高考数学一轮复习 第六章 第5课时数学归纳法课时作业 理 新人教版.doc

第5课时数学归纳法考纲索引1. 数学归纳法的概率及原理.2. 数学归纳法的应用.课标要求1. 了解数学归纳法的原理.2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理1. 数学归纳法是证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立.(2)(归纳递推)假设n=k(kk0,kn*)时命题成立,证明当时命题也成立.2. 应用数学归纳法时特别注意:(1)数学归纳法证明的对象是与有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.基础自测1. 用数学归纳法证明3nn3(nn,n3),第一步应验证().a. n=1b. n=2 c. n=3d. n=42. 用数学归纳法证明1+2+22+2n+1=2n+2-1(nn*)的过程中,在验证n=1时,左端计算所得的项为().a. 1b. 1+2 c. 1+2+22d. 1+2+22+23指 点 迷 津【想一想】对于数学归纳法证明中的两个基本步骤,你是如何理解的?【答案】第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法,第二步的关键是“一凑假设,二凑结论.”考点透析考向一用数学归纳法证明恒等式【方法总结】用数学归纳法证题的关键是第二步由n=k到n=k+1的过渡,要设法将待证式与归纳假设建立联系,即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形,把n=k+1时的表达式拼凑出归纳假设的形式,再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.变式训练考向二用数学归纳法证明不等式例2设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,nn*.(1)当n=1,2,3,4时,试比较f(n)与g(n)的大小;(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.【方法总结】用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法,即在归纳假设的基础上,通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式,事实上,在合理运用归纳假设后,可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立.变式训练考向三用数学归纳法证明几何问题【方法总结】用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析;事实上,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧.变式训练3. 平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,则这n个圆将平面分成不同的区域的个数为().a. 2nb. 2nc. n2-n+2d. n2+n+1考向四用数学归纳法证明整除性问题例4已知n为正整数,az,用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.【方法总结】用数学归纳法证明整除问题,p(k)p(k+1)的整式变形是个难点,找出它们之间的差异,然后将p(k+1)进行分拆、配凑成p(k)的形式,也可运用结论:“p(k)能被p整除且p(k+1)-p(k)能被p整除p(k+1)能被p整除.”变式训练4. 用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除,其中n为正整数.考向五归纳一猜想一证明例5设数列an满足an+1=-nan+1,n=1,2,3,.(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式;(2)当a13时,证明:对所有的n1,有ann+2.【方法总结】“归纳猜想证明的模式”,是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式,这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用,它的证题模式是先由归纳推理发现结论,然后用数学归纳法证明结论的正确性,这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式.变式训练经典考题真题体验1. (2014广东)设数列an的前n项和为sn,满足sn=2nan+1-3n2-4n,nn*,且s3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列an的通项公式.2. (2014陕西)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nn+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设nn+,比较g(1)+g(2)+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.参考答案与解析知识梳理1. (1)第一个值n0(n0n*)(2)n=k+12. (1)正整数基础自测考点透析 【例4】(1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除.(2)假设当n=k(kn*)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,那么当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1+ak+2-ak+1(a+1)2=(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除.即当n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)可知,对于任意nn*,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.【例5】(1)由a1=2,得a2=-a1+1=3,由a2=3,得a3=-2a2+1=4,由a3=4,得a4=-3a3+1=5,由此猜想an的一个通项公式:an=n+1(n1).(2)用数学归纳法证明:当n=1时,a13=1+2,不等式成立.假设当n=k时不等式成立.即akk+2,那么,ak+1=ak(ak-k)+1(k+2)(k+2-k)+1k+3,也就是说,当n=k+1时,ak+1(k+1)+2.根据,对于所有n1,都有ann+2.变式训练 3. c解析:n=2,分成4部分,排除d;n=3,分成8部分,排除a;n=4,分成14部分,排除b,故选c.4. (1)当n=1时,421+1+31+2=91能被13整除.(2)假设当n=k(kn*)时,42k+1+3k+2能被13整除.则当n=k+1时,42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-