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2 2 2二次函数的性质与图象素材 画出下列函数的草图 并根据图象解答下列问题 1说出y f x 的单调区间 以及在各单调区间上的单调性 2指出图象的最高点或最低点 并说明它能体现函数的什么特征 1 2 1 最大值 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意的x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 称m是函数y f x 的最大值 2 最小值 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意的x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 称m是函数y f x 的最小值 2 函数最大 小 值应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的x i 都有f x m f x m 注意 1 函数最大 小 值首先应该是某一个函数值 即存在x0 i 使得f x0 m 例1 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点 大约是在距地面高度25m到30m处 时爆裂 如果在距地面高度18m的地方点火 并且烟花冲出的速度是14 7m s 写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式 2 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少 精确到1m 解 1 设烟花在t秒时距地面的高度为hm 则由物体运动原理可知 h t 4 9t2 14 7t 18 2 作出函数h t 4 9t2 14 7t 18的图象 如右图 显然 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 纵坐标就是这时距地面的高度 由于二次函数的知识 对于h t 4 9t2 14 7t 18 我们有 于是 烟花冲出后1 5秒是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度为29m 例2 求函数在区间 2 6 上的最大值和最小值 解 设x1 x2是区间 2 6 上的任意两个实数 且x1 x2 则 由于20 x1 1 x2 1 0 于是 所以 函数是区间 2 6 上的减函数 因此 函数在区间 2 6 上的两个端点上分别取得最大值和最小值 即在点x 2时取最大值 最大值是2 在x 6时取最小值 最小值为0 4 二 利用函数单调性判断函数的最大 小 值的方法 1 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 2 利用图象求函数的最大 小 值 3 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则函数y f x 在x a处有最小值f a 在x b处有最大值f b 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增则函数y f x 在x b处有最小值f b 课堂练习 1 函数f x x2 4ax 2在区间 6 内递减 则a的取值范围是 a a 3b a 3c a 3d a 3 d 2 在已知函数f x 4x2 mx 1 在 2 上递减 在 2 上递增 则f
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