高考数学一轮专项复习 数列题型11种（含解析）新人教版.doc

数列题型11种（方法+例题+答案）1. 作差法求通项公式2. 累乘法求通项公式3. 累加法求通项公式4. 构造法求通项公式（一）5. 构造法求通项公式（二）6. 取倒法求通项公式7. 分组求和法求前n项和8. 错位相减法求前n项和9. 裂项相消法求前n项和10. 数列归纳法与数列不等式问题11. 放缩法与数列不等式问题1、作差法求数列通项公式v 已知（）求，v 注意：分两步，当时和时一、例题讲解1、（2015湛江）已知数列的前项和满足（，），且，求数列的通项公式2、（2015茂名）已知数列的前n项和为，且，数列满足，其前9项和为63（1）求数列和的通项公式3、（2015中山）设等差数列的前n项和为，且数列的前n项和为，且。（1）求数列，的通项公式4、（2015揭阳）已知为数列的前n项和，（），且（1）求的值；（2）求数列的通项公式5、（2014汕头）数列中，是前项和，且(1)求数列的通项公式6、（2014肇庆）已知数列的前n项和为，且满足（1）求数列的通项公式7、（2014江门）已知数列的前n项和，求数列的通项公式。8、（2014广州）已知数列的前n项和为，首项为，且成等差数列，求通项公式。9、（2013潮州）已知各项都不为零的数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式10、（2015广州）已知数列的前n项和为，且满足，（1）求的值；（2）求数列的通项公式参考答案：题1、解析：，当时，得：且，当n=1时，也适合上式，故题2、解析： ,当时，式：，即，当n=1时也符合上式；因为所以是等差数列，题3、解析：得，故：；当时，式得：，且当时，故。题4、解析：（1）令n=2，（2），当时，得：，即，故：。题5、解析：，故，所以 ，当时，得：题6、解析： ， ，当时，得：，所以题7、解析： ， ，当时，得：题8、解析：因为成等差数列，所以 ， ，当时，得：，且得，故。题9、解析： ， ，当时，得数列的奇数项组成首项为，公差为2的等差数列；偶数项组成首项为，公差为2的等差数列。；，所以数列的通项公式。题10、解析：（1）令n=1，得（2）由得，即 ，当时，得：，即所以数列从第2项开始是以为首项，公差为1的等差数列，而也适合上式，故2、累乘法求通项公式v 已知求，用累乘法：一、解题讲解1、（2015湛江）记数列的前n项和为，（a0），且（1）求数列的通项公式2、（2014肇庆）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式 3、（2014湛江）已知正数数列中，前项和为，对任意，、成等差数列。（1）求4、（2015珠海）已知数列的前项和为，且，其中 （1）求数列的通项公式;5、（2014汕头）已知数列的前项和，（i）求数列的通项公式6、（2014深圳）已知数列的前n项和为，且满足，（1）求的值；（2）求参考答案：题1、解析： ， ，两式相减得：，题2、解析：由，得，即， 当时， 即 ； 因为，所以（） 题3、解析：依题意：，即，. 当时，代入并整理得:，累乘法得：，又 ， 当时，也满足上式，所以题4、解析：（1）令，得，即，由已知，得把式子中的用替代，得到由可得即，即，即得：，所以：，即 又，所以，又，题5、解析：由题得， ， ，两式相减得：，题6、解析：（1）当时，有，解得当时，有，解得（2）当时，有, 得：，即： 又当时，有， 3、累加法求数列通项公式v 若求，一、例题讲解1. 已知数列满足，求2. 已知数列满足，求3. 已知数列an满足:,求.4. 已知数列an满足:,求.5. 已知数列an满足:,求.6. 在数列an中，,求an.参考答案：题1、解析：，等号两边分别相加，得：，题2、解析：，即，等号两边分别相加，得：，题3、解析：，等号两边分别相等，得，所以题4、解析：，等号两边分别相加，得，题5、解析：，等号两边分别相加，得：，所以题6、解析：，等号两边分别相加，得：，所以4、构造法求通项公式（一）v 已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）v 形如： 一、例题讲解1、已知数列中，求.2、已知，求；3、（2012广东）设数列的前项和，数列的前项和为，满足（1）求数列的通项公式4、（2013上海）已知数列的前n项和为，且，证明：是等比数列并求的通项公式。参考答案：题1、解析：令有得故得，是以为首项，2为公比的等比数列，故，题2、解析：令有 ，得，故得是以为首项，3为公比的等比数列，故，题3、解析：；两式相减得：；得：，是以为首项，2为公比的等比数列，故：，题4、解析：证明：当时，当时，是以15为首项，为公比的等比数列，5、构造法求通项公式（二）v 形如：v 两边同时除以 得一、例题讲解1、已知数列中，,，求；2、已知，求；3、设数列的前项和为，满足，且，成等差数列.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；4、已知数列的前项和满足，求数列的通项公式；5、（2014汕头）设数列的前项和为,已知，（1）求 的值；（2）求数列的通项公式参考答案：题1、解析：等号两边同时除以得：，令，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，故：，题2、解析：等号两边同时除以得：，令，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，故：，题3、解析：（1），令，；令，因为，成等差，由式得：；（2），；，两式相减得：，即，（法一）：，即，是以为首项，3为公比的等比数列，故有：，；（方法二）：等号两边同时除以得：，令，有 ，故是以为首项，为公比的等比数列，。题4、解析：，两式相减得：，令，即，且得，所以是以为首项，2为公比的等比数列 ，故：，题5、解析：（1）依题意, ,又,所以；（2）当时, ；两式相减：，整理得：，即，所以，又因为且 所以，故数列是首项为,公比为的等比数列,所以,所以。6、取倒法求数列通项公式v 形如取倒数得 一、例题讲解1、已知数列中，a，a，a，（nn）求a2、已知数列满足=1，求3、（2013汕尾）已知数列an的首项a10，（1）若，请直接写出a2，a3的值；（2）若，求证：是等比数列并求出an的通项公式；4、（2012深圳）已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）（1）求数列的通项；5、（2011广东）设b0,数列满足,，求数列的通项公式；参考答案：题1、解析：取倒数有，即，是以2为首项，2为公差的等差数列，故：。题2、解析：等号两边分别除以，得，故，题3、解析：（1），（2）取倒数得：，构造得，得，又，故是以为首项，为公比的等比数列，故题4、解析：取倒数，等号两边同时除以：，得，故：题5、解析：取倒数，当时，故当时，是以为首项为公比的等比数列，故，综合：7、分组求和法求前n项和v 在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和一、例题讲解：1、（2013潍坊）已知等差数列的前项和为，且，。（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列的前项和2、（2014揭阳）设是公比为正数的等比数列，（1）求的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和3、（2011北湖区）设等比数列的前n项和为，已知，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为4、（2012山东）设为等差数列，为数列的前n项和，已知，（1） 求数列的通项公式；（2） 若，求数列的前n项和5、（2014汕头）数列中，是前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和，求6、(2013威海)已知数列的首项通项为常数），且成等差数列。（1）求的值；（2）数列前项和的公式参考答案：题1、解析：（1）即，得：，故（2），题2、解析：（1）或（舍去），（2），题3、解析：（1）设等比数列的公比为，由题意得，得；（2），数列前n项和为题4、解析：（1），解得，（2），题5、解析：（1），当时，；（2），题6、解析：（1）成等差数列，即，得又，；（2）8、错位相减法求前n项和v 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）一、例题讲解1、（2012信宜）设为等比数列，已知，（1）求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式.；2、（2015漳浦）等差数列中，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和3、（2014肇庆）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求；4、（2014肇庆）已知数列满足，（）.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n项和，求； 5、（2014惠州）已知数列的前项和为，且有；数列满足（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和为6、（2014珠海）已知数列为等差数列,且,数列的前项和为,且满足，. （1）求数列,的通项公式； （2）若,为数列的前项和,求. 7、（2014中山）数列的前n项和为，（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；8、（2014梅州）设等比数列的前n项和为sn，已知。（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n2个数组成一个公差为d的等差数列。在数列中是否存在三项（其中m，k，p是等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由；求证：参考答案：题1、解析：（1）得，（2）由（1）知，得：，题2、解析：（1），解得，（2），：，故题3、解析：（1）由，得，即，当时，累乘法，即，因为，所以（）；（2）由与，得， ，得 题4、解析：（1），又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，因此，即；（2） ，两式相减，得 ， 题5、解析：（1） 时，时，两式相减得：，是以为首项，为公比的等比数列 ，（2） -得： ， 题6、解析：（1）数列是等差数列，设公差为，则，解得， ， ， 由得，由得， ，是等比数列，公比是， .（2）， .题7、解析：（1）因为， 当时，则， 当时，所以，即，所以，而，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以（2）由(1)得所以 ，-得：，题8、解析：（1）由,可得：,两式相减：，又,因为数列是等比数列，所以，故.所以 ；（2）由（1）可知，因为：，得假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，则：，即：, （*），因为成等差数列，所以 ,（*）可以化简为，故，这与题设矛盾，所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列。令， , 两式相减：， 9、裂项相消法求前n项和v 如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：； ； ，一、例题讲解1、（2014福建）等差数列中，（1）求的通项公式；（2）设2、（2014湛江）已知正数数列中，前项和为，对任意，、成等差数列，求和。3、（2014广州）已知数列前n项和为成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求证：4、（2014佛山）数列、的每一项都是正数,且、成等差数列,、成等比数列,.（1）求、的值；（2）求数列、的通项公式；（3）证明:对一切正整数,有.5、（2014东莞）已知函数的图象上。（1）求数列的通项公式（2）令证明：6、（2015梅州）数列中，且满足，。（1）求数列的通项公式；（2）设，求；（3） 设是否存在最大的整数m，使得对任意，均有成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。 7、（2015南宁）在各项均为正数的等比数列中，且成等差数列（1）求等比数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和参考答案：题1、解析：（1），解得，（2），题2、解析：（1）依题意：， 即 ，.当时，代入并整理得:，累乘法，把以上个式子相乘得： ， 又 ，当时，满足上式，题3、解析：（1）成等差数列，当时，当时，两式相减：，即，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，；（2），题4、解析：（1）由，可得，由，可得（2）、成等差数列，又、成等比数列，因为数列、的每一项都是正数，所以，于是当时，由式得：，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以，由式，当时，当时，满足该式子，所以对一切正整数，都有（3）首先证明（）.因为,所以当时，. 当时，.综上所述，对一切正整数，有题5、解析：（1） 当；当，适合上式， （2）证明：由又 成立 题6、解析：（1）由题意，为等差数列，设公差为， 由题意, 得， ；（2）若，当当时，. 故 (3). 得 若对任意成立，即对任意成立，单调递增，当时,取得最小值. 的最大整数值是7.即存在最大整数使对任意，均有 题7、解析：（1）设数列的公比为，成等差数列， ，解得或 ，数列的通项公式；（2） . 10、放缩法与数列不等式问题v 先裂项求和，再放缩处理v 放缩后成等比数列，差比数列，等差数列一、例题讲解：1、设数列的前项的和,，（1）求首项与通项；（2）设，证明：.2、等比数列中，前n项的和为，且成等差数列，设，数列前项的和为，证明：3、已知数列满足：，求证：4、已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2) 求证：5、已知数列的前项和满足：， （1）写出数列的前三项，；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有参考答案：题1、解析: (1)由 sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=s1= a14+ 所以a1=2 再由有 sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=snsn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,(2)将an=4n2n代入得 sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 1）化简得：,，故数列是以为首项, 公比为的等比数列，故 数列的通项公式为：.观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中