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反函数 一 定义 设函数y f x 定义域为a 值域为c 如果从式子y f x 解得x y 且对于y在c中的任何一个值 x在a中都有唯一确定的值和它对应 那么式子x y 就表示x是变量y的函数 把x y 叫做函数y f x 的反函数 记作 x y f 1 y x f 1 y 一般改写成y f 1 x 其定义域为c 值域为a 二 定义理解 1 函数存在反函数的条件 映射f a c为一一映射 2 函数在其定义域区间上可能不存在反函数 但可以在定义域区间的某个子区间上存在反函数 3 反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域 注意 反函数的定义域不能由其解析式来求 三 简单性质 1 互为反函数的两个函数的图像关于直线y x对称 2 单调函数一定存在反函数 但有反函数的函数不一定是单调函数 3 奇函数不一定有反函数 偶函数在一般情况下无反函数 4 互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的单调性 5 若b f a 则a f 1 b 若a f 1 b 则b f a 即 若a a b c 则f 1 f a a f f 1 b b 四 求函数的反函数的步骤 2 由y f x 解出x f 1 y 即用y表示x 3 交换x f 1 y 中的字母x y 得f x 反函数的表达式y f 1 x 1 求函数y f x 中y的取值范围 得其反函数中x的取值范围 五 函数与其反函数图像的交点问题 如果一个函数与其反函数的图像有公共点 则公共点在直线y x上 或者关于直线y x对称地成对出现 4 标出y f 1 x 中x的取值范围 1 求下列函数的反函数 1 y 2x2 x 1 x 1 1 x 0 0 x 1 3 4 求函数y x x 2x的反函数 解 原函数可写成 当x 0时 y 0 由y x 1 2 1得 当x 0时 y 0 由y x 1 2 1得 2 若点 1 2 既在函数的图象上 又在它的反函数的图象上 则实数a b 3 若则4 若的图象关于y x对称 则m a 3 b 7 m 1 5 设 函数y
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