高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值.doc

第2讲函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性知 识 梳 理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为i：如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间d上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间d叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足条件(1)对于任意xi，都有f(x)m；(2)存在x0i，使得f(x0)m(3)对于任意xi，都有f(x)m；(4)存在x0i，使得f(x0)m结论m为最大值m为最小值诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)对于函数f(x)，xd，若x1，x2d且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在d上是增函数()(3)函数y|x|是r上的增函数()(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()2(2014北京卷)下列函数中，定义域是r且为增函数的是()ayexbyx3 cyln xdy|x|解析a项，函数定义域为r，但在r上为减函数，故不符合要求；b项，函数定义域为r，且在r上为增函数，故符合要求；c项，函数定义域为(0，)，不符合要求；d项，函数定义域为r，但在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，不符合要求答案b3函数yx26x10在区间(2,4)上是()a递减函数b递增函数c先递减再递增d先递增再递减解析作出函数yx26x10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增答案c4(2014天津卷)函数f(x)lg x2的单调递减区间是_解析f(x)的定义域为(，0)(0，)，ylg u在(0，)上为增函数，ux2在(，0)上递减，在(0，)上递增，故f(x)在(，0)上单调递减答案(，0)5(人教a必修1p31例4改编)f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_解析可判断函数f(x)在2,6上为减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).答案2考点一确定函数的单调性或单调区间例1 试讨论函数f(x) (a0)在(1,1)上的单调性解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增.规律方法判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接【训练1】 (1)已知a0，函数f(x)x(x0)，证明：函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数；(2)求函数y(x24x3)的单调区间(1)证明法一任意取x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).深度思考证明函数的单调性问题一般有两种解法：定义法和导数法，你不妨都试一试.当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在，)上为增函数；综上可知，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数；在，)上为增函数法二f(x)1，令f(x)0，则10，解得x或x(舍)令f(x)0，则10，解得x.x0，0x.f(x)在(0，)上为减函数；在(，)上为增函数，也称为f(x)在(0，上为减函数；在，)上为增函数(2)解令ux24x3，原函数可以看作yu与ux24x3的复合函数令ux24x30.则x1或x3.函数y(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数ylogu在(0，)上是减函数，y(x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1)考点二利用函数的单调性求参数范围例2 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()a.bc.d(2)若函数f(x)在(，1)上是减函数，则a的取值范围是_解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域r上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0.综合上述得a0.(2)法一f(x)a，设x1x20.由于x1x21，x1x20，x110，x210，a10，即a1，a0.由知，0a1.答案d3(2014长沙月考)已知函数f(x)为r上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()a(1,1)b(0,1)c(1,0)(0,1)d(，1)(1，)解析由f(x)为r上的减函数且ff(1)，得即1x0或0x1.答案c4(2014广州模拟)已知函数yf(x)的图象关于x1对称，且在(1，)上单调递增，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()acbabbaccbcadabc解析函数图象关于x1对称，aff，又yf(x)在(1，)上单调递增，f(2)ff(3)，即bac.答案b5已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()af(x1)0，f(x2)0bf(x1)0，f(x2)0cf(x1)0，f(x2)0df(x1)0，f(x2)0解析函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，当x2(2，)时，f(x2)f(2)0，即f(x1)0，f(x2)0.答案b二、填空题6(2014中山质检)yx22|x|3的单调增区间为_解析由题意知当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24，二次函数的图象如图由图象可知，函数yx22|x|3在(，1，0,1上是增函数答案(，1，0,17(2015厦门质检)函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析由于yx在r上递减，ylog2(x2)在1,1上递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.答案38设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_解析f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数a1.答案1，)三、解答题9已知函数f(x)，x0,2，求函数的最大值和最小值解设x1，x2是区间0,2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由0x1x22，得x2x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在区间0,2上是增函数因此，函数f(x)在区间0,2的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)2，最大值是f(2).10已知f(x)(a，b，cr且a0，b0)是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，且f(x)的递增区间是，试求a，b，c的值解由f(x)f(x)得c0.又f(x)在上递增，且x0时f(x)2，b2a.又x时，f(x)min2，f2，故a，b，c的值分别为4,2,0.能力提升题组(建议用时：25分钟)11已知函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()a有最小值b有最大值 c是减函数d是增函数解析由题意知a1，又函数g(x)x2a在，)上为增函数，故选d.答案d12(2014武汉二模)若f(x)是r上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()a(1，)b4,8)c(4,8)d(1,8)解析函数f(x)在(，1)和1，)上都为增函数，且f(x)在(，1)上的最高点不高于其在1，)上的最低点，即解得a4,8)答案b13对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_解析依题意，h(x)当0x2时，h(x)log2x是增函数，当x2时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.答案114已知f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)，