高三数学2.6 指数与指数函数课件.ppt

要点梳理1 根式 1 根式的概念如果一个数的n次方等于a n 1且n n 那么这个数叫做a的n次方根 也就是 若xn a 则x叫做 其中n 1且n n 式子叫做 这里n叫做 a叫做 2 6指数与指数函数 基础知识自主学习 a的n次方根 根式 根指数 被开方数 2 根式的性质 当n为奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 这时 a的n次方根用符号 表示 当n为偶数时 正数的n次方根有两个 它们互为相反数 这时 正数的正的n次方根用符号 表示 负的n次方根用符号 表示 正负两个n次方根可以合写为 a 0 a 当n为奇数时 当n为偶数时 负数没有偶次方根 2 有理数指数幂 1 幂的有关概念 正整数指数幂 n n 零指数幂 a0 a 0 负整数指数幂 a p a 0 p n a 1 正分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 负分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 有理数指数幂的性质 aras a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q ar s ars arbr 0 没有意义 3 指数函数的图象与性质 r 0 0 1 y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 增函数 减函数 基础自测1 已知a 则化简的结果是 a b c d 解析 c 2 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的是 a y x3b y x2 1c y x 1d y 2 x 解析因为y x3是奇函数 从而可排除a 因为函数y x2 1及y 2 x 在 0 上单调递减 所以排除b d c 3 右图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 则a b c d与1的大小关系是 a a b 1 c db b a 1 d cc 1 a b c dd a b 1 d c 解析方法一当指数函数底数大于1时 图象上升 且当底数越大时 在第一象限内 图象越靠近y轴 当底数大于0且小于1时 图象下降 且在第一象限内 底数越小 图象越靠近x轴 故可知bd1 a1 b1 b a 1 d c 故选b 答案b 4 已知f x 2x 2 x 若f a 3 则f 2a 等于 a 5b 7c 9d 11解析 f x 2x 2 x f a 3 2a 2 a 3 f 2a 22a 2 2a 4a 4 a 2a 2 a 2 2 9 2 7 b 5 若函数y a2 3a 3 ax为指数函数 则有 a a 1或2b a 1c a 2d a 0且a 1解析 a 2 c 题型一指数幂的化简与求值 例1 计算下列各式 题型分类深度剖析 先把根式化为分数指数幂 再根据幂的运算性质进行计算 解 思维启迪 根式运算或根式与指数式混合运算时 将根式化为指数式计算较为方便 对于计算的结果 不强求统一用什么形式来表示 如果有特殊要求 要根据要求写出结果 但结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 探究提高 知能迁移1 解 题型二指数函数的性质 例2 12分 设函数f x 为奇函数 求 1 实数a的值 2 用定义法判断f x 在其定义域上的单调性 由f x f x 恒成立可解得a的值 第 2 问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可 思维启迪 解 1 方法一依题意 函数f x 的定义域为r f x 是奇函数 f x f x 2分 2 a 1 2x 1 0 a 1 6分 方法二 f x 是r上的奇函数 f 0 0 即 a 1 6分 2 由 1 知 设x1 x2且x1 x2 r 8分 解题示范 f x2 f x1 f x 在r上是增函数 1 若f x 在x 0处有定义 且f x 是奇函数 则有f 0 0 即可求得a 1 2 由x1 x2推得实质上应用了函数f x 2x在r上是单调递增这一性质 探究提高 10分 12分 知能迁移2设是定义在r上的函数 1 f x 可能是奇函数吗 2 若f x 是偶函数 试研究其单调性 解 1 方法一假设f x 是奇函数 由于定义域为r f x f x 即整理得即即a2 1 0 显然无解 f x 不可能是奇函数 方法二若f x 是r上的奇函数 则f 0 0 即 f x 不可能是奇函数 2 因为f x 是偶函数 所以f x f x 即整理得又 对任意x r都成立 有得a 1 当a 1时 f x e x ex 以下讨论其单调性 任取x1 x2 r且x1 x2 当f x1 0 即增区间为 0 反之 0 为减区间 当a 1时 同理可得f x 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 题型三指数函数的图象及应用 例3 已知函数 1 作出图象 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出当x取什么值时函数有最值 思维启迪 化去绝对值符号 将函数写成分段函数的形式 作图象 写出单调区间 写出x的取值 解 1 由已知可得其图象由两部分组成 一部分是 另一部分是 y 3x x 0 y 3x 1 x 1 向左平移1个单位 向左平移1个单位 图象如图 2 由图象知函数在 1 上是增函数 在 1 上是减函数 3 由图象知当x 1时 函数有最大值1 无最小值 在作函数图象时 首先要研究函数与某一基本函数的关系 然后通过平移或伸缩来完成 探究提高 知能迁移3若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两个公共点 则a的取值范围是 解析数形结合 当a 1时 如图 只有一个公共点 不符合题意 当0 a 1时 如图 由图象可知0 2a 1 思想方法感悟提高1 单调性是指数函数的重要性质 特别是函数图象的无限伸展性 x轴是函数图象的渐近线 当01 x 时 y 0 当a 1时 a的值越大 图象越靠近y轴 递增的速度越快 当0 a 1时 a的值越小 图象越靠近y轴 递减的速度越快 2 画指数函数y ax的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 1 方法与技巧 3 在有关根式 分数指数幂的变形 求值过程中 要注意运用方程的观点处理问题 通过解方程 组 来求值 或用换元法转化为方程来求解 1 指数函数y ax a 0 a 1 的图象和性质与a的取值有关 要特别注意区分a 1与0 a 1来研究 2 对可化为a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 的指数方程或不等式 常借助换元法解决 但应注意换元后 新元 的范围 失误与防范 一 选择题1 下列等式中一定成立的有 a 0个b 1个c 2个d 3个解析 定时检测 a 2 函数f x ax b的图象如右图 其中a b为常数 则下列结论正确的是 a a 1 b1 b 0c 00d 0 a 1 b 0 解析由图象得函数是减函数 00 即b 0 从而d正确 答案d 3 已知函数y 4x 3 2x 3 当其值域为 1 7 时 x的取值范围是 a 2 4 b 0 c 0 1 2 4 d 0 1 2 解析y 2x 2 3 2x 3 2x 1 1 2 4 x 0 1 2 d 4 定义运算 a b 如1 2 1 则函数f x 2x 2 x的值域为 a rb 0 c 0 1 d 1 解析f x 2x 2 x f x 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 0 f x 1 c 5 若函数则该函数在 上是 a 单调递减无最小值b 单调递减有最小值c 单调递增无最大值d 单调递增有最大值解析令u x 2x 1 则因为u x 在 上单调递增且u x 1 而在 1 上单调递减 故在 上单调递减 且无限趋于0 故无最小值 a 6 函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个 根据你的判断 a可能的取值是 a b c 2d 4 解析函数为偶函数 排除 又函数值恒为正值 则排除 故图象只能是 再根据图象先增后减的特征可知2a 3 1 即a 2 符合条件的只有d选项 故选d 答案d 二 填空题7 若f x a x与g x ax a a 0且a 1 的图象关于直线x 1对称 则a 解析g x 上的点p a 1 关于直线x 1的对称点p 2 a 1 应在f x a x上 1 aa 2 a 2 0 即a 2 2 8 设函数f x a x a 0且a 1 若f 2 4 则f 2 与f 1 的大小关系是 解析由f 2 a 2 4 解得a f x 2 x f 2 4 2 f 1 f 2 f 1 9 2009 江苏 已知函数f x ax 若实数m n满足f m f n 则m n的大小关系为 解析 函数f x ax在r上是减函数 又 f m f n m n m n 三 解答题10 已知对任意x r 不等式恒成立 求实数m的取值范围 解由题知 不等式对x r恒成立 x2 x0对x r恒成立 m 1 2 4 m 4 0 m2 2m 15 0 3 m 5 11 若函数y a2x 2ax 1 a 0且a 1 在x 1 1 上的最大值为14 求a的值