高三数学高考复习课件：题型解法训练之导数解答题的解法.ppt

高考题型解法训练 专题十导数解答题的解法 试题特点 专题十导数解答题的解法 1 近三年高考各试卷导数考查情况统计2006年高考各地的18套试卷中 有14道导数题 其中考查求导法则的有5道 考查单调性的有8道 考查极值的有5道 与不等式综合的有5道 与函数综合的有6道 2007年高考各地的19套试卷中 有15道导数题 其中考查求导法则的有3道 考查单调性的有7道 考查极值的有6道 与不等式综合的有7道 与函数综合的有8道 与数列 三角综合的各1道 由此可看出 导数一般与函数相综合 考查不等式 导数的应用等知识 试题特点 专题十导数解答题的解法 2 主要特点 1 导数是中学选修内容中最为重要的内容 导数为解决函数问题 曲线问题提供了一般性的方法 由于导数可与函数 不等式等许多知识进行整合 有利于在 知识网络交汇点 处命题 合理设计综合多个知识点的试题 考查分类整合 数形结合等数学思想方法 因此 近几年来加大了导数的考查力度 主要有如下几方面 应用导数求函数的单调区间 或判定函数的单调性 应用导数求函数的极值与最值 应用导数解决实际问题 应用导数解决有关不等式问题 应试策略 专题十导数解答题的解法 1 求导数有两种方法 一是利用导数定义 二是利用基本函数的导数公式 四则运算法则及复合函数的求导法则求导 常用后一种方法 2 要重视导数在研究函数问题或实际问题时的应用 1 求可导函数单调区间的方法 确定函数f x 的定义域 求方程f x 0的解 这些解和f x 的间断点把定义域分成若干区间 研究各小区间上f x 的符号 f x 0时 该区间为增区间 反之则为减区间 应试策略 专题十导数解答题的解法 2 求函数极值点时 可能出现极值的点是f x 0或使f x 不存在的点 注意f x 0不是有极值的充分条件 3 连续函数在闭区间上必有最值 求最值时不要忘记极值与端点处的函数值的大小比较 4 解最值应用题时 要认真审题 分析各量的关系 列出函数y f x 并确定定义域 然后按照步骤求函数的最值 最后根据实际意义作答 若f x 在定义域区间上只有一个极值点 则这个极值点一定是最值点 考题剖析 专题十导数解答题的解法 1 已知抛物线y x2 4与直线y x 2相交于a b两点 过a b两点的切线分别为l1和l2 1 求a b两点的坐标 2 求直线l1与l2的夹角 分析 理解导数的几何意义是解决本例的关键 考题剖析 专题十导数解答题的解法 解析 1 由方程组 解得a 2 0 b 3 5 2 由y 2x 则y x 2 4 y x 3 6 设两直线的夹角为 根据两直线的夹角公式 tan 所以 arctan 点评 本例中直线与抛物线的交点处的切线 就是该点物线的切线 注意两条直线的夹角公式有绝对值符号 2 2007 湘潭市高三调研题 已知函数f x ax3 bx2 cx在点x0处取得极小值 4 使其导函数f x 0的x的取值范围为 1 3 求 1 f x 的解析式 2 f x 的极大值 3 x 2 3 求g x f x 6 m 2 x的最大值 考题剖析 专题十导数解答题的解法 解析 1 由题意得 f x 3ax2 2bx c 3a x 1 x 3 a 0 在 1 上 f x 0 在 1 3 上 f x 0 在 3 上 f x 0 因此 f x 在x0 1处取得极小值 4 a b c 4 联立得 f x x3 6x2 9x 考题剖析 专题十导数解答题的解法 2 由 1 知f x 在x 3处取得极大值为 f 3 0 3 g x 3 x 1 x 3 6 m 2 x 3 x2 2mx 3 当2 m 3时 g x max g m 3 m2 2m2 3 3m2 9 当m 2时 g x 在 2 3 上单调递减 g x max g 2 12m 21 当m 3时 g x 在 2 3 上单调递增 g x max g 3 18m 36 考题剖析 专题十导数解答题的解法 点评 本题求解需要准确理解极值的含义以及方程零点与不等式解的关系 3 2007 武汉调研题 已知函数f x x3 ax2 2a 3 x 其中a 0 求f x 的单调区间 设m 0 若f x 在闭区间 m m 1 上的最小值为 3 最大值为0 求m a的值 考题剖析 专题十导数解答题的解法 解析 f x 3x2 2ax 2a 3 令f x 0 得x1 1 x2 a 0 x2 1 x x2时f x 0 x2 x x1时f x 0 x x1时 f x 0 所以f x 在 1 上是增函数 在 1 上是减函数 考题剖析 专题十导数解答题的解法 考题剖析 专题十导数解答题的解法 因为m 0 所以m 1 1 由 1 的单调区间得 当0 m 1时 m 1 1 2 f x min f 1 3 a 1 此时f x x3 x2 5x从而f m m m2 m 5 0 所以f x max f m 1 0 m 此时f m m m2 m 5 2m m 1 3 0 适合 考题剖析 专题十导数解答题的解法 当m 1时 f x 在 m m 1 上是增函数 所以最小值f m m m2 am 2a 3 3 最大值f m 1 m 1 m 1 2 a m 1 2a 3 0 即m2 am 2a 3 2m 1 a 代入 得 m 2m 1 a 3即m 2m 1 a 3 m 1 a 0 m 2m 1 a 3所以a m不存在 综上所述知 m a 1 考题剖析 专题十导数解答题的解法 点评 本题考查导数的应用 求单调性 求函数的单调递增区间 即为解不等式f x 0 单调递减区间 即为解不等式f x 0 但已知函数在某区间上单调递增 则有f x 0 单调递减则为f x 0 考题剖析 专题十导数解答题的解法 4 2007 襄樊市高三调研测试题 已知函数f x ax3 3x2 6ax b g x 3x2 6x 12 h x kx 9 又f x 在x 2处取得极值9 1 求a b的值 2 如果当x 2 时 f x h x g x 恒成立 求k的取值范围 解析 1 f x 3ax2 6x 6a由已知 解得a 2 b 11 考题剖析 专题十导数解答题的解法 考题剖析 专题十导数解答题的解法 2 由h x g x 得 kx 3x2 6x 3当x 0时 不等式恒成立当 2 x 0时 不等式为k 3 x 6 而3 x 6 3 x 6 0 要 式恒成立 则k 0当x 0时 不等式为k 3 x 6 而3 x 6 12 要 恒成立 则k 12 当x 2 时 h x g x 恒成立 则0 k 12 由f x h x 得 kx 9 2x3 3x2 12x 11当x 0时 9 11恒成立当 2 x 0时 k 2x2 3x 12 2 x 2 令t x 2 x 2 当 2 x 0时 t x 是增函数 t x t 2 8 要f x h x 在 2 x 0恒成立 则k 8 考题剖析 专题十导数解答题的解法 考题剖析 专题十导数解答题的解法 由上述过程可知 只要考虑0 k 8f x 6x2 6x 12 6 x 1 x 2 当x 0 2 时 f x 0 当x 2 时 f x 0故f x 在x 2时有极大值 即f x 在x 2时有最大值f 2 9 即f x 9又当k 0时 h x 是增函数 当x 0 时 h x 9 f x h x 成立综上 f x h x g x 恒成立时k的取值范围是0 k 8 5 厦门双十中学模拟题 已知函数f x ax3 bx2 3x 其图象在横坐标为 1的两点处的切线均与x轴平行 1 求函数f x 的解析式 2 对于区间 1 1 上任意两个自变量的值x1 x2 都有 f x1 f x2 k 试求k的最小值 3 若过点a 1 m m 2 可且仅可作曲线y f x 的一条切线 求实数m的取值范围 考题剖析 专题十导数解答题的解法 考题剖析 专题十导数解答题的解法 解析 1 f x 3ax2 2bx 3 依题意 f 1 f 1 0即 解得a 1 b 0 f x x3 3x 考题剖析 专题十导数解答题的解法 2 f x x3 3x f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当 1 x 1时 f x 0 故f x 在区间 1 1 上为减函数 f x max f 1 2 f x min f 1 2 对于区间 1 1 上任意两个自变量的值x1 x2都有 f x1 f x2 f x max f x min f x1 f x2 f x max f x min 2 2 4 即 f x1 f x2 max 4 k 4 k的最小值为4 考题剖析 专题十导数解答题的解法 3 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 曲线方程为y x3 3x 点a 1 m 不在曲线上 设切点为m x0 y0 则点m的坐标满足y0 3x0因f x0 3 1 故切线的斜率为k 3 1 kam 整理得2 3 m 3 0 注 也可以先写出切线方程 然后将点a的坐标代入得到左式 过点a 1 m 仅可作曲线的一条切线 关于x0方程2 3 m 3 0有且仅有一个实根 考题剖析 专题十导数解答题的解法 设g x0 2 3 m 3 则g x0 6 6x0 从g x0 0得x0 1或x0 0 从g x0 0得0 x0 1 函数g x0 2 3 m 3在区间 0 和 1 为增函数 在 0 1 上为减函数 g x0 的极大 极小值点分别为x0 0 x0 1 不是单调函数 关于x0方程2 3 m 3 0有且仅有一个实根的充要条件是 g x 极大 g 0 m 3 0 m 3或g x 极小 g 1 2 m 0 m 2故所求的实数a的取值范围是 m m 3或m 2 点评 只有深刻理解概念的本质 才能灵活应用概念解题 解决这类问题的关键是等价变形 使极限式转化为导数定义的结构形式 考题剖析 专题十导数解答题的解法 6 2007 江门市质检题 设三次函数h x px3 qx2 rx s满足下列条件 h 1 1 h 1 1 在区间 1 1 上分别取得极大值1和极小值 1 对应的极点分别为 1 证明 0 2 求h x 的表达式 3 已知三次函数f x ax3 bx2 cx d在 1 1 上满足 1 f x 1 证明当 x 1时 有 f x h x 考题剖析 专题十导数解答题的解法 考题剖析 专题十导数解答题的解法 解析 1 证明 由h 1 1 h 1 1得q s 0 r p 1h x px3 sx2 1 p x sh x 3px2 2sx 1 p因为 1 1 内有两极值且h 1 1 所以有p 0h h p 3 3 s 2 2 1 p 2s 0 又由韦达定理得 即s p 代入 中得 p 2 1 2p 0因为p 0 2 2 所以 p 2 1 2p 1所以有 0 考题剖析 专题十导数解答题的解法 2 由 0得s 0 q 0所以h x px3 1 p x 又h 1 h 0消去p得 2 1 1 2 0所以有 p 4 所以有h x 4x3 3x 考题剖析 专题十导数解答题的解法 3 证明 因为 x 1时 f x 1 所以有 f 1 1 f 1 1令f x h x f x g x