高考数学一轮复习 选考部分 第十二篇 几何证明选讲 第2节 圆与直线 圆与四边形应用能力提升 文 北师大版.doc

第2节圆与直线、圆与四边形【选题明细表】 知识点、方法题号圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题1圆内接四边形的判定和性质2四点共圆3圆的综合问题41. (2016大同调研)如图,ab是o的直径,ac是弦,bac的平分线ad交o于d,deac交ac延长线于点e,oe交ad于点f.(1)求证:de是o的切线;(2)若acab=35,求afdf的值.(1)证明:连接od,因为oa=od,所以oda=oad,因为bac的平分线是ad,所以oad=dac,所以dac=oda,可得odae.又因为deae,所以deod,因为od是o的半径,所以de是o的切线.(2) 解:连接bc,db,过d作dhab于h,因为ab是o的直径,所以acb=90,rtabc中,coscab=acab=35.因为odae,所以doh=cab,所以cosdoh=coscab=35.因为rthod中,cosdoh=ohod,所以ohod=35,设od=5x,则ab=10x,oh=3x,所以rthod中,dh=od2-oh2=4x,ah=ao+oh=8x,rthad中,ad2=ah2+dh2=80x2,因为bad=dae,aed=adb=90.所以adeabd,可得adae=abad,所以ad2=aeab=ae10x,而ad2=80x2,所以ae=8x,又因为odae,所以aefdof,可得afdf=aedo=85.2. (2016银川市模拟)如图,已知四边形abcd内接于圆o,且ab是圆o的直径,过点d的圆o的切线与ba的延长线交于点m.(1)若md=6,mb=12,求ab的长;(2)若am=ad,求dcb的大小.解: (1)因为md为圆o的切线,所以由切割线定理知md2=mamb,又md=6,mb=12,mb=ma+ab,所以ma=3,ab=12-3=9.(2)因为am=ad,所以amd=adm,连接db,又md为圆o的切线,所以由弦切角定理知adm=abd,又因为ab是圆o的直径,所以adb为直角,即bad=90-abd.又bad=amd+adm=2abd,于是90-abd=2abd,所以abd=30,所以bad=60.又四边形abcd是圆内接四边形,所以bad+dcb=180,所以dcb=120.3. 如图,d,e分别为abc的边ab,ac上的点,且不与abc的顶点重合.已知ae的长为m,ac的长为n,ad,ab的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:c,b,d,e四点共圆;(2)若a=90,且m=4,n=6,求c,b,d,e所在圆的半径.(1)证明:连接de,根据题意在ade和acb中,adab=mn=aeac,即adac=aeab.又dae=cab,从而adeacb,因此ade=acb,所以acb+edb=180,所以c,b,d,e四点共圆.(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故ad=2,ab=12.取ce的中点g,db的中点f,分别过g,f作ac,ab的垂线,两垂线相交于h点,连接dh.因为c,b,d,e四点共圆,所以c,b,d,e四点所在圆的圆心为h,半径为dh.由于a=90,故ghab,hfac,从而hf=ag=5,df=12(12-2)=5,故c,b,d,e四点所在圆的半径为52.4.(2015高考新课标全国卷) 如图,o为等腰三角形abc内一点,o与abc的底边bc交于m,n两点,与底边上的高ad交于点g,且与ab,ac分别相切于e,f两点.(1)证明:efbc;(2)若ag等于o的半径,且ae=mn=23,求四边形ebcf的面积.(1)证明:由于abc是等腰三角形,adbc,所以ad是cab的平分线.又因为o分别与ab,ac相切于点e,f,所以ae=af,故adef.从而efbc.(2)解:由(1)知ae=af,adef,故ad是ef的垂直平分线.又ef为o的弦,所以o在ad上.连接oe,om,则oeae.由ag等于o的半径得ao=2oe,所以oae=30.因此abc和aef都是等边三角形.因为ae=23,所以ao=