高考数学一轮复习 必考部分 第八篇 平面解析几何 第4节 椭 圆应用能力提升 文 北师大版.doc

第4节椭圆【选题明细表】 知识点、方法题号椭圆的定义1,6,8,9,11椭圆的标准方程2,4,7椭圆的几何性质3,4,8,12,13直线与椭圆的位置关系5,10,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.设p是椭圆x225+y216=1上的点,若f1,f2是椭圆的两个焦点,则|pf1|+|pf2|等于(d)(a)4(b)5(c)8(d)10解析:由方程知a=5,根据椭圆定义,|pf1|+|pf2|=2a=10.故选d.2.椭圆x2m+y24=1的焦距是2,则m的值是(c)(a)15(b)3或8(c)3或5(d)20解析:由2c=2得c=1,当焦点在x轴上时,a2=m,b2=4,此时有m-4=1,解得m=5.当焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,此时有4-m=1,解得m=3.综上,m=5或3.3.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是a,b,左、右焦点分别是f1,f2,若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,则此椭圆的离心率为(b)(a)14(b)55(c)12(d)5-2解析:因为a,b分别为左、右顶点,f1,f2分别为左、右焦点,所以|af1|=a-c,|f1f2|=2c,|bf1|=a+c,又由|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e=55.4.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为3,则这个椭圆的方程为(c)(a)x212+y29=1(b)x29+y212=1(c)x212+y29=1或y212+x29=1(d)以上都不对解析:由题意知a-c=3,a=2c,解得a=23,c=3,则b2=a2-c2=9,当焦点在x轴上时,椭圆方程为x212+y29=1;当焦点在y轴上时,椭圆方程为y212+x29=1.5.直线y=k(x-2)+1与椭圆x216+y29=1的位置关系是(b)(a)相离(b)相交(c)相切(d)无法判断解析:直线y=k(x-2)+1过定点p(2,1),将p(2,1)代入椭圆方程,得416+195,解得a2=15.故所求椭圆的方程为x215+y210=1.答案:x215+y210=18.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.解析:由题意可得a+c=3,a-c=1,解得a=2,c=1故b2=a2-c2=3.所以椭圆方程为x24+y23=1.答案:x24+y23=19.已知f1,f2是椭圆x2100+y264=1的两个焦点,p在椭圆上.(1)若|pf1|=8,求|pf2|;(2)若f1pf2=3,求f1pf2的面积.解:(1)由椭圆方程知a=10,由椭圆定义得|pf1|+|pf2|=2a=20.所以|pf2|=20-|pf1|=20-8=12.(2)由a=10,b=8,c=6.设|pf1|=m,|pf2|=n.由椭圆定义得m+n=20.又|f1f2|=2c=12.在f1pf2中,由余弦定理得,|f1f2|2=m2+n2-2mncosf1pf2=(m+n)2-2mn（1+cos3）即122=202-2mn32,解得mn=2563,所以sf1pf2=12mnsinf1pf2=12256332=6433.10.(2015高考安徽卷)设椭圆e的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点o为坐标原点,点a的坐标为(a,0),点b的坐标为(0,b),点m在线段ab上,满足|bm|=2|ma|,直线om的斜率为510.(1)求e的离心率e;(2)设点c的坐标为(0,-b),n为线段ac的中点,证明:mnab.(1)解:由题设条件知,点m的坐标为（23a,13b）,又kom=510,从而b2a=510.进而得a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.(2)证明:由n是线段ac的中点知,点n的坐标为（a2,-b2）,可得nm=（a6,5b6）.又ab=(-a,b),从而有abnm=-16a2+56b2=16(5b2-a2).由(1)可知a2=5b2,所以abnm=0,故mnab.能力提升练(时间:15分钟)11.在平面直角坐标系中,已知abc的顶点a(0,-2)和c(0,2),顶点b在椭圆y212+x28=1上,则sina+sincsinb的值是(a)(a)3 (b)2 (c)23 (d)4解析:由方程得a=23,b=22,c=a2-b2=2.由椭圆定义得|ba|+|bc|=43.由正弦定理得sina+sincsinb=|bc|+|ba|ac|=2a2c=434=3.12.若点o和点f分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点p为椭圆上的任意一点,则opfp的最大值为(c)(a)2(b)3(c)6(d)8解析:由题意得f(-1,0),设点p(x0,y0),则y02=31-x024(-2x02),opfp=x0(x0+1)+y02=x02+x0+y02=x02+x0+31-x024=14(x0+2)2+2,当x0=2时,opfp取得最大值为6.13.如图所示,把椭圆x225+y216=1的长轴ab分成8等份;过每个分点作x轴的垂线,交椭圆的上半部分于p1、p2、p7七个点,f1是椭圆的一个焦点,则|p1f1|+|p2f1|+|p7f1|=.解析:由椭圆的对称性知:|p1f1|=|p7f2|,|p2f1|=|p6f2|,|p3f1|=|p5f2|,且|p4f1|=5,所以|p1f1|+|p2f1|+|p3f1|+|p7f1|=(|p7f2|+|p7f1|)+(|p6f2|+|p6f1|)+(|p5f2|+|p5f1|)+|p4f1|=35.答案:3514.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为f,离心率为33,过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的标准方程;(2)设a、b分别为椭圆的左右顶点,过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c,d两点,若acdb+adcb=8,求k的值.解:(1)根据椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0).因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433,所以2b2a=433,因为离心率为33,所以ca=33,解得b=2,c=1,a=3.所以椭圆的方程为x23+y22=1.(2)直线cd:y=k(x+1),设c(x1,y1),d(x2,y2),由y=k(x+1),x23+y22=1,消去y得,(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,所以x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2,又a(-3,0),b(3,0),所以acdb+adcb=(x1+3,y1)(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)(3-x1,-y1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2=8,解得k=2.15.(2015高考陕西卷)如图,椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0),经过点a(0,-1),且离心率为22.(1)求椭圆e的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆e交于不同的两点p,q(均异于点a),证明:直线ap与aq的斜率之和为2.(1)解:由题设知ca=22,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=2.所以椭圆e的方程为x22+y2=1.(2)证明:由题设知,直线pq的方程为y=k(x-1)+1(k2),代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知0.设p(x1,y1),q(x2,y2),x1x20,则x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1x2=2k(k-2)1+2k2.从而直线ap,aq的斜率之和kap+kaq=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+(2-k)（1x1+1x2）=2k+(2-k)x1+x2x1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2.精彩5分钟1.(2015甘肃兰州第二次监测)已知椭圆c的中点为o,两焦点为f1,f2,m为椭圆c上的一点,且满足|mf1|=2|mo|=2|mf2|,则椭圆c的离心率e等于(d)(a)255(b)23(c)33(d)63解题关键:关键设出|mf1|,|mo|,|mf2|列出方程表示a,c.解析:过m向椭圆的长轴作垂线,垂足为n,则n为of2的中点,设|mf2|=t,则有|mf1|2-|f1n|2=|mf2|2-|f2n|2,即4t2-94c2=t2-14c2,所以c=62t,而a=32t,所以e=63.2.(2015高考福建卷)已知椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为f,短轴的一个端点为m,直线l:3x-4y=0交椭圆e于a,b两点.若|af|+|bf|=4,点m到直线l的距离不小于45,则椭圆e的离心率的取值范围是(a)(a)0,32(b)0,34(c)32,1(d)34,1解题关键:关键根据椭圆定义求出a的值,再列出不等式求出e的范围.解析:设椭圆的左焦点为f1,半焦距为c,连接af1,bf1,则四边形af1bf为平行四边形,所以|af1|+|bf1|=|af|+|bf|=4.根据椭圆定义,有|af1|+|af|+|bf1|+|bf|=4a,所以8=4a,解得a=2.因为点m到直线l:3x-4y=0的距离不小于45,即4b545,b1,所以b21,所以a2-c21,4-c21,解得0c3,所以0b0)的右焦点f(c,0)关于直线y=bcx的对称点q在