高考数学押题精粹试题 理（全国卷）.doc

1 20162016 年高考数学押题精粹试题年高考数学押题精粹试题 理 全国卷 理 全国卷 本卷共 48 题 三种题型 选择题 填空题和解答题 选择题 30 小题 填空题 4 小题 解答题 14 小题 1 1 已知集合则等于 2 2 log1 60 axxbx xx ra b a b c d 21 xx 22 xx 23 xx 2 x x 答案 b 解析 得 2 23 ax xbxx 2 ra x x 22 ra bxx 2 2 已知复数的实部为 则复数在复平面上对应的点位于 4i 1i b zbr 1 zb a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 答案 c 解析 试题分析 则由 得 4 1 bi z i 4 1 44 1 1 22 biibb i ii 4 1 2 b 所以 所以 其在复平面上对应点为 位于第6b 1 5zi 75zbi 7 5 三象限 3 3 若复数z满足 则 的实部为 1 i1 iiz z a 21 2 b 21 c 1 d 21 2 答案 a 解析 由 得 所 1 i1 iiz 2i 2i 2i 1 i 1 i 1 i 1 i z 2121i 22 以z的实部为 21 2 故选 a 4 4 下列函数中 既是奇函数又在区间上是减函数的是 0 2 a b c d 3 yx sinyx 21yx cosyx 答案 b 解析 选项 c d 不是奇函数 在上都是增函数 只有选项 b 符合 3 yx r 5 5 若是图象上不同两点 则下列各点一定在图象上的 a a bb c d lnf xx f x 是 a b c d ac bd acbd ac bd ac bd 2 答案 c 解析 因为在图象上 所以 所以 a a bb c d lnf xx lnba ln dc 因此在图象上 故选 c lnlnlnbdacac ac bd lnf xx 6 6 双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为 2 2 1 3 y c x a b c d 1 2 2 2 3 3 3 2 答案 a 解析 c 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1 2 ac 1 2 7 7 在区间内随机取两个实数 则满足的概率是 1 1 xy1 2 xy a b c d 9 2 9 7 6 15 6 答案 d 解析 由题意知表示的区域为边长为 2 的正方形 面积为 4 满足 11 11 x y 的区域即为图中阴影部分 面积为 1 2 xy 1 231 1 1 110 2 112 33 xdxxx 所以所求概率为 故选 d 10 5 3 46 p 8 8 执行如图所示的程序框图 输出的结果 s 的值是 3 a 2 b c 3 d 1 2 1 3 答案 a a 由程序框图知 2 1si 12 3 2 12 si 1 31 3 132 si 1 1 1 2 4 1 3 1 2 si 可知 s 出现周期为 4 1 1 3 2 5 1 1 3 si 当 时 结束循环输出 s 即输出的 20174 504 1i 2s 9 9 一个算法的程序框图如右图所示 若输入的 x 值为 2016 则输出的 值为 i a 3b 4 c 5d 6 答案 a 4 3 2016 2016 2015 3 2016 2015 2015 1 2 2015 1 1 2016 ib aib aib ia 结束 输出 解析 运转程序 1010 若向量满足 的夹角为 60 在上的投影等于 a b 2 abab与 a a b a b 2 c d 4 22 33 答案 c 解析 在上的投影为 a a b 2 222 426 3 2 3 2 aabaa b ab abaa bb 1111 不等式组 250 30 20 xy xy xy 的解集记为d 1 1 y z x 有下面四个命题 p1 x yd 1z p2 x yd 1z p3 x yd 2z p4 x yd 0z 其中的真命题是 a p1 p2 b p1 p3 c p1 p4 d p2 p3 答案 d 解析 可行域如图所示 a 1 3 b 2 1 所以所以 故p2 p3 正确 故答案为 d 1212 牟合方盖 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体 它由完全相同的四个曲面构成 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 好似两个扣 合 牟合 在一起的方形伞 方盖 其直观图如下左图 图中四边形是为体现其直观性所作的 辅助线 当其主视图和侧视图完全相同时 它的俯视图可能是 i 5 答案 b 解析 由直观图可知俯视图应为正方形 排除 a c 又上半部分相邻两曲面的交线看得见 在俯视图中应为实线 故选 b 1313 一个几何体的三视图如图 2 所示 单位 cm 则该几何体的体积是 a 23 3 3 cm b 22 3 3 cm c 47 6 3 cm d 7 3 cm 答案 a 解析 该几何体是棱长为 2 的正方体截去一个三棱锥后所 1111 abcdabc d 11 cb ef 得的多面体 其体积为 1123 2 2 21 1 2 323 v 1414 若数列 满足 为常数 则称数列 为调和数列 已知 n a 1 1 n a 1 n d a dnn n a 数列 为调和数列 且x1 x2 x20 200 则等于 1 n x 165 xx a 10 b 20 c 30 d 40 答案 b 解析 数列为调和数列 是等差数列 1 n x 1 1 11 11 nn nn xxd xx n x 又 1220 200 xxx 120 20 2 xx 120 20 xx 又 120516516 20 xxxxxx 1515 九章算术 之后 人们学会了用等差数列的知识来解决问题 张丘建算经 卷上第 22 题为 今有女善织 日益功疾 注 从第 2 天开始 每天比前一天多织相同量的布 第一天织 5 尺布 现一月 按 30 天计 共织 390 尺布 则从第 2 天起每天比前一天多织 尺布 a b c d 2 1 15 8 31 16 29 16 6 答案 d 解析 设从第 2 天起每天比前一天多织d尺布m 则由题意知 解得 30 29 30 5390 2 d 16 29 d 1616 在某次联考测试中 学生数学成绩 若x 2 1000n 则等于 8 0 12080 xp 800 xp a 0 05 b 0 1 c 0 15 d 0 2 答案 b 解析 由题意知 则由正态分布图象的对称性可知 80120 0 8p 故选 b 1 080 0 5 80120 0 1 2 pxpx 1717 由 1 2 3 0 组成没有重复数字的三位数 其中 0 不在个位上 则这些三位数的和为 a 2544 b 1332 c 2532 d 1320 答案 a 解析 分两种情况 1 所有不含 0 的三位数的和为 2 2 123100 10 11332a 2 含 0 且 0 只能在十位上的三位数的和为 那么可得符 1 2 123100 11212a 合条件的这些三位数之和为 1332 12122544 1818 已知若 2 则等于 2 cos2 21 x x f xaxx 3 f 3 f a b c 0 d 12 1 答案 a 解析 因为 所以 2 cos2 21 x x f xaxx 所 22 2cos2 2121 xx xx f xfxx 21 2cos212cos2 2112 x xx xx 以 1 0 3 f 3 f 2 2cos 3 所以 2 33 ff 1919 函数部分图象如图所示 对不同的 若 sin 2 2 f xax baxx 21 有 则 21 xfxf 3 21 xxf 7 a 在上是减函数 b 在上是减函数 xf 5 12 12 xf 5 36 c 在上是增函数 d 在上是增函数 xf 5 12 12 xf 5 36 答案 c 解析 由图可知 又由 知函数的图象关于直线2a 21 xfxf 对称 所以 由五点法作图 得 12 22 xxab x 12 abxx 20a 所以 则 2b 2 ab f ab 即 所以 所以 12 2sin 2 2sin3f xx 3 sin 2 3 在上 所以在 2sin 2 3 f xx 5 12 12 2 32 2 x xf 上是增函数 故选 c 5 12 12 2020 若 则的值是 7 28 0128 112xxaa xa xa x 127 aaa a b c 125 d 2 3 131 答案 c 解析 令 得 令 得 即0 x 0 1a 1x 0128 2aaaa 又 所以 128 3aaa 77 87 2 128ac 1278 3125aaaa 故选 c 2121 设点 分别是双曲线的右顶点 右焦点 直线a 0f c 22 22 1 0 0 xy ab ab 交该双曲线的一条渐近线于点 若是等腰三角形 则此双曲线的离心率为 2 a x c ppaf a b c d 3322 答案 d 8 解析 显然 所以由是等腰三角形得 易知pfpa pfaf paf paaf 所以 a 0 a p 2 aab cc 2 222 aab aca cc 222222 aa accaca cc 22 1 aaca ccca 22 111 1 1 e eee 解得 故选 d 2e 2222 过抛物线焦点 f 的直线交其于两点 o 为坐标原点 若 则 2 yx 4ba 3 af 的面积为 aob a b c d 2 2 2 2 3 2 2 2 答案 c 解析 设直线的倾斜角为及 ab 0 bfm 3af 点到准线 的距离为 3 即 则 a 1l x 23cos3 1 cos 3 2 2 sin 3 2cos mm 23 1cos2 m 的面积为 aob 1132 23 2 sin1 3 22232 sofab 2323 已知圆 圆 椭圆 22 1 20cxcxy 22 2 20cxcxy 的焦距为 若圆都在椭圆内 则椭圆离心率的范 22 22 1 0 xy cab ab 2c 12 c ccc 围是 a b c d 1 1 2 1 0 2 2 1 2 2 0 2 答案 b 解析 由题意 得圆的圆心分别为和 半径均为 满足题意的圆与 12 c c 0 c 0 cc 椭圆的临界位置关系如图所示 则知要使圆都在椭圆内 则需满足不等式 12 c c2ca 9 所以离心率 故选 b 1 0 2 c e a 2424 已知向量 满足 分别是线ab ac ad acabad 2ab 1ad ef 段 的中点 若 则向量与向量的夹角为 bccd 5 4 de bf ab ad a b c d 3 2 3 6 5 6 答案 a 解析 de bf 22115115 224224 cbcdcdcbcb cdcdcb 由 可得 所以 从而2cdab 1bcad 1 cos 2 cb cd 3 cb cd 故选 a 3 ab ad 2525 已知函数满足条件 对于 唯一的 使得 0 0 3 xbax xx xfr 1 x r 2 x 当成立时 则实数 21 xfxf bfaf32 ba a b c 3 d 3 2 6 2 6 2 6 2 6 答案 d 解析 由题设条件对于 存在唯一的 使得知在r 1 xr 2 x 21 xfxf xf 和上单调 得 且 由有 解 0 03 b0 a bfaf32 3932 2 a 之得 故 选d 2 6 a3 2 6 ba 2626 函数的图象大致为 2 ln x y x 10 答案 d 解析 当时 所以 排除 b c 当时 由于函数01x ln0 x 0y 1x 比随的增长速度快 所以随的增大 的变化也逐渐增大 排2yx lnyx xx 2 ln x y x 除 a 故选 d 2727 已知定义在上的函数 为其导数 且恒成立 则 0 2 f x fx tanf xf xx a b 3 2 43 ff 2 64 ff c d 3 63 ff 12 sin1 6 ff 答案 c 解析 因为 所以 则由得 0 2 x sin0 cos0 xx tanf xf xx 即 令 则 sin cos x f xf x x cos sin 0 xf xxf x sin x f x f x 所以在上递减 所以 2 sincos sin 0 xf xxfx f x f xf x f x 0 2 即 即 故选 c 63 ff sinsin 63 63 ff 3 63 ff 2828 若过点与曲线相切的直线有两条 则实数a的取值范围是 p a a lnfxxx a b c d e e 1 0 e 1 答案 b 解析 设切点为 则切线斜率 所以切线方程为 lnq t tt kft 1lnt 把代入得 整理得 显 ln1lnytttxt p a a ln1lnatttat lnatt 然 所以 设 则问题转化为直线与函数图象有两个0a 1lnt at lnt g t t 1 y a g t 11 不同交点 由 可得在递增 递减 在处取得极大 2 1lnt g t t g t 0 e e ex 值 结合图象 可得 故选 b 1 e g t 11 0e e a a 2929 已知四边形的对角线相交于一点 则的 abcd 1 3ac 3 1bd ab cd 最小值是 a b c d 242 4 答案 c 解析 取 则 设 则 0 0 a 1 3 c 11 b x y 22 d xy 21 21 3 1 xx yy 所以 1122 3 1abx yxy 22 1 3cdxy 求得 22 22 3131 22 22 ab cdxy 当且时 取到最小值 此时四边形的对角 1 1 31 2 31 2 x y 2 2 31 2 31 2 x y ab cd 2 abcd 线恰好相交于一点 故选 c 3030 定义在上的函数对任意都有 且函数r f x 1212 x xxx 12 12 0 f xf x xx 的图象关于 1 0 成中心对称 若满足不等式 1yf x s t 则当时 的取值范围是 22 22f ssftt 14s 2ts st a b c d 1 3 2 1 3 2 1 5 2 1 5 2 答案 d 解析 不妨设 则 由 知 即 12 xx 12 0 xx 12 12 0 f xf x xx 12 0f xf x 所以函数为减函数 因为函数的图象关于成中心 12 f xf x f x 1 yf x 1 0 对称 所以为奇函数 所以 所以 yf x 222 2 2 2 f ssfttf tt 即 因为 而在条件 22 22sstt 2 0st st 233 11 1 tss t stst s 12 下 易求得 所以 所以 2 0 14 st st s 1 1 2 t s 1 1 2 2 t s 33 6 2 1 t s 所以 即 故选 d 31 1 5 2 1 t s 21 5 2 ts st 3131 已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上 且与平面所成的角3abc ooaabc 为 则球的表面积为 30 o 答案 16 解析 设正的外接圆圆心为 abc 1 o 易知 在中 1 3ao 1 rt oo a 故球的表面积为 1 2 cos30 o a oa o 2 4216 3232 设 当实数满足不等式组时 目标函数的最大值等于1 myx 1 2 yx xy xy myxz 2 则的值是 m 答案 5 2 解析 根据不等式组画出可行域为图中阴影部分 目标函数可写为 因 1z yx mm 为 所以 将函数的图象平移经过可行域时 在点1m 1 10 m 1 yx m g 处取最大值 此时 所以有 解得 1 2 3 3 y2z 12 2 33 m 5 2 m 3333 已知数列中 对任意的 若满足 为常数 则 n a n n 123nnnn aaaas s 称该数列为阶等和数列 其中为阶公和 若满足 为常数 则称4s4 12nnn aaat t 13 该数列为阶等积数列 其中 为阶公积 已知数列为首项为 的阶等和数列 且满3t3 n p14 足 数列为公积为 的阶等积数列 且 设为数列 342 321 2 ppp ppp n q13 12 1qq n s 的前项和 则 nn pq n 2016 s 答案 2520 解析 由题意可知 1 1p 2 2p 3 4p 4 8p 5 1p 6 2p 7 4p 8 8p 9 1p 10 2p 又 是 4 阶等和数列 因此该数列将会照此规律循环 11 4p 12 8p 13 1p n p 下去 同理 1 1q 2 1q 3 1q 4 1q 5 1q 6 1q 7 1q 8 1q 9 1q 10 1q 又 是 3 阶等积数列 因此该数列将会照此规律循环 11 1q 12 1q 13 1q n q 下去 由此可知对于数列 每 12 项的和循环一次 易求出 nn pq 因此中有 168 组循环结构 故 11221212 15p qpqpq 2016 s 2016 15 1682520s 3434 用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数 例如 9 的因数有 1 3 9 g nn 的因数有 1 2 5 10 那么 99 10g 105g 2015 12321gggg 答案 2015 41 3 解析 由的定义易知当为偶数时 且当为奇数时 g nn 2 n g ng n 令 则 g nn 1 f ng 2 3 21 n ggg 1 1 1 2 3 21 n f ngggg 1 1 3 21 n 1 2 4 22 n ggg 即 1 1 2 121 1 2 4 22 4 2 nn nn ggggf n 1 f n 14 分别取为并累加 4nf n n1 2 n 得 又 1 所以 2 4 1 1 444 41 3 nn f nf 1 1 fg 所以 4 1 41 1 3 n f n 1 2 3 21 n f ngggg 令 得 1 4 41 1 3 n 2015n 2015 2015 41 1 2 3 21 3 gggg 3535 本小题满分 12 分 在中 角所对的边分别为 已知 abc a b c a b c 2cos14sinsinbcbc 1 求 a 2 若 的面积 求 2 7a abc 2 3bc 答案 1 2 2 3 6bc 解析 1 由 2cos14sinsinbcbc 得 2 coscossinsin4sinsin1bcbcbc 即 亦即 2 coscossinsin1bcbc 2cos1bc 1 cos 2 bc 0 3 bcbc abc 2 3 a 2 由 1 得 由 得 2 3 a 2 3s 12 sin2 3 8 23 bcbc 由余弦定理 得 222 2cosabcbca 2 22 2 2 72cos 3 bcbc 即 将 代入 22 28bcbc 2 28bcbc 得 2 828bc 6bc 3636 本小题满分 12 分 如图 在中 点在边上 abc dbc 4 cad 2 7 ac 10 2 cos adb 1 求的值 c sin 2 若的面积为 求的长 abd 7ab 答案 1 2 4 5 37 15 解析 1 因为 所以 又因为所以 10 2 cos adb 10 27 sin adb 4 cad 所以 4 adbc 4 sincos 4 cossin 4 sin sin adbadbadbc 5 4 2 2 10 2 2 2 10 27 2 在中 由正弦定理得 adc adc ac c ad sinsin 故 22 10 27 5 4 2 7 sin sin sin sin sin sin adb cac adb cac adc cac ad 又解得 7 10 27 22 2 1 sin 2 1 bdadbabads abd 5 bd 在中 由余弦定理得adb 37 10 2 5222258cos2 222 adbbdadbdadab 3737 本小题满分 12 分 已知公差不为的等差数列中 且成等比数列 0 n a 1 2a 248 1 1 1aaa 1 求数列通项公式 n a 2 设数列 满足 求适合方程的正整数的值 n b 3 n n b a 1 22 31 45 32 nn bbb bb b n 答案 1 2 31 n an 10 解析 1 设等差数列的公差为 由 得 n ad 248 1 1 1aaa 解得或 舍 2 33 3 37 ddd 3d 0d 故 1 1 23 1 31 n aandnn 2 由 1 知 3 31 n b n 1 911 3 31 32 3132 nn b b nnnn 1 22 31 111111119 3 3 2558313223264 nn n bbb bb b nnnn 依题有解得 945 6432 n n 10 n 16 3838 本小题满分 12 分 设 数列的前n项和为 已知 成等比数列 nn n a n s 1 2 nnn ssa 125 a a a 1 求数列的通项公式 n a 2 若数列满足 求数列的前项和 n b 1 2 n a n n b a n bn n t 答案 1 2 21 n an 1 23 26 n n tn 解析 1 由得 1 2 nnn ssa 1 2 nn aann 数列是以为首项 2 为公差的等差数列 n a 1 a 由成等比数列得 8 解得 1 125 a a a 2 1 a 1 a 1 a 1 a 21 n annn 2 由 1 可得 2 21 2 21 2 nn n bnn 1231 nnn tbbbbb 即 123 1 23 25 2 21 2n n tn 231 21 23 2 23 2 21 2 nn n tnn 可得 231 22 22 2 21 2 nn n tn 1 23 26 n n tn 3939 本小题满分 12 分 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇 2015 年双 11 期间 某购物平台的销售业绩高 达 918 亿人民币 与此同时 相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系 现从评 价系统中选出 200 次成功交易 并对其评价进行统计 对商品的好评率为 0 6 对服务的好评 率为 0 75 其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 1 能否在犯错误的概率不超过 0 001 的前提下 认为商品好评与服务好评有关 2 若将频率视为概率 某人在该购物平台上进行的 5 次购物中 设对商品和服务全好评的 次数为随机变量 x 求对商品和服务全好评的次数的分布列 概率用组合数算式表示 x 求的数学期望和方差 x 2 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 2 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 p kk k 其中 2 2 n adbc k ab cd ac bd nabcd 答案 1 能在犯错误的概率不超过 0 001 的前提下 认为商品好评与服务好评有关 2 x012345 p 5 3 5 14 5 23 55 c 223 5 23 55 c 332 5 23 55 c 441 5 23 55 c 5 2 5 2 e x 6 5 d x 解析 1 由题意可得关于商品和服务评价的 2 2 列联表如下 对服务好评对服务不满意合计 对商品好评 8040120 17 对商品不满意 701080 合计 15050200 2 2 200 80 1040 70 11 11110 828 150 50 120 80 k 故能在犯错误的概率不超过 0 001 的前提下 认为商品好评与服务好评有关 2 每次购物时 对商品和服务都好评的概率为 且的取值可以是 0 1 2 3 4 5 2 5 x 其中 5 3 0 5 p x 14 5 23 1 55 p xc 223 5 23 2 55 p xc 332 5 23 3 55 p xc 441 5 23 4 55 p xc 5 2 5 5 p x 的分布列为 x x012345 p 5 3 5 14 5 23 55 c 223 5 23 55 c 332 5 23 55 c 441 5 23 55 c 5 2 5 由于 则 2 5 5 xb 2 52 5 e x 226 5 1 555 d x 4040 本小题满分 12 分 某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛 等级分为 1 至 10 分 随机调阅了a b两所 学校各 60 名学生的成绩 得到样本数据如下 1 计算两校样本数据的均值和方差 并根据所得数据进行比较 2 记事件为 校学生计算机优秀成绩高于校学生计算机优秀成绩 假设 7 分或cab 7 分以上为优秀成绩 两校学生计算机成绩相互独立 根据所给样本数据 以事件发生的 频率作为相应事件发生的概率 求事件的概率 c 答案 1 2 1 5 ab xx 2 1 5 a s 2 1 8 b s 0 02p c 解析 1 从 a 校样本数据的条形图可知 成绩分别为 4 分 5 分 6 分 7 分 8 分 9 分的学生分别有 6 人 15 人 21 人 12 人 3 人 3 人 a 校样本的平均成绩为 分 4 65 156 217 128 39 3 6 60 a x a 校样本的方差为 222 1 6 46 3 96 1 5 60 a s 从 b 校样本数据统计表可知 18 b 校样本的平均成绩为 分 4 95 126 217 98 69 3 6 60 b x b 校样本的方差为 222 1 9 46 3 96 1 8 60 b s 因为所以两校学生的计算机成绩平均分相同 又因为 所以 a 校的学生 ab xx 22 ab ss 的计算机成绩比较稳定 总体得分情况比 b 校好 2 记表示事件 a 校学生计算机成绩为 8 分或 9 分 1a c 表示事件 a 校学生计算机成绩为 9 分 2a c 表示事件 b 校学生计算机成绩为 7 分 表示事件 b 校学生计算机成绩为 8 分 1b c 2b c 则与独立 与独立 与互斥 1a c 1b c 2a c 2b c 1b c 2b c 1122baba cc cc c 1122 baba p cp c cc c 1122 baba p c cp c c 1122 baba p cp cp cp c 由所给数据得 发生的概率分别为 1a c 2a c 1b c 2b c 1 a p c 6 60 2 a p c 3 60 1 9 60 b p c 2 6 60 b p c 故 9663 0 02 60606060 p c 4141 本小题满分 12 分 如图 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面 平面 平面 abcdabpeabcd 且 且 abpeab2 1abbpadae aeab aebp 1 设点为棱中点 求证 平面 mpdem abcd 2 线段上是否存在一点 使得直线与平面所成角的正弦值等于 若pdnbnpcd 2 5 存在 试确定点的位置 若不存在 请说明理由 n 答案 1 证明见解析 2 当点与点重合时 直线与平面所成角ndbnpcd 19 的正弦值为 理由见解析 2 5 解析 1 证明 方法一 由已知 平面平面 且 abcd abpebcab 则平面 所以两两垂直 故以为原点 分别为bc abpe ba bp bcb ba bp bc 轴 轴 轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 xyz 则 所以 1 0 2 0 2 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 2 pdmec 1 1 0 2 em 易知平面的一个法向量等于 abcd 0 1 0 n 因为 所以 1 1 0 0 1 0 0 2 em n emn 又平面 所以 平面 em abcdemabcd 方法二 由已知 平面平面 且 则平面 abcd abpebcab bc abpe 所以两两垂直 连结 其交点记为 连结 ba bp bc ac bdomoem 因为四边形为矩形 abcd 所以为中点 因为为中点 obdmpd 所以 且 ompb 1 2 ompb 又因为 且 aepb 1 2 aepb 所以 且 aeomaeom 所以四边形是平行四边形 所以 aemoemao 因为平面 平面 所以 平面 em abcdao abcdemabcd 2 当点与点重合时 直线与平面所成角的正弦值为 ndbnpcd 2 5 理由如下 因为 设平面的一个法向量为 2 2 1 2 0 0 pdcd pcd 1111 nx y z 由得 1 1 0 0 n pd n cd 111 1 220 20 xyz x 取 得平面的一个法向量 1 1y pcd 1 0 1 2 n 20 假设线段上存在一点 使得直线与平面所成角的正弦值等于 pdnbnpcd 2 5 设 01 pnpd 则 2 2 1 2 2 pn 2 22 bnbppn 所以 1 1 1 sin cos bn n bn n bnn 2222 222 5 5 2 22 5984 所以 解得或 舍去 2 9810 1 1 9 因此 线段上存在一点 当点与点重合时 直线与平面所成角的正pdnndbnpcd 弦值等于 2 5 4242 本小题满分 12 分 正方形与梯形所在平面互相垂直 adefabcd adcd abcd 点在线段上且不与重合 1 2 2 abadcd mecce 1 当点是中点时 求证 mecadefbm平面 2 当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时 求三棱锥的bdmabf 6 6 bdem 体积 答案 1 证明见解析 2 4 3 解析 1 由题意 以点为坐标原点 方向为轴 为轴 为ddaxdcyde 轴建立空间直角坐标系 则 z 2 0 0 2 2 0 0 4 0 0 0 2 0 2 1abcem 21 平面的一个法向量 2 0 1bm adef 0 4 0dc 即 0bm dc bmdc bmadef平面 2 设 故点 0 4 20 4 2emtecttt 0 4 2201mttt 设平面的一个法向量 则bdm zyxn 1 11 220 4220db nxydm ntyt z 令 则 易知平面的一个法向量 1y 1 2 1 1 1 t n t abf 2 1 0 0n 解得 12 12 2 12 2 16 cos 6 4 2 1 n n n n nnt t 1 2 t 为的中点 到面的距离 1 2 0mbc2 2 1 cdmdbm ssbdem2 h 14 33 mbdedem vsh 4343 本小题满分 12 分 已知点f是椭圆 0 1 1 2 2 2 ay a x 的右焦点 点 0 m m 0 nn分别是x轴 y轴上的动点 且满足0 nfmn 若点p满足poonom 2 1 求点p的轨迹c的方程 2 设过点f任作一直线与点p的轨迹交于a b两点 直线oa ob与直线 ax 分别交于点s t o为坐标原点 试判断fs ft 是否为定值 若是 求出这 个定值 若不是 请说明理由 答案 1 axy4 2 2 fs ft 的值是定值 且定值为0 解析 1 椭圆 0 1 1 2 2 2 ay a x 右焦点f的坐标为 0 a nfan mnm n 由0 nfmn 得0 2 amn 设点p的坐标为 yx 由poonom 2 有 0 2 0 mnxy 22 2 y n xm 代入0 2 amn 得axy4 2 2 法一 设直线ab的方程为xtya 2 1 1 4 y ay a 2 2 2 4 y by a 则x y a yloa 1 4 x y a ylob 2 4 由 ax x y a y 4 1 得 2 1 4 a sa y 同理得 2 2 4 a ta y 2 1 4 2 a fsa y 2 2 4 2 a fta y 则 4 2 12 16 4 a fs fta y y 由 axy atyx 4 2 得044 22 aatyy 2 12 4y ya 则044 4 16 4 22 2 4 2 aa a a aftfs 因此 fs ft 的值是定值 且定值为0 法二 当abx 时 2 a aa 2 b aa 则 2 oa lyx 2 ob lyx 由 2 yx xa 得点s的坐标为 2 saa 则 2 2 fsaa 由 2 yx xa 得点t的坐标为 2 taa 则 2 2 ftaa 2 2 2 20fs ftaaaa 当ab不垂直x轴时 设直线ab的方程为 0 yk xa k 4 1 2 1 y a y a 4 2 2 2 y a y b 同解法一 得 4 2 12 16 4 a fs fta y y 由 2 4 yk xa yax 得 22 440kyayka 2 12 4y ya 则044 4 16 4 22 2 4 2 aa a a aftfs 因此 fs ft 的值是定值 且定值为0 23 4444 本小题满分 12 分 以椭圆的离心率为 以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于 22 22 1 0 xy cab ab 6 3 2 3 1 求椭圆的标准方程 c 2 过原点且斜率不为的直线 与椭圆交于两点 是椭圆的右顶点 直线0lcqp ac 分别与轴交于点 问 以为直径的圆是否恒过轴上的定点 若aqap ynm mnx 恒过轴上的定点 请求出该定点的坐标 若不恒过轴上的定点 请说明理由 xx 答案 1 2 以为直径的圆恒过轴上的定点 2 2 1 3 x y mnx 1 0 1 0 解析 1 依题意 得 222 6 3 3 c ababc a 又 解得故椭圆的标准方程为 3 1 a b c 2 2 1 3 x y 2 设 3 0 a 0 mm 0 nn 00 p xy 则由题意 可得 1 2 2 0 0 1 3 x y 且 00 qxy 00 3 apxy 3 amm 因为三点共线 所以 a p mapam 故有 解得 同理 可得 00 3 3xmy 0 0 3 3 y m x 0 0 3 3 y n x 假设存在满足题意的轴上的定点 则有 即 x 0 r trmrn 0rm rn 因为 rmt m rnt n 所以 即 整理得 2 0tmn 2 00 00 33 0 33 yy t xx 2 2 0 2 0 3 3 y t x 又由 1 得 所以 解得或 22 00 33yx 2 1t 1t 1t 故以为直径的圆恒过轴上的定点 mnx 1 0 1 0 方法二 24 1 同方法一 2 当直线 的斜率不存在时 有 此时以l 0 1 p 0 1 q 0 1 m 0 1 n 为直径的圆经过轴上的点和 mnx 1 0 1 0 当直线 的斜率存在时 设直线 的方程为 llykx 联立方程组 解得 2 2 1 3 x y ykx 22 33 3131 k p kk 22 33 3131 k q kk 设 0 mm 0 nn 又直线的斜率 直线的斜率 ap 1 2 131 k k k am 2 3 m k 因为三点共线 所以 解得得 a p m 12 kk 2 3 31 1 k m k 同理 可得 2 3 31 1 k n k 假设存在满足题意的轴上的定点 则有 x 0 r trmrn 直线的斜率 直线的斜率 rm 3 m k t rn 4 n k t 所以 故有 即 34 1k k 2 tmn 2 22 33 31 131 1 kk t kk 整理 得 解得或 2 1t 1t 1t 综合 可知以为直径的圆恒过轴上的定点 mnx 1 0 1 0 4545 本小题满分 12 分 已知函数 ln3f xaxax 0a 1 讨论的单调性 f x 2 若对任意恒成立 求实数的取值范围 为 140f xaxe 2 xe e ae 自然常数 3 求证 2222 ln 21ln 31ln 41ln112ln nn 2n n 25 答案 1 当0 a时 增区间为 0 1 减区间为 1 当0 a时 增区间为 1 减区间为 0 1 2 3 见解析 2 1 2 ee a 解析 1 0 1 x x xa xf 当时 的单调增区间为 单调减区间为 0 a xf 1 0 1 当时 的单调增区间为 单调减区间为 0 a xf 1 1 0 2 令 ln34ln1 f xaxaxaxxeaxxe 0 x ax xf 若 是增函数 ea ea xf 上在 2 ee 无解 2 1 012 2 22 max ee aeeaefxf 若 在上是减函数 在上是增函数 2 eae eae 2 xf ae 2 ea 1 01 aaef 2 1 012 2 22 ee aeeaef 2 1 2 2 ee ae 若 在上是减函数 2 ea 2 ea xf 2 ee 1 01 max aaefxf 2 ea 综上所述 2 1 2 ee a 3 令 或 此时 所以 1a 1a ln3f xxx 1 2f 由 1 知在上单调递增 当时 ln3f xxx 1 1 x 即 对一切成立 1 f xf ln10 xx ln1xx 1 x 2 n nn 则有 22 11111 ln 1 1 1nnnnnn 要证 2222 ln 21 ln 31 ln 41 ln 1 12ln 2 nn nnn 26 只需证 2222 1111 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 2 234 nnn n 2222 111111111111 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 11 234223341nnnn 所以原不等式成立 4646 本小题满分 12 分 已知函数 常数且 1 x f xa xea ra 0a 1 证明 当时 函数有且只有一个极值点 0 a xf 2 若函数存在两个极值点 证明 且 xf 12 x x 2 1 4 0 e xf 2 2 4 0 e xf 解答 依题意 1 1 xxx fxa xeaxeaa x ea 令 则 x h xa x ea 1 x h xa xe 1 当时 故 所以在不0 x 0 x x e 0a 0h xfx fx 0 上 存在零点 则函数在不存在极值点 xf 0 上 当时 由 故在单调递增 又0 x 1 0 x h xa xe h x 0 上 2 0 0ha 2 1 0 aa h aa a eaae 所以在有且只有一个零点 h xfx 0 上 又注意到在的零点左侧 在的零点右侧 fx 0fx fx 0fx 所以函数在有且只有一个极值点 xf 0 综上所述 当时 函数在内有且只有一个极值点 0a xf 2 因为函数存在两个极值点 不妨设 xf 1 x 2 x 12 xx 所以 是的两个零点 且由 1 知 必有 1 x 2 x h xfx 0a 令得 1 0 x h xa xe 1x 令得 1 0 x h xa xe 1x 令得 1 0 x h xa xe 1x 所以在单调递增 在单调递减 h xfx 1 1 27 t ab cd m n 又因为 2 0 0 0hfa 所以必有 12 10 xx 令 解得 0 t f ta t ea t at e 此时 22232 1 1 1 2 tttttt f ta teate tetee t tettt 因为是的两个零点 12 x x h xfx 所以 1 232 1111 2 x f xexxx 2 232 2222 2 x f xexxx 将代数式视为以 为自变量的函数 232 2 t ettt t 232 2 t g tettt 则 22 1 21 t g tett 当时 因为 所以 1t 22 10 210 0 t tte 0g t 则在单调递增 g t 1 因为 所以 1 1x 11 2 4 1 f xg xg e 又因为 所以 1 22 111 1 0 x f xex x 1 2 4 0 f x e 当时 因为 所以 10t 22 10 210 0 t tte 0g t 则在单调递减 g t 1 0 因为 所以 2 10 x 22 2 4 0 0 1 gg xf xg e 综上知 且 1 2 4 0 f x e 2 2 4 0 f x e 4747 本小题满分 10 分 从下列三题中选做一题 1 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 两个圆相内切于点 公切线为 外圆的弦 分别交内圆于 ttntctda 两点 并且外圆的弦恰切内圆于点 bcdm 1 证明 abcd 2 证明 ac mdbd cm 解答 1 由弦切角定理可知 ntbtab 同理 所以 ntbtcd tcdtab 所以 abcd 2 连接 tm am 因为 cd 是切内圆于点 m 所以由弦切角定理知 cmaatm 又由 1 知 abcd 28 t ab cd m n 所以 又 cmamab mtdmab 所以 mtdatm 在中 由正弦定理知 mtd sinsin mdtd dt