学案16 点、直线、平面之间的位置关系.ppt

1 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了解四个公理及等角定理可作为理论依据 2 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线 面平行 垂直的有关性质与判定定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 学案16点 直线 平面之间的位置关系 1 2009 湖南 平行六面体abcd a1b1c1d1中 既与ab共面也与cc1共面的棱的条数为 a 3b 4c 5d 6解析如图所示 用列举法知符合要求的棱为bc cd c1d1 bb1 aa1 c 2 2009 湖南 正方体abcd a1b1c1d1的棱上到异面直线ab cc1的距离相等的点的个数为 a 2b 3c 4d 5解析如图所示 棱bc的中点m到异面直线ab cc1的距离都等于棱长的一半 点d b1到异面直线ab cc1的距离都等于棱长 棱a1d1的中点到异面直线ab cc1的距离都等于棱长的倍 c 3 平面 平面的一个充分条件是 a 存在一条直线a b 存在一条直线a c 存在两条平行直线a b d 存在两条异面直线a b 解析故排除a 故排除b 故排除c d 4 已知两条直线m n 两个平面给出下面四个命题 其中正确命题的序号是 a b c d 解析 中 m n有可能是异面直线 中 n有可能在上 都不对 故选c c 题型一空间点 线 平面之间的位置关系 例1 如图所示 平面abef 平面abcd 四边形abef与abcd都是直角梯形 bad fab 90 g h分别为fa fd的中点 1 证明 四边形bchg是平行四边形 2 c d f e四点是否共面 为什么 3 设ab be 证明 平面ade 平面cde 方法一 1 证明由题意知 fg ga fh hd 所以所以四边形bchg是平行四边形 2 解c d f e四点共面 理由如下 g是fa的中点知 所以ef bg 由 1 知bg ch 所以ef ch 故ec fh共面 又点d在直线fh上 所以c d f e四点共面 3 证明连接ec 由ab be 及 bag 90 知abeg是正方形 故bg ea 由题设知fa ad ab两两垂直 故ad 平面fabe 因此ea是ed在平面fabe内的射影 根据三垂线定理 bg ed 又ed ea e 所以bg 平面ade 由 1 知ch bg 所以ch 平面ade 由 2 知ch 平面cde 得平面ade 平面cde 方法二由题设知fa ab ad两两互相垂直 如图 以a为坐标原点 以射线ab为x轴正方向 以射线ad为y轴正方向 以射线af为z轴正方向 建立直角坐标系a xyz 1 证明设ab a bc b be c 则由题设得a 0 0 0 b a 0 0 c a b 0 d 0 2b 0 e a 0 c g 0 0 c h 0 b c 所以 0 b 0 0 b 0 于是又点g不在直线bc上 所以四边形bchg是平行四边形 2 解c d f e四点共面 理由如下 由题设知f 0 0 2c 所以 a 0 c a 0 c 又c ef h fd 故c d e f四点共面 3 证明由ab be 得c a 所以 a 0 a a 0 a 又 0 2b 0 因此即ch ae ch ad 又ad ae a 所以ch 平面ade 故由ch 平面cdfe 得平面ade 平面cde 探究拓展 要证明四边形bchg是平行四边形 只要证明即可 要证明c d e f共面 可通过证明四边形cdef中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可 要证明面面垂直通常转化成为证明线面垂直 变式训练1在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱aa1 cc1的中点 则在空间中与三条直线a1d1 ef cd都相交的直线 a 不存在b 有且只有两条c 有且只有三条d 有无数条解析如图所示 在平面add1a1内延长de与d1a1的延长线相交于一点h 则dh为所求直线 在平面dcc1d1内延长d1f与dc的延长线相交于点g 则d1g为满足条件的直线 取ef的中点o 则a1c一定经过o 这样就找到了满足条件的三条直线 若取dc的中点k oe的中点m a1h的中点n 则k m n三点共线 下面证明这个结论 以d1为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为2 则k 0 1 2 e 2 0 1 o 1 1 1 n 3 0 0 m是oe的中点 kn km mn k m n三点共线 即直线kn满足条件 这已找到了四条满足题意的直线 同理还可以找到更多与三条直线a1d1 dc ef相交的直线 答案d 题型二线线 线面位置关系 例2 2009 江苏 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中e f分别是a1b a1c的中点 点d在b1c1上 a1d b1c 求证 1 ef 平面abc 2 平面a1fd 平面bb1c1c 证明 1 由e f分别是a1b a1c的中点知ef bc 又ef 平面abc bc 平面abc 所以ef 平面abc 2 因为三棱柱abc a1b1c1为直三棱柱 所以bb1 面a1b1c1 bb1 a1d 又a1d b1c bb1 b1c b1 所以a1d 面bb1c1c 又a1d 面a1fd 所以平面a1fd 平面bb1c1c 探究拓展 证明线面平行 通常用线面平行的判定定理或由面面平行证明线面平行 证明线面垂直 常用线面垂直的判定定理 在解决线线平行 线面平行的问题时 若题目中出现了中点 往往可考虑中位线来进行证明 变式训练2 2009 海南 如图所示 四棱锥s abcd的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 p为侧棱sd上的点 1 求证 ac sd 2 若sd 平面pac 求二面角p ac d的大小 3 在 2 的条件下 侧棱sc上是否存在一点e 使得be 平面pac 若存在 求的值 若不存在 试说明理由 1 证明连结bd 设ac交bd于o 由题意so ac 在正方形abcd中 ac bd 所以ac 平面sbd 所以ac sd 2 解设正方形边长为a 则sd 又od 所以 sdo 60 连结op 由 1 知ac 平面sbd 所以ac op 且ac od 所以 pod是二面角p ac d的平面角 由sd 平面pac 知sd op 所以 pod 30 即二面角p ac d的大小为30 3 解在棱sc上存在一点e 使be 平面pac 由 2 可得pd 故可在sp上取一点n 使pn pd 过n作pc的平行线与sc的交点即为e 连结bn 在 bdn中 知bn po 又由于ne pc 故平面ben 平面pac 得be 平面pac 由于sn np 2 1 故se ec 2 1 方法二 1 证明连结bd 设ac交于bd于o 由题意知so 平面abcd 以o为坐标原点 分别为x轴 y轴 z轴正方向 建立坐标系o xyz 如图所示 设底面边长为a 则高so 故oc sd 所以ac sd 2 解由题设知 平面pac的一个法向量平面dac的一个法向量设所求二面角为所求二面角p ac d的大小为30 3 解在棱sc上存在一点e使be 平面pac 由 2 知是平面pac的一个法向量 即当se ec 2 1时 而be不在平面pac内 故be 平面pac 题型三面面位置关系 例3 2009 天津 如图 在五面体abcdef中 fa 平面abcd ad bc fe ab ad m为ec的中点 af ab bc fe ad 1 求异面直线bf与de所成的角的大小 2 证明 平面amd 平面cde 3 求二面角a cd e的余弦值 方法一 1 解由题设知 bf ce 所以 ced 或其补角 为异面直线bf与de所成的角 设p为ad的中点 连结ep pc 又fa 平面abcd 所以ep 平面abcd 而pc ad都在平面abcd内 故ep pc ep ad 由ab ad 可得pc ad 设fa a 则ep pc pd a cd de ec a 故 ced 60 所以异面直线bf与de所成的角的大小为60 2 证明因为dc de且m为ce的中点 所以dm ce 连结mp 则mp ce 又mp dm m 故ce 平面amd 而ce 平面cde 所以平面amd 平面cde 3 解设q为cd的中点 连结pq eq 因为ce de 所以eq cd 因为pc pd 所以pq cd 故 eqp为二面角a cd e的平面角 由 1 可得 ep pq eq pq 于是在rt epq中 cos eqp 所以二面角a cd e的余弦值为 方法二如图所示 建立空间直角坐标系 点a为坐标原点 设ab 1 依题意得b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 2 0 e 0 1 1 f 0 0 1 1 解 1 0 1 0 1 1 于是所以异面直线bf与de所成的角的大小为60 2 证明因此ce am ce ad 又am ad a 故ce 平面amd 而ce 平面cde 所以平面amd 平面cde 3 解设平面cde的法向量为u x y z 则令x 1 可得u 1 1 1 又由题设 平面acd的一个法向量v 0 0 1 因为二面角a cd e为锐角 所以其余弦值为 探究拓展 本小题要考查异面直线所成的角 平面与平面垂直 二面角等基础知识 考查用空间向量解决立体几何问题的方法 考查空间想像能力 运算能力和推理论证能力 变式训练3如图所示 矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直 be cf bcf cef 90 ad ef 2 1 求证 ae 平面dcf 2 当ab的长为何值时 二面角a ef c的大小为60 方法一 1 证明过点e作eg cf交cf于g 连结dg 可得四边形bcge为矩形 又四边形abcd为矩形 所以从而四边形adge为平行四边形 故ae dg 因为ae 平面dcf dg 平面dcf 所以ae 平面dcf 2 解过点b作bh ef交fe的延长线于h 连结ah 由平面abcd 平面befc ab bc 得ab 平面befc 从而ah ef 所以 ahb为二面角a ef c的平面角 在rt efg中 因为eg ad ef 2 所以 cfe 60 fg 1 又因为ce ef 所以cf 4 从而be cg 3 于是bh be sin beh 因为ab bh tan ahb 所以当ab为时 二面角a ef c的大小为60 方法二如图所示 以点c为坐标原点 以cb cf和cd所在直线分别作为x轴 y轴和z轴 建立空间直角坐标系c xyz 设ab a be b cf c 则c 0 0 0 a 0 a b 0 0 e b 0 f 0 c 0 1 证明 0 b a 0 0 0 b 0 所以从而cb ae cb be 所以cb 平面abe 因为cb 平面dcf 所以平面abe 平面dcf 故ae 平面dcf 2 解因为 c b 0 b 0 所以e 3 0 f 0 4 0 设n 1 y z 与平面aef垂直 又因为ba 平面befc 0 0 a 所以当ab为时 二面角a ef c的大小为60 题型四折叠问题 例4 如图1 e f分别是矩形abcd的边ab cd的中点 g是ef上的一点 将 gab gcd分别沿ab cd翻折成 g1ab g2cd 并连接g1g2 使得平面g1ab 平面abcd g1g2 ad 且g1g2 ad 连接bg2 如图2 1 证明 平面g1ab 平面g1adg2 2 当ab 12 bc 25 eg 8时 求直线bg2和平面g1adg2所成的角的正弦值 方法一 1 证明因为平面g1ab 平面abcd 平面g1ab 平面abcd ab ad ab ad 平面abcd 所以ad 平面g1ab 又ad 平面g1adg2 所以平面g1ab 平面g1adg2 2 解过点b作bh ag1于点h 连接g2h 由 1 的结论可知 bh 平面g1adg2 所以 bg2h是bg2和平面g1adg2所成的角 因为平面g1ab 平面abcd 平面g1ab 平面abcd ab g1e ab g1e 平面g1ab 所以g1e 平面abcd 故g1e ef 因为g1g2 ad ad ef 所以可在ef上取一点o 使eo g1g2 又因为g1g2 ad eo 所以四边形g1eog2是矩形 由题设ab 12 bc 25 eg 8 则gf 17 所以g2o g1e 8 g2f 17 of 15 g1g2 eo 10 因为ad 平面g1ab g1g2 ad 所以g1g2 平面g1ab 从而g1g2 g1b 62 82 102 200 bg2 又ag1 由bh ag1 g1e ab 得bh 故sin bg2h 即直线bg2与平面g1adg2所成的角的正弦值为 方法二 1 证明因为平面g1ab 平面abcd 平面g1ab 平面abcd ab g1e ab g1e 平面g1ab 所以g1e 平面abcd 从而g1e ad 又ab ad 所以ad 平面g1ab 因为ad平面g1adg2 所以平面g1ab 平面g1adg2 2 解由 1 可知 g1e 平面abcd 故以e为原点 分别以直线eb ef eg1为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 由题设ab 12 bc 25 eg 8 则eb 6 ef 25 eg1 8 相关各点的坐标分别是a 6 0 0 d 6 25 0 g1 0 0 8 b 6 0 0 所以 0 25 0 6 0 8 设n x y z 是平面g1adg2的一个法向量 故可取n 4 0 3 过点g2作g2o 平面abcd于点o 因为g2c g2d 所以oc od 于是点o在y轴上 因为g1g2 ad 所以g1g2 ef g2o g1e 8 设g2 0 m 8 0 m 25 由172 82 25 m 2 解得m 10 所以g2 0 10 8 所以 0 10 8 6 0 0 6 10 8 设bg2和平面g1adg2所成的角是即直线bg2与平面g1adg2所成的角的正弦值为 探究拓展 解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量和变化量 一般情况下 线段长度是不变量 而折痕同侧的各种关系不发生变化 折痕两侧的位置关系将发生变化 抓住不变量是解决问题的关键 变式训练4已知等腰梯形pbcd中 如图1 pb 3 dc 1 pd bc a是pb边上一点 且ad pb 现将 pad沿ad折起 使平面pad 平面abcd 如图2 1 证明 平面pad 平面pcd 2 试在棱pb上确定一点m 使截面amc把几何体分成两部分的体积比vpdcma vmacb 2 1 3 在点m满足 2 的条件下 判断直线pd是否平行于平面amc 并说明理由 1 证明由题意知 cd ad 又平面pad 平面abcd 所以cd 平面pad 又cd 平面pcd 所以 平面pad 平面pcd 2 解由 1 知pa 平面abcd 所以平面pab 平面abcd 在pb上取一点m 作mn ab于n 则mn 平面abcd 设mn h 则vm abc s abc h 要使vpdcma vmacb 2 1 解得h 即m为pb的中点 3 解连接bd交ac于点o 因为ab cd ab 2 cd 1 由三角形相似得bo 2od 所以o不是bd的中点 又m为pb的中点 所以在平面pbd中 直线om与pd相交 所以直线pd与平面amc不平行 考题再现 2009 山东 如图 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd为等腰梯形 ab cd ab 4 bc cd 2 aa1 2 e e1 f分别是棱ad aa1 ab的中点 1 证明 直线ee1 平面fcc1 2 求二面角b fc1 c的余弦值 1 证明在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 取a1b1的中点f1 连接a1d c1f1 cf1 因为ab 4 cd 2 且ab cd 所以所以四边形a1f1cd为平行四边形 所以cf1 a1d 又因为e e1分别是棱ad aa1的中点 所以ee1 a1d 所以cf1 ee1 又因为ee1 平面fcc1 cf1 平面fcc1 所以直线ee1 平面fcc1 6分 2 解因为ab 4 bc cd 2 f是棱ab的中点 所以bf bc cf bcf为正三角形 取cf的中点o 则ob cf 又因为直四棱柱abcd a1b1c1d1中 cc1 平面abcd 所以cc1 bo 所以ob 平面cc1f 过o在平面cc1f内作op c1f 垂足为p 连接bp 则 opb为二面角b fc1 c的一个平面角 9分在 bcf为正三角形中 ob 在rt cc1f中 opf cc1f 在rt opb中 bp cos opb 11分所以二面角b fc1 c的余弦值为12分 1 解决平行问题的常用方法 证线线平行的问题常用方法 利用定义 利用公理4 利用线面平行的性质定理证明 利用线面垂直的性质定理证明 利用面面平行的性质定理证明 证明线面平行问题的常用方法 利用定义证明 利用线面平行的判定定理证明 利用面面平行的重要结论证明 证明面面平行的常用方法 利用定义证明 利用面面平行的判定定理证明 利用线面垂直的重要结论证明 特别提醒 在平行问题中 平行关系的转化是重要的数学思想 在应用中 应认真领悟 线线平行 线面平行 面面平行 这三种平行关系的转化 2 解决垂直问题的常用方法 线线垂直问题 利用定义 利用线面垂直的定义 线面垂直 利用线面垂直的定义 反证法或向量法 线面垂直的判定定理 利用线面垂直的判定定理的推论证明 利用面面垂直的性质定理证明 利用面面平行的重要结论证明 面面垂直 利用定义证明 利用面面垂直的判定定理 3 空间角问题的常见解法 直线与平面所成角 作出直线与平面所成的角 关键是作垂线 找射影 两异面直线所成的角 平移法 补形法 向量法 二面角的常用方法 定义法 利用线面垂直关系来确定二面角的平面角 一 选择题1 给定空间中的直线l及平面 条件 直线l与平面内两条相交直线都垂直 是 直线l与平面垂直 的 a 充分非必要条件b 必要非充分条件c 充要条件d 既非充分又非必要条件解析由线面垂直的判定定理知是充要条件 c 2 2009 全国 已知二面角为60 动点p q分别在面内 p到的距离为 q到的距离为则p q两点之间距离的最小值为 a b 2c d 4解析如图 过p作pe 交于e 在平面内过点e作ef l 则 pfe 60 由p到的距离为知pe pf 2 同理可求平面内的点q到棱l的距离为4 当将二面角展开 p q的连线与l垂直时 p q两点之间 的距离最短 此时在二面角内 p q应是二面角平面角边上的两点 其最小值应为d2 4 16 2 4 2 cos60 12 d 答案c3 已知m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确的是 a b c d 解析由线面的位置关系可知b正确 b 4 2009 江西 如图 正四面体abcd的顶点a b c分别在两两垂直的三条射线ox oy oz上 则在下列命题中 错误的为 a o abc是正三棱锥b 直线ob 平面acdc 直线ad与ob所成的角是45 d 二面角d ob a为45 解析将原图补为正方体不难得出b错误 故选b b 5 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面边长都相等 a1在底面abc内的射影为 abc的中心 则ab1与底面abc所成角的正弦值等于 a b c d 解析设棱柱的侧棱与底面边长均为a o为 abc的中心 如图 连接ao 则ao a1o 平面abc a1o 又在三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 平面abc 点b1到平面abc的距离为d 连接ab1 a1b bo 设a1b与ab1交点为h 在rt a1bo中 a1b a 四边形aa1b1b为菱形 a1h ab1 设ab1与底面abc成的角为答案b 6 2009 海南 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 线段b1d1上有两个动点e f 且ef 则下列结论中错误的是 a ac beb ef 平面abcdc 三棱锥a bef的体积为定值d 异面直线ae bf所成的角为定值 解析由正方体的性质可知 ac 平面bb1d1d 则ac be 所以a正确 易知b正确 因b到直线b1d1的距离是1 而ef 点a到平面bb1d1d的距离为常量所以三棱锥a bef的体积va bef 所以c正确 答案d 二 填空题7 2009 江苏 在平面上 若两个正三角形的边长比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长比为1 2 则它们的体积比为 解析 两个正三角形是相似的三角形 它们的面积之比是相似比的平方 同理 两个正四面体是两个相似几何体 体积之比为相似比的立方 所以它们的体积比为1 8 1 8 8 2009 辽宁 设某几何体的三视图如下 尺寸的长度单位 m 则该几何体的体积为 m3 解析由三视图可知 该几何体为三棱锥 如图 ac 4 so 2 bd 3 vs abc 4 9 2009 浙江 如图 在长方形abcd中 ab 2 bc 1 e为dc的中点 f为线段ec 端点除外 上一动点 现将 afd沿af折起 使平面abd 平面abc 在平面abd内过点d作dk ab k为垂足 设ak t 则t的取值范围是 解析如图 在平面adf内过d作dh af 垂足为h 连结hk 过f点作fp bc交ab于点p 设 fab 则设df x 则1 x 2 dk 平面abc dh af 则ah hk 在rt adf中 adh和 apf都是直角三角形 pf ad rt adh rt apf ah ap x 10 2008 全国 已知菱形abcd中 ab 2 a 120 沿对角线bd将 abd折起 使二面角a bd c为120 则点a到 bcd所在平面的距离等于 解析如图所示 取bd中点e 连接ae ce abd bcd均为等腰三角形 ae bd ce bd bd 平面aec aec为二面角a bd c的平面角 aec 120 在平面aec内过a作ce的垂线ah 垂足为h 则h在ce的延长线上 bd 平面aec bd ah 又ah ce ah 平面bcd bad 120 bae 60 cos bae ae 1 又 aeh 60 ah 即点a到面 bcd的距离为答案 三 解答题11 2009 湖北 如图 四棱锥s abcd的底面是正方形 sd 平面abcd sd 2a ad 点e是sd上的点 且de a 0 2 1 求证 对任意的 0 2 都有ac be 2 设二面角c ae d的大小为 直线be与平面abcd所成的角为 若求的值 方法一 1 证明如图 连结be bd 由底面abcd是正方形可得ac bd sd 平面abcd bd是be在平面abcd上的射影 图 ac be 2 解如图 由sd 平面abcd cd