2020届市第一中学等八校联考高三12月联考数学（文）试题（解析版）

2020届市第一中学等八校联考高三12月联考数学（文）试题一、单选题1ABCD【答案】D【解析】上下同时乘以再化简即可.【详解】故选D【点睛】本题主要考查复数的四则运算,属于基础题型.2已知全集为,集合，则ABCD【答案】C【解析】分别求得集合再求即可.【详解】或故,故故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.3在等差数列中,已知,则该数列前11项和=（ ）A44B55C143D176【答案】A【解析】根据等差数列的性质计算即可.【详解】由等差数列中,则,故故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本性质,包括等和性与当为奇数时,前项和 .属于基础题型.4函数的大致图象是（ ）ABCD【答案】A【解析】先分析奇偶性,再分析当时函数值的正负即可.【详解】,故为奇函数.排除C,D又当时, ,此时,排除B故选A【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,一般先分析奇偶性,再分析特殊位置的正负即可.属于基础题型.5动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是 （ ）ABCD【答案】B【解析】设连线的中点为,再表示出动点的坐标,代入圆化简即可.【详解】设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故 ,又在圆上,故,即即故选：B【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.6设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若且则B若且则C若D若且则【答案】B【解析】试题分析：对于A中，若且则与可能是平行的，所以不正确；对于C中，则可能，所以不正确；对于D中，若且则与可能是相交的，所以不正确，故选B【考点】直线与平面位置关系的判定7函数f(x)2sin(x)(0，)的部分图象如图所示，则、的值分别是()A2，B2，C4，D4，【答案】A【解析】由函数f（x）2sin（x+）的部分图象，求得T、和的值【详解】由函数f（x）2sin（x+）的部分图象知，（），T，解得2；又由函数f（x）的图象经过（，2），22sin（2），2k，kZ，即2k，又由，则；综上所述，2、故选A【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题8与直线关于x轴对称的直线的方程是（）ABCD【答案】D【解析】利用所求直线的点的坐标，关于轴的对称点的坐标在已知的直线上求解即可.【详解】设所求直线上点的坐标，则关于轴的对称点的坐标在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：,故选D【点睛】本题主要考查对称直线的方程，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.9泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）A甲走桃花峪登山线路B乙走红门盘道徒步线路C丙走桃花峪登山线路D甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.10如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，则多面体的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题易得为正六边形,故连接对角线取中心,再求得高与底面面积即可.【详解】取为正六边形中心,则易得共线,再建立如图空间直角坐标系,则,故,故面,故体积 故选：C【点睛】本题主要考查立体几何中的垂直平行关系,同时注意正六边形的面积可以用六个小正三角形进行计算,属于中等题型.11四面体的四个顶点都在球的表面上，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积求解即可.【详解】外接圆直径 ,故球的直径平方,故外接球表面积故选：A【点睛】本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径,再利用锥体高,根据球直径求解即可.属于中等题型.12设,若方程恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A BCD【答案】C【解析】画出函数图像,再根据直线与有四个交点分析即可.【详解】画出图像,由过定点,故将直线绕着旋转进行分析,得出临界条件如图,直线过和与相切时为临界条件.当过时,易得.当与相切时,设切点,故在处切线斜率,故,故,故,故故的取值范围是故选C【点睛】本题主要考查了数形结合解决分段函数零点的问题,重点是画出图像,分析满足条件时的情况,再求得临界条件,最后得出斜率的取值范围,属于难题.二、填空题13若向量和向量垂直，则_【答案】【解析】利用垂直求得,再求出的向量坐标,进而求得模长即可.【详解】因为向量和向量垂直,所以, 故,故,故故故答案为5【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,包括垂直的性质以及模长的运算等,属于基础题型.14函数的图象在处的切线方程为_.【答案】【解析】先求导函数,再代入于内求得斜率, 代入于内求得切点坐标,再用点斜式求直线方程即可.【详解】由题,又,故在处的斜率为,故在处的切线方程为 故答案为：【点睛】本题主要考查了导数几何意义,求在某点处切线的方程,属于基础题型.15已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则_.【答案】【解析】先根据等差中项的性质可知得2（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案【详解】依题意可得2（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1，各项都是正数q0，q=1+=3+2故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解16在直三棱柱中,若 ，则异面直线与所成的角等于_【答案】【解析】建立空间直角坐标系分别求得，再利用即可得到所求角大小【详解】三棱柱为直三棱柱,且 以点 为坐标原点，分别以，为 轴建立空间直角坐标系设，则 , ,，又 异面直线所成的角在 异面直线与所成的角等于 【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题三、解答题17如图，在三棱柱中，为的中点，且.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】解：(1)见解析；(2)CDA1B1B1BCD22.【解析】本题考查线线垂直，线面垂直及多面体的体积的求法技巧，转化思想的应用，考查计算能力（1）证明CDBB1，通过BB1AB，ABCD=D，即可证明BB1面ABC（2）所求的体积进行等价转化可以知道几何体的体积解：(1)ACBC，D为AB的中点，CDAB，又CDDA1，CD平面ABB1A1，CDBB1，又BB1AB，ABCDD，BB1平面ABC(2)由(1)知CD平面AA1B1B，故CD是三棱锥CA1B1D的高，在RtACB中，ACBC2，AB2，CD，又BB12，CDA1B1B1BCD22【详解】请在此输入详解！18已知半径长为的圆截轴所得弦长为，圆心在第一象限且到直线的距离为（1）求这个圆的方程；（2）求经过与圆相切的直线方程【答案】（1）；（2）和.【解析】(1)设圆心,半径=5,利用圆截轴所得弦长为算出.再利用到直线的距离为算得即可.(2)分情况当斜率不存在时判断是否满足条件,再考虑当斜率存在时,设过的点斜式方程,再利用与圆相切列出圆心到直线的距离等于半径的方程,求解即可.【详解】由题圆心,半径=5截轴弦长为6 ,由到直线的距离为,所以圆的方程为（2）分情况讨论：当直线存在斜率时,设切线方程为： 由到直线的距离 切线方程： 当直线过点且斜率不存在时,方程也是所求的切线方程.综上,切线方程为和【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程问题.重点在于根据题目条件找到圆心半径的关系,相交一般利用垂径定理,相切一般用圆心到直线的距离等于半径列式求解.同时注意求过定点的直线时,要分斜率存在与不存在的情况,属于中等题型.19如图，在中，边上的中线长为3，且，（1）求的值；（2）求边的长【答案】（）；（）4；【解析】（1）由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出.（2）在中，利用正弦定理得，在中利用余弦定理即可求出.【详解】解：因为，所以 又，所以，所以 在中，由得，解得故，在中，由余弦定理得 ，得【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题.20已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项.（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2） .【解析】(1)利用通项与前n项和的关系求得关于的递推公式满足等比数列,再求得首项与公比即可求得数列的通项.(2) 为差比数列,故考虑用错位相减求和.【详解】解（1）两式相减得,即数列an是等比数列(2) 得【点睛】本题主要考查了通项与前n项和的关系,同时也考查了错误相减求和的方法,属于中等题型.21在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；（2）已知直线y3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由【答案】（1）或；（2）见解析.【解析】（1）记圆心到直线l的距离为d，利用垂径定理求得d当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y1=k（x2），利用圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求；（2）设P（x1，y1），由直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（1，3），分别求出直线PA、PB的方程，进一步得到M，N的坐标，由P在圆上，整体运算可得为定值【详解】直线x3y10=0与圆O：x2+y2=r2（r0）相切，圆心O到直线x3y10=0的距离为r=（1）记圆心到直线l的距离为d，d=当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y1=k（x2），即kxy+（12k）=0，解得k=，此时直线l的方程为3x+4y10=0综上，直线l的方程为x=2或3x+4y10=0；（2）点M、N的纵坐标之积为定值10设P（x1，y1），直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（1，3），直线PA、PB的方程分别为y3=，y3=令x=0，得M（0，），N（0，），则（）点P（x1，y1）在圆C上，即，代入（）式，得为定值【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是.（1）求函数的解析式；（2）若时，恒成立，求实数的取值范