高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和练习 理.doc

第三节等比数列及其前n项和一、等比数列的定义一般地，一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，即q(nn*)，则这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)二、等比数列的通项公式若数列an为等比数列，则ana1qn1.三、等比数列的前n项和公式当q1时，snna1，当q1时，sn.四、等比中项如果三个数a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项，即g.五、等比数列的主要性质1anamqnm(n，mn*)2对于任意正整数m，n，r，s，只要满足mnrs，则amanaras.3对于任意正整数p，r，s，如果pr2s，则apara.4对任意正整数n1，有aan1an1.5对于任意非零实常数b，ban也是等比数列6若an，bn是等比数列，则anbn也是等比数列7等比数列中，如果an0，则logaan是等差数列8若数列loga an成等差数列，则an成等比数列9若数列是等比数列，则数列a2n，a2n1，a3n1，a3n2，a3n等都是等比数列10若数列是等比数列，则sm，s2msm，s3ms2m成等比数列，所以(s2msm)2sm(s3ms2m)1. 若数列an是公比为4的等比数列，且a12，则数列log2an是(a)a公差为2的等差数列b公差为lg 2的等差数列c公比为2的等比数列d公比为lg 2的等比数列2设数列为公比q1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a718解析：a4，a5为方程4x28x30的两根，解得或又q1，q3.a6a7(a4a5)q223218.3若等比数列an满足anan116n，则公比为4解析：由anan116n得an1an216n1，两式相除得：16，q216，anan116n可知公比为正数，q4.4在等比数列an中，2a3a2a40，则a32；若bn为等差数列，且b3a3，则数列bn的前5项和等于10解析：a2a30，a30，a32，b32，bn的前5项和为5b310.高考方向1.以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简单性质.2.在解答题中与等差数列、数列求和等问题综合考查.1(2014大纲全国卷) 等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于(c)a6 b5 c4 d3解析：利用等比数列的性质及对数的运算法则求解数列lg an的前8项和s8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.2(2014江苏卷)在各项均为正数的等比数列中，若a21，a8a62a4，则a6的值是4解析：设等比数列an的公比为q，q0，则a8a62a4，即a4q4a4q22a4，解得q22(舍负)，又a21，所以a6a2q44.1在等比数列an中，若a2a33a1，则a43解析：由等比数列的性质知a2a3a1a43a1，由于a10，所以a43.2(2013东北三省三校第一次联合模拟)已知数列an的前n项和sn满足sn2an(1)n(nn*)(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列为等比数列，并求出an的通项公式解析：(1)在sn2an(1)n，n1中分别令n1，2，3得：解得(2)由sn2an(1)n，n1得：sn12an1(1)n1，n2，两式相减得：an2an12(1)n，n2，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n，an(1)n2(n2)，故数列是以a1为首项，公比为2的等比数列所以an(1)n2n1，即an2n1(1)n(nn*)课时作业1已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a5(b)a8 b16 c32 d64解析：由a1a23，a2a36可得q2，将q2代入a1a23，得a12a13，解得a11，故a52416.故选b.2等差数列an的前n项和为sn，且9a1，3a2，a3成等比数列若a13，则a4(c)a6 b4 c3 d5解析：设等差数列an的公差为d，则有9(a1d)29a1(a12d)，因为a13，所以可解得d0，所以an为常数列，a4a13.故选c.3已知an是首项为1的等比数列，sn是an的前n项和，且9s3s6，则数列的前5项和为(c)a. b. c. d.解析：a11，9s3s6，q1.则9，得q31(舍)，q38，q2，数列前5项和为.故选c.4一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂(b)a.只 b66只c63只 d62只解析：从第一天起，每一天归巢后，蜂巢中的蜜蜂数依次为：6，62，63，这是一个等比数列，首项为6，公比为6，所以第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂66只故选b.5等比数列an中，a36，前三项和s34xdx，则公比q的值为(c)a1 bc1或 d1或解析：s34xdx2x2232018，由题知，a1q26，a1a1q12，式除以式得2，解得q1或，故选c.6定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 (c)a b c d解析：等比数列性质，anan2a，f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1)；f(an)f(an2)2an2an22anan222an1f2(an1)；f(an)f(an2)f2(an1)；f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1)故选c.7(2013北京卷)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q2；前n项和sn2n12解析：设等比数列的公比为q，由a2a420，a3a540.20q40，且a1qa1q320，解之得q2，且a12.因此sn2n12.8如果数列a1，是首项为1，公比为的等比数列，则a532解析：a1()n1()n1，a5()432132.9已知等比数列an的各项均为不等于1的正数，数列bn满足bnlnan，b318，b612，则数列bn前n项和的最大值为132解析：由题知，b318ln a3，a3e18，b612ln a6，a6e12，q3e6，qe2，则a1e22，则b122，b220，bn22(n1)(2)，n12时，bn0，则s12最大为132.10(2013陕西卷)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1, 证明数列an1不是等比数列(1)解析：分两种情况讨论当q1时，数列an是首项为a1的常数数列，所以sna1a1a1na1.当q1时，数列sna1a2an1anqsnqa1qa2qan1qan.上面两式错位相减： (1q)sna1(a2qa1)(a3qa2)(anqan1)qana1qan.sn.综上，sn(2)证明：使用反证法设an是公比q1的等比数列， 假设数列an1是等比数列则当nn*，使得an10成立，则an1不是等比数列当nn*，使得an10成立，则恒为常数a1qn1a1qn11当a10时，q1.这与题目条件q1矛盾综上两种情况，假设数列an1是等比数列均不成立，所以当q1时， 数列an1不是等比数列11已知数列an的前n项和为sn，且a12a23a3nan(n1)sn2n(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)若p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判断ap1，aq1，ar1是否成等比数列？并说明理由解析：(1)a12a23a3nan(n1)sn2n，当n1时，有a1(11)s12，解得a12.由a12a23a3nan(n1)sn2n， a12a23a3nan(n1)an1nsn12(n1)，得：(n1)an1nsn1(n1)sn2.由式得：(n1)an1nsn1(n1)sn2n(sn1sn)sn2，得an1sn2.当n2时ansn12，得：an12an.由a12a2s24，得a24，又a22a1，a12.数列an是