高考数学一轮复习 4.2平面向量的分解及向量的坐标表示练习 理.doc

第二节平面向量的分解及向量的坐标表示一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数1，2，满足a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2称1e12e2为e1，e2的线性组合二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系三、平面向量的坐标运算1若a，b，则ab(x1x2，y1y2)2若a，b，则.3若a(x，y)，则a(x，y)四、向量的运算向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质，若a(x1，y1)，b(x2，y2)运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2三角形法则ab(x1x2，y1y2)abba，(ab)ca(bc)，向量的减法三角形法则ab(x1x2，y1y2)aba(b)，数乘向量法a是一个向量满足：0时，a与a同向；0；当a与b异向时，0.|，的大小由a及b的大小确定因此，当a，b确定时，的符号与大小就确定了这就是实数乘向量中的几何意义1设平面向量a(3，5)，b(2，1)，则a2b(b)a(6，3)b(7，3)c(2，1)d(7，2)解析：a2b(3，5)2(2，1)(7，3)故选b.2已知abcd中，(3，7)，(2，3)，对角线ac与bd交于点o，则的坐标为(d)a.b.c.d.解析：(2，3)(3，7)(1，10)，.故选d.3已知向量a(2，3)，b(x，6)共线，则x4解析：依题意有3x2(6)0，得x4.4已知平面内不共线的四点o，a，b，c满足，则|21解析：()，()，21.高考方向1.平面向量基本定理、向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示是近几年高考的热点.2.题型主要以选择题、填空题为主，属于中、低档题1在平面直角坐标系中，o(0，0)，p(6，8)，将向量绕点o按逆时针方向旋转后得向量，则点q的坐标是(a)a(7，) b(7，) c(4，2) d(4，2)解析：设xop，则由题意知：xoq(如图所示)，|10.设(10cos ，10sin )，得cos ，sin ，则(10cos，10sin)(7，)故选a .2(2013北京卷)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，r)，则4解析：以向量a的起点为原点建直角坐标系，则a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)，根据cab(1，3)(1，1)(6，2)有61，23，解之得2且，故4.1已知点a(1，5)和向量a(2，3)，若3a，则点b的坐标为(d)a(7，4) b(7，14) c(5，4) d(5，14)解析：设b(x，y)，由3a得(x1，y5)(6，9)，故有解得故选d.2已知向量a(1，1)，b(3，m)，若a(ab)，则m(c)a2 b2 c3 d3解析：利用向量共线定理建立方程求解因为ab(2，1m)，且a(ab)，所以(1m)20，解得m3，故选c.课时作业1设向量a(1，cos )，b(3cos ，1)，且ab，则cos 2等于(a)a bc. d.解析：依题意有3cos cos 10，cos2.cos 22cos21.故选a.2已知平面内任一点o满足xy(x，yr)，则“xy1”是“点p在直线ab上”的(c)a必要不充分条件 b充分不必要条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：根据平面向量基本定理知：xy(x，yr)且xy1等价于p在直线ab上3若向量a(1，1)，b(1，1)，c(1，2)，则c等于(b)aab b.abc.ab dab解析：令cab(，r)，则(1，2)(1，1)(1，1)，解得cab，故选b.4已知平面向量a(2，1)，b(x，2)，若ab，则ab等于(a)a(2，1) b(2，1)c(3，1) d(3，1)解析：由ab得2(2)1x，x4，故ab(2，1)故选a5已知平行四边形abcd，点p为四边形内部或者边界上任意一点，向量xy，则0x，0y的概率是(a)a. b. c. d.解析：根据平面向量基本定理，点p只要在如图所示的区域ab1c1d1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的，故所求的概率是.6设向量a，b满足|a|2，b(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为(4，2)解析：设ab(2，)，(0)，|a|2，(2)22(2)2.24，2，a(4，2)7设(1，2)，(a，1)，(b，0)，a0，b0，o为坐标原点，若a，b，c三点共线，则的最小值是8解析：(a1，1)，(b1，2)因为a、b、c三点共线，所以.即.所以2ab1.所以442 8，当且仅当时取等号所以的最小值是8.8如图所示，在abc中，h为bc上异于b，c的任一点，m为ah的中点，若，则解析：由b，h，c三点共线，可令x(1x).又m是ah的中点，x(1x).又，x(1x).9(2013宁波调研)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)若点a，b，c能构成三角形，求实数m满足的条件解析：(3，7)，(2m，7m)，又a，b，c能构成三角形，故点a，b，c不共线，即，不共线，3(7m)(7)(2m)0，得m.故m应满足的条件是.10(2013贵州模拟)已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1，2)(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|，0，求的值解析：(1)因为ab，所以2sin cos 2