福建省新课标高中总复习（第1轮）课件：文数第十一章第4节直线与圆锥曲线的位置关系 (2).ppt

1 直线过点 2 4 与抛物线y2 8x只有一个公共点 这样的直线共有 a 1条b 2条c 3条d 4条 b 因为点 2 4 在曲线上 所以当直线与抛物线相切时只有一条 而当直线与抛物线的对称轴平行时也有一条 故共有2条 故选b 易错点 直线与抛物线相交 交点的问题应注意到直线的斜率k不存在 以及直线平行抛物线对称轴时的两种情况 2 若双曲线的两条渐近线恰好是抛物线y ax2 的两条切线 则a的值为 a b c d 易得双曲线的渐近线方程为y x 由对称性可知 直线y x与曲线y ax2 相切 联立两方程消去y得ax2 x 0 由 得a 故选b b 3 已知双曲线的右焦点为f 若过点f的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此直线斜率的取值范围是 a 1 2 b 1 2 c d 2 c 可得双曲线的渐近线方程为y x 过点f分别作两条渐近线的平行线l1和l2 由图形可知 符合题意的直线斜率的取值范围为 故选c 易错点 直线与双曲线相交问题 应结合图形分析直线与渐近线平行 相切等极端位置 4 过抛物线y2 4x的焦点 且倾斜角为的直线交抛物线于p q两点 o为坐标原点 则 opq的面积是 因为直线方程为x y 1 0 即x 1 y 代入y2 4x 得 y2 4y 4 0 设p x1 y1 q x2 y2 所以y1 y2 4 y1 y2 4 所以所以故填 5 已知抛物线y2 2px p 0 的顶点为o焦点为f 点p为抛物线上一点 对于 pof的形状有下列说法 可能为等腰三角形 可能为等腰直角三角形 可能为正三角形 其中正确的序号是 结合图形当时 不等于 也不等于 又因为通径长 过焦点f与对称轴垂直的弦长 为2p 则 均不可能发生 故填 1 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有相交 相切 相离 相交有两个交点 特殊情况除外 相切只有一个交点 相离无交点 判断直线与圆锥曲线的位置关系 通常是将直线方程与曲线方程联立 消去变量y 或x 得变量x 或y 的方程 ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 若a 0 可考虑一元二次方程的判别式 有 0 直线与圆锥曲线相交 0 直线与圆锥曲线相切 0 直线与圆锥曲线相离 若a 0 则直线与圆锥曲线相交 且有一个交点 若曲线为双曲线 则直线与双曲线的渐近线平行 若曲线为抛物线 则直线与抛物线的对称轴平行 2 圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线c相交于a b两点 a x1 y1 b x2 y2 则弦长 重点突破 直线与圆锥曲线的位置关系 已知a 3 4 b 4 4 若线段ab与椭圆没有公共点 求正数a的取值范围 若直线y kx 1与双曲线3x2 4y2 12有两个不同的交点 求实数k的取值范围 利用图形进行分析 分两种情况解答 即线段ab在椭圆内和椭圆外 联立直线与双曲线方程消去y得到关于x的二次方程 在二次项系数不等于零的情况下利用 0求解 线段ab的方程为y 4 3 x 4 当线段ab在椭圆外时 a2 综上知正数a的取值范围是02 由y kx 1与双曲线3x2 4y2 12联立消去y得 3 4k2 x2 8kx 16 0 由题意知3 4k2 0 即k 则 64k2 64 3 4k2 0 得k2 1 即 1 k 1 综上所得 解答直线与椭圆的位置关系有两种 即判别式法与数形结合法 判断直线与双曲线的位置关系利用判别式法时 注意对二次项系数的讨论 二次项系数等于零实质是直线与渐近线平行的情况 当k 时 直线y k x 1 与抛物线y2 4x恰有一个公共点 由y k x 1 与y2 4x联立消去x 得ky2 4y 4k 0 当k 0时 直线与抛物线只有一个公共当k 0时 16 16k2 0 解得k 1 综上 k 1 0 1 1 0 1 点 重点突破 中点弦及弦长问题已知 abc的顶点a b在椭圆x2 3y2 4上 点c在直线l y x 2上 且ab l 当ab边通过坐标原点o时 求线段ab的长及 abc的面积 当 abc 90 且斜边ac的长最大时 求ab所在直线的方程 求出直线ab的方程 与椭圆方程联立 消元 利用根与系数的关系求出弦长ab 进而求出 abc的面积 先设直线ab的方程 然后建立斜边长ac是某一变量的函数关系式 求出取得最值时 相应的变量 即可求得直线ab的方程 因为ab l 且ab边过点 0 0 则ab所在直线的方程为y x 设a b两点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x2 3y2 4y x所以又因为ab边上的高h等于原点到直线l的距离 所以h 所以 由 得x 1 设ab所在直线的方程为y x m 由x2 3y2 4y x m因为a b在椭圆上 所以 设a b两点坐标分别为 x1 y1 x2 则所以 得4x2 6mx 3m2 4 0 12m2 64 0 y2 又因为bc的长等于点 0 m 到直线l的距离即所以 m 1 2 11 所以当m 1时 ac边最长 这时 12 64 0 此时ab所在直线的方程为y x 1 利用韦达定理 弦长公式可解答与弦中点有关的问题 弦长问题及弦所围成的三角形面积等高考常见热点问题 已知抛物线y2 8x上一个定点m x0 y0 y0 0 过点n x0 4 0 与mn垂直的直线交抛物线于p q两点 若求 mpq的面积 据题意得 8x0所以x0 2 y0 4 所以m 2 4 n 6 0 所以 又因为y0 0 因为mn pq 所以kpq 1 则直线pq方程为 y x 6 y x 6y2 8x所以又点m到直线pq的距离为所以s mpq 16 4 64 联立 得 y2 8y 48 0 重点突破 最值与范围问题设f1 f2分别是椭圆的左 右焦点 顶点a 0 1 若p是该椭圆上的一个动点 求的最大值和最小值 是否存在斜率为k k 0 的直线l 使l与已知椭圆交于不同的两点m n 且若存在 求出k的取值范围 若不存在 请说明理由 设点p x y 利用函数的最值来求解 假设存在 设出直线方程 与椭圆联立 由转化为ap是线段mn的垂直平分线 利用根与系数的关系可判断 由题意知所以f1 0 f2 0 设p x y 则因为x 故当x 0时 即点p为椭圆短轴端点时 有最小值 1 当x 时 即点p为椭圆长轴端点时 有最大值1 设存在满足条件的直线l 其方程为y kx b k 0 y kx b则 36k2b2 4 3k2 1 3b2 3 36k2 12b2 设m x1 y1 n x2 y2 得 由 得 3k2 1 x2 6bkx 3b2 3 0 12 0 从而mn的中点p的坐标为因为所以ap是线段mn的垂直平分线 所以ap mn 于是代入 并整理得 3k2 1 k2 1 0 所以 1 k 1 故满足条件的直线l存在 其斜率k的范围为 1 k 1且k 0 圆锥曲线中求最值与范围问题是高考中的常考问题 解决此类问题一般有两种思路 1 构造关于所求量的函数 通过求函数的值域来求解 2 构造关于所求值的不等式 通过求不等式来获得问题的解 注意在解决此类问题的过程中 一定要深刻挖掘题目中的隐含条件 如判别式大于零等 已知点a b分别是椭圆长轴的左 右端点 f点是椭圆的右焦点 点p在椭圆上且位于x轴的上方 pa pf 求点p的坐标 设m是椭圆长轴ab上的一点 m到直线ap的距离等于 mb 求椭圆上的点到点m的距离d的最小值 由已知可得点a 6 0 f 4 0 设点p x y y 0 则 x 6 y x 6 x 4 y2 0 可得2x2 9x 18 0 解得x 或x 6 由于y 0 只能x 于是y 所以点p的坐标是 x 4 y 由已知可得 易得直线ap的方程是x y 6 0 设点m m 0 则m到直线ap的距离是 于是 m 6 又 6 m 6 解得m 2 所以椭圆上的点 x y 到点m的距离d有d2 x 2 2 y2 x2 4x 4 20 由于 6 x 6 所以当x 时 d取得最小值 已知圆o x2 y2 1 点o为坐标原点 一条直线l y kx b b 0 与圆o相切并与椭圆交于不同的两点a b 设b f k 求f k 的表达式 若 求直线l的方程 若求三角形oab面积的取值范围 由直线与圆相切 得圆心到直线的距离等于半径可求得 联立直线与椭圆方程 由根与系数关系可求得 利用弦长公式及求最值的方法可得 因为y kx b b 0 与圆x2 y2 1相切 则即b2 k2 1 k 0 所以 y kx b 消去y得 2k2 1 x2 4kbx 2b2 2 0 所以 8k2 0 因为k 0 设a x1 y1 b x2 y2 则所以k2 1 k 1 则b2 2 又b 0 所以b 所以直线l的方程为y x 或y x 由 由 知 因为所以所以 k2 1 由弦长公式得 设o到直线ab的距离为d 则d 1 所以解得 本题考查直线与圆 直线与椭圆的位置关系 考查椭圆与向量 不等式等知识的综合交汇 考查转化与化归思想 1 直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论 1 若方程组消元后得到一个一元二次方程 根据 来讨论 2 若方程组消元后得到一个一元一次方程 则相交于一个公共点 需要注意的是 直线与圆锥曲线只有一个公共点时 未必一定相切 还有其他情况 如抛物线与平行 或重合 与其对称轴的直线 双曲线与平行于其渐近线的直线 它们都只有一个公共点 但不是相切 而是相交 3 直线与圆锥曲线的位置关系 还可以利用数形结合 以形助数的方法解决 4 若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆锥曲线的一部分 如双曲线的一支 的公共点个数 则应根据根的范围限制 5 直线与圆锥曲线相交问题 解题时 注意应用韦达定理及 设而不求 的技巧 2 利用数形结合和等价转化的思想 可以将某些最大值 最小值问题转化为求圆锥曲线的切线的斜率问题 3 圆锥曲线中的最值及范围问题求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似 常见的解法有两种 代数法和几何法 4 遇到中点弦问题常用 根与系数关系 或 点差法 求解 若知道中点 则利用 点差法 的方法可得出过中点弦的直线的斜率 比较两种方法 用 点差法 的方法的计算量较少 此法解决有关存在性的问题时 要结合图形和判别式加以检验 1 2009 全国卷 设双曲线 a 0 b 0 的渐近线与抛物线y x2 1相切 则该双曲线的离心率等于 a b 2c d c 由题双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线方程为y x 代入抛物线方程整理得ax2 bx a 0 因渐近线与抛物线相切 所以b2 4a2 0 即c2 5a2 所以e 故选择c 本小题考查双曲线的渐近线方程 直线与圆锥曲线的位置关系 双曲线的离心率 为基础题 2 2009 全国卷 已知椭圆c a b 0 的离心率为 过右焦点f的直线l与c相交于a b两点 当l的斜率为1时 坐标原点o到l的距离为 求a b的值 c上是否存在点p 使得当l绕f转到某一位置时 有成立 若存在 求出所有的p的坐标与l的方程 若不存在 说明理由 设f c 0 当l的斜率为1时 其方程为x y c 0 o到l的距离为故解得c 1 由得 c上存在点p 使得当l绕f转到某一位置时 有成立 由 知c的方程为2x2 3y2 6 设a x1 y1 b x2 y2 当l不垂直于x轴时 设l的方程为y k x 1 c上的点p使成立的充要条件是p点的坐标为 x1 x2 y1 y2 且2 x1 x2 2 3 y1 y2 2 6 整理得 又a b在c上 即故2x1x2 3y1y2 3 0 将y k x 1 代入2x2 3y2 6 并化简得 2 3k2 x2