吉林省吉林一中高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

吉林省吉林一中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（理科） 一、单项选择（注释）1抛物线y=2x2的准线方程是（）a b c d 2双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）a 2b c d 3在平面直角坐标系xoy中，抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，m是抛物线c上的点，若ofm的外接圆与抛物线c的准线相切，且该圆面积9，则p=（）a 2b 4c 3d 4函数f（x）=x3+ax在c （0，+）d 都成立，则实数a取值范围是15设a、b为在双曲线上两点，o为坐标原点若oa丄ob，则aob面 积的最小值为16设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=三、解答题17在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且过d（2，0）（1）求该椭圆的标准方程；（2）若p是椭圆上的动点，点a（1，0），求线段pa中点m的轨迹方程18一物体沿直线以速度v（t）=2t3（t的单位为：秒，v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程？19已知椭圆的中心在原点，焦点为f1（0，2），f2（0，2），且离心率e=，求椭圆的方程20已知椭圆c：的右焦点为f，左顶点为a，点p为曲线d上的动点，以pf为直径的圆恒与y轴相切（）求曲线d的方程；（）设o为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的apm？点m在椭圆c上；点o为apm的重心若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由（若三角形abc的三点坐标为a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），则其重心g的坐标为（，）21由原点o向三次曲线y=x33ax2+bx（a0）引切线，切于不同于点o的点p1（x1，y1），再由p1引此曲线的切线，切于不同于p1的点p2（x2，y2），如此继续地作下去，得到点列pn（xn，yn），试回答下列问题：（1）求x1；（2）求xn与xn+1的关系；（3）若a0，求证：当n为正偶数时，xna；当n为正奇数时，xna22已知函数在x=1处取得极大值2（1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的极值；（3）设函数g（x）=x22ax+a，若对于任意x1r，总存在x2，使得g（x2）f（x1），求实数a的取值范围2014-2015学年吉林省吉林一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择（注释）1抛物线y=2x2的准线方程是（）a b c d 考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可解答：解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=，故选：d点评：本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=1，因看错方程形式马虎导致错误2双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）a 2b c d 考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线，由a=b，c=，可求出该双曲线的离心率解答：解：双曲线的两条渐近线互相垂直，双曲线是等轴双曲线，a=b，c=，故选c点评：这道题比较简单两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线这个结论是解本题的关键3在平面直角坐标系xoy中，抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，m是抛物线c上的点，若ofm的外接圆与抛物线c的准线相切，且该圆面积9，则p=（）a 2b 4c 3d 考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据ofm的外接圆与抛物线c的准线相切，可得ofm的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值解答：解：ofm的外接圆与抛物线c的准线相切，ofm的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆面积为9，圆的半径为3又圆心在of的垂直平分线上，|of|=，+=3p=4故选：b点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题4函数f（x）=x3+ax在c （0，+）d ，故选：b点评：函数在开区间上的单调增可转化成其导函数恒大于等于0，单调减可转化成其导函数恒小于等于0，属于基础题5已知f（x）是可导的函数，且f（x）f（x）对于xr恒成立，则（）a f（1）ef（0），f（2015）e2015f（0）b f（1）ef（0），f（2015）e2015f（0）c f（1）ef（0），f（2015）e2015f（0）d f（1）ef（0），f（2015）e2015f（0）考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：构造函数令，利用判断及单调性即可判断解答：解：令，则，由于f（x）f（x），ex0对于xr恒成立，所以h（x）0在r上恒成立，所以为减函数，即f（x）ef（0）；，即f（2015）e2015f（0）故选：d点评：本题主要考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题6若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y8=0垂直，则l的方程是（）a 4xy3=0b x+4y5=0c 4xy+3=0d x+4y+3=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：欲求l的方程，根据已知条件中：“切线l与直线x+4y8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标从而问题解决解答：解：设与直线x+4y8=0垂直的直线l为：4xy+m=0，即曲线y=x4在某一点处的导数为4，而y=4x3，y=x4在（1，1）处导数为4，将（1，1）代入4xy+m=0，得m=3，故l的方程为4xy3=0故选a点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题7已知a1，则=（）a b c 或d 不存在考点：极限及其运算专题：计算题分析：由a1，可得=，可求解答：解：a1，x时，x+则=故选a点评：本题主要考查了函数极限的求解，解题的关键是由=的变形属于基础试题8已知椭圆=1（a5）的两个焦点为f1、f2，且|f1f2|=8，弦ab过点f1，则abf2的周长为（）a 10b 20c d 考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据椭圆=1，得出b=5，再由|f1f2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解abf2的周长为4a，即可求解解答：解：由|f1f2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a5）得：b=5，则a=，由椭圆的定义可得，abf2的周长为c=|ab|+|bf2|+|af2|=|af1|+|bf1|+|bf2|+|af2|=（|af1|+|af2|）+（|bf1|+|bf2|）=4a=4故选：d点评：本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题9若=（0，1，1），=（1，1，0），且（+），则实数的值为（）a 1b 0c 1d 2考点：空间向量的数量积运算专题：空间向量及应用分析：利用向量垂直与数量积的关系即可得出解答：解：（+），（+）=+=+（0+1+0）=0，解得=2故选：d点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题10过双曲线=1（a0，b0）的左焦点f（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为e，延长fe交抛物线y2=4cx于点p，o为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）a b c d 考点：双曲线的简单性质专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题设知|ef|=b，|pf|=2b，|pf|=2a，再由抛物线的定义和方程，解得p的坐标，进而得到c2aca2=0，再由离心率公式，计算即可得到解答：解：|of|=c，|oe|=a，oeef，|ef|=b，=（+），e为pf的中点，|op|=|of|=c，|pf|=2b，设f（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则eo为三角形pff的中位线，则|pf|=2|oe|=2a，可令p的坐标为（m，n），则有n2=4cm，由抛物线的定义可得|pf|=m+c=2a，m=2ac，n2=4c（2ac），又|op|=c，即有c2=（2ac）2+4c（2ac），化简可得，c2aca2=0，由于e=，则有e2e1=0，由于e1，解得，e=故选：a点评：本题主要考查抛物线和双曲线的标准方程和简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题11已知函数f（x）=ex+alnx的定义域是d，关于函数f（x）给出下列命题：对于任意a（0，+），函数f（x）是d上的减函数；对于任意a（，0），函数f（x）存在最小值；存在a（0，+），使得对于任意的xd，都有f（x）0成立；存在a（，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是（）a b c d 考点：命题的真假判断与应用专题：阅读型；导数的综合应用分析：先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根解答：解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+），f（x）=ex+，a（0，+）f（x）=ex+0，f（x）是增函数故不正确；a（，0），存在x有f（x）=ex+=0，可以判断函数有最小值，故正确；画出函数y=ex，y=alnx（a0）的图象，x可取（0，1）内的一个数f（x）0，故不正确；函数y=ex是增函数，a0时，y=alnx是减函数，所以存在a（，0），由图可让a的绝对值较大，f（x）=ex+alnx=0有两个根，故正确故选c点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题，注意应用数形结合思想方法，是一道中档题12已知椭圆c1：=1（ab0）与双曲线c2：x2=1有公共的焦点，c2的一条渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a，b两点若c1恰好将线段ab三等分，则（）a a2=b a2=3c b2=d b2=2考点：椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知ab为圆的直径且ab=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2b2=5；设c1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入c1的方程得：；对称性知直线y=2x被c1截得的弦长=2x，根据c1恰好将线段ab三等分得：2x=，从而可解出a2，b2的值，故可得结论解答：解：由题意，c2的焦点为（，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知ab为圆的直径且ab=2ac1的半焦距c=，于是得a2b2=5 设c1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入c1的方程得：，由对称性知直线y=2x被c1截得的弦长=2x，由题得：2x=，所以 由得a2=11b2 由得a2=5.5，b2=0.5 故选c点评：本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎二、填空题（注释）13双曲线8kx2ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为1考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：先把双曲线8kx2ky2=8的方程化为标准形式，焦点坐标得到c2=9，利用双曲线的标准方程中a，b，c的关系即得双曲线方程中的k的值解答：解：根据题意可知双曲线8kx2ky2=8在y轴上，即 ，焦点坐标为（0，3），c2=9，k=1，故答案为：1点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，注意化成双曲线的标准方程中a，b，c的关系14若不等式|ax3lnx|1对任意x（0，1都成立，则实数a取值范围是考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题专题：综合题；导数的综合应用分析：令g（x）=ax3lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围解答：解：显然x=1时，有|a|1，a1或a1令g（x）=ax3lnx，当a1时，对任意x（0，1，g（x）在（0，1上递减，g（x）min=g（1）=a1，此时g（x），函数在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增|g（x）|的最小值为1，解得：实数a取值范围是点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键15设a、b为在双曲线上两点，o为坐标原点若oa丄ob，则aob面 积的最小值为考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设直线oa的方程为y=kx，则直线ob的方程为y=x，点a（x1，y1）满足满足，可求得|oa|2|ob|2，利用基本不等式即可求得答案解答：解：设直线oa的方程为y=kx，则直线ob的方程为y=x，则点a（x1，y1）满足故=，=，|oa|2=+=，同理|ob|2=，故|oa|2|ob|2=（当且仅当k=1时，取等号）|oa|2|ob|2，又ba0，故saob=|oa|ob|的最小值为点评：本题考查双曲线的简单性质与三角形的面积，考查基本不等式，考查转化与综合运算及抽象思维能力，属于难题16设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a解答：解：y= 的导数为 y=，当x=时，y=1，故y=在点（，2）处的切线斜率为1，故与它垂直的直线 x+ay+1=0 的斜率为=1，a=1，故答案为：1点评：本题考查函数在某点的导数就是函数在此点的切线斜率，以及两直线垂直的性质三、解答题17在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且过d（2，0）（1）求该椭圆的标准方程；（2）若p是椭圆上的动点，点a（1，0），求线段pa中点m的轨迹方程考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距，则半短轴b=即可得出（2）设线段pa的中点为m（x，y），点p的坐标是（x0，y0），利用中点坐标公式可得，即由于点p在椭圆上，代入椭圆方程即可解答：解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距，则半短轴b=1又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为（2）设线段pa的中点为m（x，y），点p的坐标是（x0，y0），由，得点p在椭圆上，得，线段pa中点m的轨迹方程是点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、“代点法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题18一物体沿直线以速度v（t）=2t3（t的单位为：秒，v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程？考点：定积分专题：计算题；应用题分析：先求出v（t）=2t3在t（0，5）的符号，然后分别求出每一段的定积分，最后相加即可求出所求解答：解：当时，；当时，物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程=（米）点评：本题主要考查了定积分，定积分是理科考查的附加题，属于基础题之列19已知椭圆的中心在原点，焦点为f1（0，2），f2（0，2），且离心率e=，求椭圆的方程考点：椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆方程为，由已知条件得，由此能求出椭圆方程解答：解：椭圆的中心在原点，焦点为f1（0，2），f2（0，2），且离心率e=，设椭圆方程为，ab0，则，解得a=3，c=2，b2=98=1，椭圆方程为：点评：本题考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的合理运用20已知椭圆c：的右焦点为f，左顶点为a，点p为曲线d上的动点，以pf为直径的圆恒与y轴相切（）求曲线d的方程；（）设o为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的apm？点m在椭圆c上；点o为apm的重心若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由（若三角形abc的三点坐标为a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），则其重心g的坐标为（，）考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（i）设p（x，y），由椭圆c的方程可得f（1，0），由题意可得以pf为直径的圆的圆心，利用两点间的距离公式得到，化简即可；（ii）不存在可用反证法证明若这样的三角形存在，由题可设，由条件知点m在椭圆上可得，由三角形的重心定理可得，及点a（2，0），代入化简即可得到x2，判断即可解答：解：（）设p（x，y），由题知f（1，0），所以以pf为直径的圆的圆心e，则，整理得y2=4x，为所求（）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，由条件知，由条件得，又因为点a（2，0），所以即，故，解之得x2=2或（舍），当x2=2时，解得p（0，0）不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在点评：本题考查了椭圆及抛物线的定义、标准方程及其性质、反证法、重心定理、向量的运算性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力21由原点o向三次曲线y=x33ax2+bx（a0）引切线，切于不同于点o的点p1（x1，y1），再由p1引此曲线的切线，切于不同于p1的点p2（x2，y2），如此继续地作下去，得到点列pn（xn，yn），试回答下列问题：（1）求x1；（2）求xn与xn+1的关系；（3）若a0，求证：当n为正偶数时，xna；当n为正奇数时，xna考点：数列与函数的综合专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）向三次曲线y=x33ax2+bx （a0），对其进行求导，求出切线l1的方程，根据其过点（0，0），可以求出x1；（2）根据导数与直线的斜率的关系，再求点pn+1（xn+1，yn+1）的切线ln+1的方程，这个切线方程过点pn（xn，yn），代入可得xn与xn+1的关系；（3）根据（2）已知的xn与xn+1的关系，递推关系，将其凑为等比数列，其实n分为奇偶，从而进行证明；解答：解：（1）由y=x33ax2+bx，得y=3x26ax+b过曲线上的点p（x1，y1）的切线l1的方程是y（3a+bx1）=（36ax1+b）（xx1），（x10）由它过原点，有+3abx1=x1（36ax1+b），2=3a（x10），x1=；（2）过曲线上点pn+1（xn+1，yn+1）的切线ln+1的方程是，y（3a+bxn+1）=（36axn+1+b）（xxn+1），由ln+1过曲线上点pn（xn，yn），有3a+bxn（3a+bxn+1）=（36axn+1+b）（xnxn+1），xnxn+10，以xnxn+1除上式，得+xnxn+1+3a（xn+xn+1）+b=3x2n+16axn+1+b，+xnxn+123a（xnxn+1）=0，以xnxn+1除之，得xn+2xn+13a=0，（3）由（2）得，故数列x na是以x 1a=为首项，公比为的等比数列，a0，当n为正偶数时，；当n为正奇数时，点评：此题主要考查数列与函数的综合，难度有些大，还考查导数与直线斜率的关系，还考查分类讨论的思想，考查的知识点比较多，是一道难题；22已知函数在x=1处取得极大值2（1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的极值；（3）设函数g（x）=x22ax+a，若对于任意x1r，总存在x2，