数学物理方程留 数.pdf

留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 留 数留 数 一 留数的引入 二 用留数求积分 三 例题 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 一 留数的引入一 留数的引入 0 1 010 czzczzczf n n C 0 z zf 设为的一个孤立奇点设为的一个孤立奇点 内的洛朗级数内的洛朗级数 zf Rzz 0 0在在 n n zzczzc 001 0 z 的某去心邻域的某去心邻域 0 zRzz 0 0 邻域内包含邻域内包含 0 z 的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 1 2 ic zzzczzzczc n C n CC d d d 0010 CC n n zzzczzzcd d 1 010 C zzfd 积分积分 0 高阶导数公式高阶导数公式 0 柯西柯西 古萨基本定理古萨基本定理 i 2 的系数洛朗级数中负幂项的系数洛朗级数中负幂项 1 01 zzc 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 zzf i c C d 2 1 1 即即 Res 0 zzf 的留数在的留数在 0 zzf 定义定义 记作记作 Res 0 zzf 域内的洛朗级数中负域内的洛朗级数中负 1 01 的系数幂项的系数幂项 zzc 为中心的圆环在即为中心的圆环在即 0 zzf 0 zfz为函数为函数的一个孤立奇点的一个孤立奇点 则沿则沿 Rzzz 00 0的某个去心邻域在内包含的某个去心邻域在内包含 0 z的 任意一条简单闭曲线 的 任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 C zzfd 的值除的值除 i 2后所得的数称为后所得的数称为 0的留数 在的留数在zzf以 如果 以 如果 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 二 利用留数求积分二 利用留数求积分 说明说明 内部处处解析 上及在内部处处解析 上及在CCzf 1 2 留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求积分转化为求 被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数 1 留数定理留数定理 zf在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤 n zzz 21 外处处解析外处处解析 C 是是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线 内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线 那末那末 Res 2d 1 n k k C zzfizzf 立奇点 函数 立奇点 函数 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 证证 n CCC zzfzzfzzfd d d 21 zzf C d zzf i zzf i zzf i n CCC d 2 1 d 2 1 d 2 1 21 Res Res Res 21n zzfzzfzzf Res 1 即可得即可得 n k k zzf 证毕证毕 两边同时除以且两边同时除以且i 2 1 z 2 z n z D C 如图如图 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 2 留数的计算方法留数的计算方法 1 如果如果 0 z 为为 zf的可去奇点的可去奇点 0 Res 0 zzf则则 lim Res 000 0 zzfzzzzf zz 如果为的一级极点如果为的一级极点 那末那末 0 z zf 规则1规则1 成洛朗级数求成洛朗级数求 1 c 2 如果如果 0 z为 的本性奇点为的本性奇点 zf 3 如果如果 0 z 为的极点为的极点 则有如下计算规则则有如下计算规则 zf zf展开则需将展开则需将 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 如果为的级极点如果为的级极点 0 z zfm d d lim 1 1 Res 01 1 0 0 zfzz zm zzf m m m zz 规则2规则2 证证 2 020 zzczzczf m m 010 1 01 zzcczzc 1 01010 m mm m zzczzcczfzz 1 0100 mm zzczzc 那末那末 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 1 d d lim 101 1 0 cmzfzz z m m m zz 10 Res czzf所以所以 含有正幂的项含有正幂的项 0 zz 1 1 cm d d lim 1 1 01 1 0 zfzz zm m m m zz d d 01 1 zfzz z m m m 两边求两边求1 m阶导数阶导数 证毕证毕 得得 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 规则3规则3 如果如果 0 0 0 000 zQzQzP 设设 zQ zP zf zP及及 zQ在在 0 z 都解析 都解析 证证0 0 00 zQzQ因为因为 0 z所以所以的一级零点的一级零点 为为 zQ 1 zQ 0 z 的一级极点的一级极点 为为 那末那末 0 z 为为 的一级极点的一级极点 zf Res 0 0 0 zQ zP zzf 且有 且有 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 解析且解析且 0 z 0 00 zzP 在在 因此因此 1 1 0 z zzzQ 其中在解析且其中在解析且 z 0 z 0 0 z 0 z所以所以为的一级极点为的一级极点 zf lim Res 00 0 zfzzzzf zz 0 0 lim 0 zz zQzQ zP zz 0 0 zQ zP 1 0 zzP zz zf 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 四 典型例题四 典型例题 例例1 求求 n z z e zf 在在 0 z的留数的留数 解解阶极点 的是因为阶极点 的是因为nzfz 0 0 Res n z z e 所以所以 1 1 n n z n n n z z e z zn 1 1 0d d lim 1 1 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 例例2 求求 6 sin z zz zQ zP zf 在 在 0 z的留数的留数 分析分析 0 0 0 0 PPP 0 0 P 0 z是是zzsin 的三级零点的三级零点 由规则由规则3得得 sin d d lim 13 1 0 Res 6 3 2 2 0 z zz z z zf z 的三级极点 是所以的三级极点 是所以 0zfz 计算较麻烦计算较麻烦 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求 1 c较方便较方便 5 3 1sin 53 66 zz zz zz zz 5 1 0 sin Res 16 c z zz 5 3 53 zz 解解 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 说明说明 0 z 如为如为 m 级极点 当级极点 当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时 可直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求 1 c来计算留数来计算留数 6 6 5 5 0 sin d d lim 16 1 0 Res z zz z z zf z 5 1 2 在应用规则在应用规则2时时 取得比实际的级数高取得比实际的级数高 级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便 6 m如上例取如上例取 1 在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则 为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m 但有时把但有时把m取得比实际的取得比实际的 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 例例3 求求 5 1 z e zf z 在 在0 z的留数的留数 解解0 z是是 zf的四级极点的四级极点 1 6 5 4 3 2 1 11 65432 55 zzzzz z zz ez 6 5 1 4 1 3 1 2 11 234 z zzzz 1 0 Res czf所以所以 24 1 4 1 在在 z0内将展成洛朗级数内将展成洛朗级数 zf 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 例例4 计算积分计算积分 d 1 2 z zz e C z C为正向圆周为正向圆周 2 z 解解 z zz e zzf z z d 1 lim 0 Res 2 0 1 lim 2 0 z e z z 2 2 1 1 1 d d lim 12 1 1 Res zz e z z zf z z 0 z为一级极点为一级极点 1 z为二级极点为二级极点 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 z e z z z d d lim 1 2 1 1 lim z ze z z 0 z zz e C z d 1 2 所以 所以 01 2 i 1 Res 0 Res 2zfzfi 2 i 留 数留 数 留 数留 数留 数留 数留 数留 数 例例5 计算积分计算积分 C z z z d 1 4 C为正向圆周为正向圆周 2 z 解 被积函数 解 被积函数 1 4 z z 有四个一级极点有四个一级极点i 1都都 在圆周在圆周2 z的内部的内部 所以所以 C z z z d 1 4 1 Res 1 Res 2 zfzfi Res Res izfizf 由规则由规则3 4 1 4 23 zz z z