 1 0 当2y 1 0即y 1 2时 代入方程左边 1 2 3 1 0 故 1 2 当2y 1 0 即y 1 2时 因x r 必有 2y 1 2 4 2y 1 3y 1 0得3 10 y 1 2 综上所得 原函数的值域为y 3 10 1 2 例3求下列函数的值域 1 y 5 x 3
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