高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练50 抛物线 文 北师大版.doc

计时双基练五十抛物线a组基础必做1(2016淮北模拟)两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且ab，则抛物线y2x的焦点坐标为()a. b.c. d.解析由两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且ab可得解得抛物线的方程为y2x，故焦点坐标为。答案c2(2015辽宁五校联考)已知ab是抛物线y22x的一条焦点弦，|ab|4，则ab中点c的横坐标是()a2 b.c. d.解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2p4，又p1，所以x1x23，所以点c的横坐标是。答案c3.(2015浙江卷)如图，抛物线y24x的焦点为f，不经过焦点的直线上有三个不同的点a，b，c，其中点a，b在抛物线上，点c在y轴上，则bcf与acf的面积之比是()a. b.c. d.解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由抛物线定义，得|af|x11，|bf|x21，则，故选a。答案a4设m(x0，y0)为抛物线c：x28y上一点，f为抛物线c的焦点，以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是()a(0,2) b0,2c(2，) d2，)解析抛物线的准线方程为y2，焦点f的坐标为(0,2)。以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，|fm|4。据抛物线的定义知：|fm|2y0，2y04，y02。答案c5已知抛物线c：y28x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c的一个交点，若4，则|qf|()a. b.c3 d2解析过点q作qql交l于点q，因为4，所以|pq|pf|34，又焦点f到准线l的距离为4，所以|qf|qq|3。故选c。答案c6已知点a(2,3)在抛物线c：y22px(p0)的准线上，过点a的直线与c在第一象限相切于点b，记c的焦点为f，则直线bf的斜率为()a. b.c. d.解析由题意可知准线方程x2，p4，抛物线方程为y28x。由已知易得过点a与抛物线y28x相切的直线斜率存在，设为k，且k0，则可得切线方程为y3k(x2)。联立方程消去x得ky28y2416k0。(*)由相切得644k(2416k)0，解得k或k2(舍去)，代入(*)解得y8，把y8代入y28x，得x8，即切点b的坐标为(8,8)，又焦点f为(2,0)，故直线bf的斜率为。答案d7(2016厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点_。解析因为动圆的圆心在抛物线y24x上，且x1是抛物线y24x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)。答案(1,0)8(2016郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为8，则a的值为_。解析依题意，有f，直线l为yx，所以a0，oaf的面积为8。解得a16，依题意，只能取a16。答案169(2015陕西质检)已知点m(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为f，点q是该抛物线上的一动点，则|mq|qf|的最小值是_。解析抛物线的准线方程为x，当mqx轴时，|mq|qf|取得最小值，此时点q的纵坐标y2，代入抛物线方程y22x得q的横坐标x2，则|qm|qf|23|。答案10.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p(1,2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)均在抛物线上。(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线ab的斜率。解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)。点p(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2。故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1。(2)设直线pa的斜率为kpa，直线pb的斜率为kpb，则kpa(x11)，kpb(x21)，pa与pb的斜率存在且倾斜角互补，kpakpb，由a(x1，y1)，b(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)。y1y24。由得，yy4(x1x2)，kab1(x1x2)。11(2015浙江卷)如图，已知抛物线c1：yx2，圆c2：x2(y1)21，过点p(t,0)，(t0)作不过原点o的直线pa，pb分别与抛物线c1和圆c2相切，a，b为切点。(1)求点a，b的坐标；(2)求pab的面积。注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点。解(1)由题意知直线pa的斜率存在，故可设直线pa的方程为yk(xt)，由消去y，整理得：x24kx4kt0，由于直线pa与抛物线相切，得kt。因此，点a的坐标为(2t，t2)。设圆c2的圆心为d(0,1)，点b的坐标为(x0，y0)，由题意知：点b，o关于直线pd对称，故解得因此，点b的坐标为。(2)由(1)知|ap|t和直线pa的方程txyt20。点b到直线pa的距离是d。设pab的面积为s(t)，所以s(t)|ap|d。b组培优演练1已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是_米。解析建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为a，由题意可知a(4，2)，故可求得抛物线的方程为yx2，水面上升后交点为b，则点b的纵坐标为，代入抛物线方程yx2可求出点b的横坐标为2，所以水面宽为4米。答案42已知抛物线y24x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足。如果直线af的倾斜角为120，那么|pf|_。解析抛物线的焦点坐标为f(1,0)，准线方程为x1。因为直线af的倾斜角为120，所以tan120，所以ya2。因为pal，所以ypya2，代入y24x，得xa3，所以|pf|pa|3(1)4。答案43已知一条过点p(2,1)的直线与抛物线y22x交于a，b两点，且p是弦ab的中点，则直线ab的方程为_。解析依题意，设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有y2x1，y2x2，两式相减得yy2(x1x2)，即1，直线ab的斜率为1，直线ab的方程是y1x2，即xy10。答案xy104(2015福建卷)已知点f为抛物线e：y22px(p0)的焦点，点a(2，m)在抛物线e上，且|af|3。(1)求抛物线e的方程；(2)已知点g(1,0)，延长af交抛物线e于点b，证明：以点f为圆心且与直线ga相切的圆，必与直线gb相切。解(1)由抛物线的定义，得|af|2。因为|af|3，即23，解得p2，所以抛物线e的方程为y24x。(2)证明：证法一：因为点a(2，m)在抛物线e：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设a(2，2)。由a(2,2)，f(1,0)可得直线af的方程为y2(x1)。由得2x25x20，解得x2或x，从而b。又g(1,0)，所以kga，kgb，所以kgakgb0，从而agfbgf，这表明点f到直线ga，gb的距离相等。故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切。证法二：设以点f为圆心且与直线ga相切的圆的半径为r。因为点a(2，m)在抛物线e：y24x上，所以m2，由抛物