2011高三数学核心知识总结(导数).doc

20102011高三总复习-核心知识总结 天道酬勤高三数学核心知识总结第四部分 导数与函数一：1、熟练基本求导公式，正确求导、明确概念； (1) 几个常用的特例:, , , （2） 导数的四则运算:对结构的熟悉可以灵活逆用公式来构造函数解决问题。（3） 复合函数的求导法则:（一定注意一次函数的系数与符号、求导彻底！）2、各种类型的求导：强调求导三步曲：定义域、求导（彻底、正确）、因式分解3、明确相关概念以及书写： 极大值、极小值，最大值，最小值极值、极值点: 极值点、零点4、熟练导数的基本应用（单调性、极值、最值），书写规范；（1）切线问题 （2）单调性问题（3）极值与最值 （4）证明不等式（5）恒成立 （6）公共点个数等5、会含参一次、二次不等式的讨论；（1）注意函数的定义域； （2）注意讨论的顺序；（3）别忘了取等的情况； （4）数形结合；6、会常见的求参数范围的问题与解决方法，熟练恒成立问题的解决方法。二、求导练习，（同时写出函数的单调区间）第一组：(1)/对于高次函数求导，不建议展开后求导，直接求导方便因式分解！(2) /(3) /第二组：(1) f(x)=x2 ax + (a1), /(2), 其中 /(3) /(4)/(5)/(6) / (7) /(8) /第三组：(1) /(2)/ = (3) / (4) /三、典型例题分析1（08北京）已知函数，求导函数，并确定的单调区间解：令，得当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减2（09北京）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）, 曲线在点处的切线方程为.（）由，得， 若，则当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.3.（10年北京）已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。解：（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是4.（2010海淀一模18）已知函数其中a为常数，且.（）当时，求在（e=2.718 28）上的值域；（）若对任意恒成立,求实数a的取值范围.18.（本小题满分13分）解：（）当时， 得 2分 令，即，解得，所以函数在上为增函数， 据此，函数在上为增函数，4分 而，所以函数在上的值域为 6分（）由令，得即 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增；7分 若，即，易得函数在上为增函数，此时，要使对恒成立，只需即可，所以有，即而，即，所以此时无解.8分若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，要使对恒成立，只需，即，由和得.10分 若，即，易得函数在上为减函数，此时，要使对恒成立，只需即可，所以有，即，又因为，所以.12分 综合上述，实数a的取值范围是.13分5.（ 09辽宁）( 21 ) （本小题满分 12 分）已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对于任意有。( 21 )解：（1）的定义域为，-2分（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。（ii）若，而，故，则当时，；当及时，。故在上单调减少，在，上单调增加。（iii）若，即， 同理可得在上单调减少，在，上单调增加。 -6分（2）考虑函数，则，由于，故，即在上单调增加，从而当时，有，即，故；当时，有。-12分6. （09陕西）20（本小题满分12分）已知函数，其中若在x=1处取得极值，求a的值；求的单调区间；（）若的最小值为1，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 09陕西20. 解（）在x=1处取得极值，解得（） 当时，在区间的单调增区间为当时，由（）当时，由（）知，当时，由（）知，在处取得最小值综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是7.（ 08四川卷22）（本小题满分14分）已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。【解】：（）因为 所以， 因此（）由（）知， 当时，当时，所以的单调增区间是的单调减区间是（）由（）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因此 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当因此，的取值范围为。8. 学探诊：判断函数是否存在最小值，若存在求出来，若不存在说明理由。解： 存在最小值。9. 已知函数 （1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围。（2）若函数，若在1，e上至少存在一个x的值使成立，求实数p的取值范围。10. （13（本小题满分13分）已知函数f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数，在（-，2）上为减函数.（I）求f(x)的表达式；（II）若当x1, e1时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的值；（III）是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间0，2上恰好有两个相异的实根.若存在，求实数b的取值范围.13解 (I)=2(1+x)-=2依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-,2)上为减函数.x=-2时，f(x)有极小值， =0.代入方程解得a=1, 故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.(II)由于=2(1+x)-,令=0,得x1=0,x2=-2.（由于x1，e1，故x2=-2舍去），易证函数在1，0上单调递减，在0，e-1上单调递增，且f（1）=+2,f(e-1)=e2-2+2,故当x1,e1时，f(x)max=e22,因此若使原不等式恒成立只需me2-2即可.（III）若存在实数b使得条件成立，方程f(x)=x2+x+b即为x-b+1-ln(1+x)2=0,令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2, 则=1-,令0,得x1或x1,令0,得1x1,故g(x)在0，1上单调递减，在1，2上单调递增，要使方程f(x)=x2+x+b在区间0，2上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间0，1和1，2上各有一个实根，于是有故存在这样的实数b,当2-2ln2b3-2ln3时满足条件.11.（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-，-2. 12分12.（2010江西理数）19. （本小题满分12分）设函数。（1）当a=1时，求的单调区间。（2）若在上的最大值为，求a的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解：对函数求导得：，定义域为（0，2）（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当a=1时，令当为增区间；当为减函数。（2） 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。当有最大值，则必不为减函数，且0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。14.（2010重庆理数）（18）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）已知函数其中实数。（I） 若a=-2，求曲线在点处的切线方程；（II） 若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。15.（2010天津文数）（20）（本小题满分12分）已知函数f（x）=，其中a0. （）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.（）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）解：f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：（1） 若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-f(x)极大值 当等价于 解不等式组得-5a2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）0等价于即解不等式组得或.因此2a5. 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a5.16.（2010全国卷1理数）(20)(本小题满分12分) 已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .17.（2010湖南理数）20.（本小题满分13分）已知函数对任意的，恒有。（）证明：当时，；（）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。解析：18.（2010安徽理数）17、（本小题满分12分） 设为实数，函数。 ()求的单调区间与极值；()求证：当且时，。19.（2010山东理数）(22)(本小题满分14分)已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。20.（2010湖北理数）17（本小题满分12分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。高三数学核心知识总结第四部分 导数与函数1. 对于R上可导的任意函数f(x), 若满足 , 则必有( C ) A. f(0) + f(2) 2f(1)2. (07海南)曲线在点(4, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D ) A. B. C. D. 3. (福建09) 若曲线存在垂直于y的切线, 则实数a取值范围是_. 4. (全国I.09) 已知直线y = x+1与曲线相切,则a的值为( B ) A. 1 B. 2 C. -1 D. -25. (2007年浙江卷理8) 设是函数的导函数, 将和的图象画在同一个直角坐标系中, 不可能正确的是( )/D yxO yxO y xO yxOABCD6.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是( A )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D7. 已知函数f(x)的导函数为,且满足f(x)=3x2+2x,则= .8.（2010全国卷2理数）（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 （A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.【解析】，切线方程是，令，令，三角形的面积是，解得.故选A.9.（2010辽宁理数）（10）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ( ) (A)0,) (B) （C） (D) 解析：选D.，即，10.（2010辽宁文数）（10）设，且，则 ( )（A） （B）10 （C）20 （D）100解析：选A.又11.（2010重庆理数）(5) 函数的图象 ( )A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称解析： 是偶函数，图像关于y轴对称12.（2010北京文数）若a,b是非零向量，且，则函数是 ( ) （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数答案：A13.（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是 ( )（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方