高考数学一轮复习 题库大全专题强化训练（三） 文.doc

专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1.设an,bn分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是()a.a2b2b.a3b5d.a6b6【解析】选a.设an的公差为d,bn的公比为q,由题可得d=-1,q=322,于是a2=3b2=232,故选a.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则(a1+a2)2b1b2的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得a1+a2=x+y,b1b2=xy,所以(a1+a2)2b1b2=(x+y)2xy=2+xy+yx.当x,y同号时,xy+yx2;当x,y异号时,yx+xy-2.所以(a1+a2)2b1b2的取值范围为(-,04,+).答案:(-,04,+)2.已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()a.24b.32c.48d.64【解析】选d.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.两式相除得an+2an=2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32.又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.3.设an(nn*)是等差数列,sn是其前n项的和,且s5s8,则下列结论错误的是()a.ds5d.s6与s7均为sn的最大值【解析】选c.因为an是等差数列,所以sn=d2n2+a1-d2n.因为s5s8,所以sn关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d0,s6与s7均为sn的最大值,s90,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为()a.an=n(n-1)2,nn*b.an=n(n-1),nn*c.an=n-1,nn*d.an=2n-2,nn*【解析】选c.当x0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x0时,若x=n,nn*,则f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)+x+1,其中x代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x-x-1)=x-x-1,其中-1x-x-10,y0),已知数列an满足:an=f(n,2)f(2,n)(nn*),若对任意正整数n,都有anak(kn*)成立,则ak的值为()a.89b.2c.1d.4【解析】选a.an=2nn2,an+1an=2n+1(n+1)22nn2=2n2(n+1)2,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2(n+1)2,即当n3时,an+1an,故数列an中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=89,故ak的值为89.5.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为n+4910(nn*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了()a.600天b.800天c.1000天d.1200天【解析】选b.由第n天的维修保养费为n+4910(nn*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=3.2104n+n20+9920,当且仅当3.2104n=n20时取得最小值,此时n=800,故选b.【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()a.1和20b.9和10c.9和11d.10和11【解析】选d.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑的距离的和是s=10(i-1)+10(i-2)+10(i-i)+10(i+1)-i+10(20-i)=10(i-1+1)(i-1)2+(1+20-i)(20-i)2=10(i2-21i+210).所以当i=10或11时,s有最小值.二、填空题6.(2015镇江模拟)设曲线y=xn+1(nn*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99的值为.【解析】因为y=xn+1(nn*),所以y=(n+1)xn(nn*),所以y|x=1=n+1,所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=nn+1,所以xn=nn+1,所以an=lgxn=lgnn+1=lg n-lg(n+1),所以a1+a2+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.答案:-27.某厂生产微机,原计划第一季度每月增产台数相同,在生产过程中,实际二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产微机台.【解析】原计划第一季度三个月分别生产a1,a1+d,a1+2d台微机,现在实际上生产了a1,a1+d+10,a1+2d+25台.由题意得解得故第一季度实际生产微机台数是3a1+3d+35=305.答案:3058.数列an的前n项和为sn,若数列an的各项按如下规律排列:12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,1n,2n,n-1n,有如下运算和结论:a24=38;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,是等比数列;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,的前n项和为tn=n2+n4;若存在正整数k,使sk10,sk+110,则ak=57.其中正确的结论有.(将你认为正确的结论的序号都填上)【解析】依题意,将数列an中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于1+2+3+nn+1=n2,对于,注意到21=6(6+1)2247(7+1)2=28,因此数列an中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=38,因此正确.对于,设bn为中的数列的通项,则bn=1+2+3+nn+1=n2,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于12n(n+1)2=n2+n4,因此不正确,正确.对于,注意到数列的前6组的所有项的和等于62+64=1012,因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数,即ak=57,因此正确.综上所述,其中正确的结论有.答案:三、解答题9.(2014天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合m=0,1,2,q-1,集合a=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xim,i=1,2,n.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合a.(2)设s,ta,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,bim,i=1,2,n,证明:若anbn,则st.【解析】(1)当q=2,n=3时,m=0,1,a=x|x=x1+2x2+4x3,xim,i=1,2,3.可得,a=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)由s,ta,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,bim,i=1,2,n及anbn,可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+（an-1-bn-1）qn-2+（an-bn）qn-1（q-1）+（q-1）q+（q-1）qn-2-qn-1所以,s2时,|an|=an=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列,故sn=|a1|+|a2|+a3+a4+an=(4+1)+2+5+(3n-7)=5+(n-2)2+(3n-7)2=3n22-11n2+10.所以sn=-3n22+11n2,n2,3n22-11n2+10,n2,这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为sn=4,n=1,3n22-11n2+10,n2,方法二:设数列an的前n项和为tn,则tn=n(-4+3n-7)2=3n22-11n2.由于n2时,|an|=-an,所以此时sn=-tn=-3n22+11n2;当n2时,sn=(-a1-a2)+(a3+a4+an)=-t2+(tn-t2)=tn-2t2=3n22-11n2+10.所以sn=-3n22+11n2,n2,3n22-11n2+10,n2,这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为sn=4,n=1,3n22-11n2+10,n2.11.已知an是由正数组成的数列,a1=1且点(an,an+1)(nn*)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列an的通项公式.(2)若数列bn满足b1=1,bn+1=bn+,求证:bnbn+2bn2+1.【解题提示】(1)由点在函数图象上即可得出an+1与an的关系,从而可写出通项公式.(2)结合(1)找出bn+1与bn的关系式,从而可得bn,然后利用作差法比较大小.【解析】(1)由已知,得an+1=an+1,得an+1-an=1,又a1=1,所以数列an是以1为首项,1为公差的等差数列.故an=1+(n-1)1=n.(2)由(1),知an=n,从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+2+1=1-2n1-2=2n-1.因为bnbn+2-bn2+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-22n+1+1)=-52n+42n=-2n0,所以bnbn+2bn2+1.【方法技巧】数列与函数的综合一般体现在两个方面:(1)以数列的特征量n,an,sn等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系.(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.【加固训练】已知数列an的前n项和为sn,对一切正整数n,点pn(n,sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点pn(n,sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式.(2)设q=x|x=kn,nn*,r=x|x=2an,nn*,等差数列cn的任一项cnqr,其中c1是qr中的最小数,110c10115,求cn的通项公式.【解析】(1)因为点pn(n,sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,所以sn=n2+2n(nn*).当n2时,an=sn-sn-1=2n+1,当n=1时,a1=s1=3满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)因为q=x|x=2n+2,nn*,r=x|x=4n+2,nn*,所以qr=r.又因为cnqr,其中c1是qr中的最小数,所以c1=6,因为cn的公差是4的倍数,所以c10=4m+6(mn*).又因为110c10115,所以1104m+6cn成立.【解题提示】【解析】(1)由已知,得sn+2-sn+1-(sn+1-sn)=1,所以an+2-an+1=1(n1).又a2-a1=1,所以数列an是以a1=2为首项,1为公差的等差数列.所以an=n+1.又bn+1+2=4(bn+2),所以bn+2是以4为首项,4为公比的等比数列.所以bn=4n-2.(2)由(1)知an=n+1,bn=4n-2,则cn=4n+(-1)n-12n+1,要使cn+1cn成立,需cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)n2n+2-(-1)n-12n+10恒成立,即34n-3(-1)n-12n+10恒成立,所以(-1)n-12n-1恒成立.当n为奇数时,即2n-1恒成立,当且仅当n=1时,2n-1有最小值1,所以-2n-1恒成立,当且仅当n=2时,-2n-1有最大值-2,所以-2.结合可知-2cn成立.【误区警示】遇到式子中含有(-1)n的问题时要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论,本题的易错点就是忘掉对n的奇偶性的讨论.【加固训练】已知等差数列an的公差为2,其前n项和sn=pn2+2n(nn*).(1)求p的值及an.(2)若bn=2(2n-1)an,记数列bn的前n项和为tn,求使tn910成立的最小正整数n的值.【解题提示】【解析】(1)方法一:因为an是公差为2的等差数列,所以sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)22=n2+(a1-1)n.又由已知sn=pn2+2n,所以p=1,a1-1=2,所以a1=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法二:由已知a1=s1=p+2,s2=4p+4,即a1+a2=4p+4,所以a2=3p+2.又此等差数列的公差为2,所以a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法三:由已知a1=s1=p+2,所以当n2时,an=sn-sn-1=pn2+2n-p(n-1)2+2(n-1)=2pn-p+2,所以a2=3p+2,由已知a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.(2)由(1)知bn=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1,所以tn=b1+b2+b3+bn=11-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+1.因为tn910,所以2n2n+1910,所以20n18n+9,即n92,又nn*,所以使tn910成立的最小正整数n=5.13.某工厂年初用98万元购买一台新设备,第一年设备维修及燃料、动力消耗(称为设备的低劣化)的总费用12万元,以后每年都增加4万元,新设备每年可给工厂收益50万元.(1)工厂第几年开始获利?(2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:年平均获利最大时,以26万元出售该设备;总纯收入获利最大时,以8万元出售该设备.问哪种方案对工厂合算?【解析】(1)由题设每年费用是以12为首项,4为公差的等差数列,设第n年时累计的纯收入为f(n).所以f(n)=50n-12+16+(4n+8)-98=40n-2n2-98.获利即为:f(n)0,所以40n-2n2-98