高考数学理一轮总复习 必修部分开卷速查47 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离（含解析）新人教A版.doc

开卷速查(四十七)立体几何中的向量方法(二)求空间角与距离a级基础巩固练12014陕西四面体abcd及其三视图如图所示，过棱ab的中点e作平行于ad，bc的平面分别交四面体的棱bd，dc，ca于点f，g，h. (1)证明：四边形efgh是矩形；(2)求直线ab与平面efgh夹角的正弦值解析：(1)由该四面体的三视图可知，bddc，bdad，addc，bddc2，ad1.由题设，bc平面efgh，平面efgh平面bdcfg，平面efgh平面abceh，bcfg，bceh，fgeh.同理efad，hgad，efhg，四边形efgh是平行四边形又addc，adbd，ad平面bdc，adbc，effg，四边形efgh是矩形(2)如图，以d为坐标原点建立空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(0,0,1)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面efgh的法向量n(x，y，z)，efad，fgbc，n0，n0，得取n(1,1,0)，sin.22014天津如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，点e为棱pc的中点(1)证明：bedc；(2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值；(3)若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabp的余弦值解析：方法一：依题意，以点a为原点建立空间直角坐标系(如下图)，可得b(1,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)由e为棱pc的中点，得e(1,1,1)(1)向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以，bedc.(2)向量(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面pbd的法向量则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面pbd的一个法向量，于是有cosn，.所以，直线be与平面pbd所成角的正弦值为.(3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点f在棱pc上，设，01.故(12，22，2)由bfac，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即(，)设n1(x，y，z)为平面fab的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面fab的一个法向量取平面abp的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角fabp是锐角，所以其余弦值为.方法二：(1)如图，取pd中点m，连接em，am.由于e，m分别为pc，pd的中点，故emdc，且emdc，又由已知，可得emab且emab，故四边形abem为平行四边形，所以beam.因为pa底面abcd，故pacd，而cdda，从而cd平面pad，因为am平面pad，于是cdam，又beam，所以becd.(2)连接bm，由(1)有cd平面pad，得cdpd，而emcd，故pdem，又因为adap，m为pd的中点，故pdam，可得pdbe，所以pd平面bem，故平面bem平面pbd.所以，直线be在平面pbd内的射影为直线bm，而beem，可得ebm为锐角，故ebm为直线be与平面pbd所成的角依题意，有pd2，而m为pd中点，可得am，进而be.故在直角三角形bem中，tanebm，因此sinebm.所以，直线be与平面pbd所成角的正弦值为.(3)如图，在pac中，过点f作fhpa交ac于点h.因为pa底面abcd，故fh底面abcd，从而fhac.又bfac，得ac平面fhb，因此acbh.在底面abcd内，可得ch3ha，从而cf3fp.在平面pdc内，作fgdc交pd于点g，于是dg3gp.由于dcab，故gfab，所以a，b，f，g四点共面由abpa，abad，得ab平面pad，故abag.所以pag为二面角fabp的平面角在pag中，pa2，pgpd，apg45，由余弦定理可得ag，cospag.所以，二面角fabp的余弦值为.b级能力提升练3如图是多面体abca1b1c1和它的三视图(1)线段cc1上是否存在一点e，使be平面a1cc1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面c1a1c与平面a1ca夹角的余弦值解析：(1)由题意知aa1，ab，ac两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，a1(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0，2,0)，c1(1，1,2)，则(1,1,2)，(1，1,0)，(0，2，2).设e(x，y，z)，则(x，y2，z)，(1x，1y,2z)设，则则e，.由得解得2，所以线段cc1上存在一点e，2，使be平面a1cc1.(2)设平面c1a1c的法向量为m(x，y，z)，则由得取x1，则y1，z1.故m(1，1,1)，而平面a1ca的一个法向量为n(1,0,0)，则cosm，n，故平面c1a1c与平面a1ca夹角的余弦值为.4如图，三棱柱abca1b1c1的侧棱aa1底面abc，acb90，e是棱cc1上的动点，f是ab的中点，ac1，bc2，aa14.(1)当e是棱cc1的中点时，求证：cf平面aeb1；(2)在棱cc1上是否存在点e，使得二面角aeb1b的余弦值是？若存在，求ce的长，若不存在，请说明理由解析：(1)证明：取ab1的中点g，连接eg，fg.f，g分别是棱ab，ab1的中点，fgbb1，fgbb1，又b1b綊c1c，ecc1c，b1bec，ecb1b.fg綊ec.四边形fgec是平行四边形，cfeg.cf平面aeb1，eg平面aeb1，cf平面aeb1.(2)以c为坐标原点，射线ca，cb，cc1为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，则c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,4)设e(0,0，m)(0m4)，平面aeb1的法向量n1(x，y，z)则(1,2,4