类比法在初中数学教学中的应用.doc

类比法在初中数学教学中的应用松江区九亭中学 彭晓丹类比是根据两个事物之间的相似性，得出这两个事物的其他相似性质的一种推理方法。通过类比能找出新旧知识之间的相同点，利用已掌握的旧知识学习新知识。学生在学习数学的过程中有一个困惑，就是尽管做了大量的题目，但一旦考试遇到新题型或稍稍变换一下，就不知从何下手，原因是在平时的学习中，缺乏掌握数学思考方法。掌握一种新的思考方法要比学会解几道具体习题更为重要，这些解题方法和技巧是数学不可或缺的工具，数学方法的领悟在数学学习中起到事半功倍的效果，本文笔者就数学类比法在初中教学中的应用谈谈个人的观点。一、 类比相同点和不同点，加深知识的理解在数学教学中我们会发现许多知识点是相近或相反的，如果学生对知识点理解不透彻，那么就很容易出现知识点之间的混淆。如果在教学中能对相近或相反的内容进行类比，那么能使学生加深对概念、定理、公式、典型例题的理解和应用。如：在学习无限循环小数时，学生会错误的认为无限循环小数就是有规律的数。若从正面反复强调无限循环小数的概念，消除学生误解的效果不明显，如果巧妙的运用正反类比，举一反例：0.1212212221.是循环小数吗？则能很快澄清模糊概念。教材中有很多知识点可以进行类比异同，例如，分式有意义与无意义进行比较，分式的值为正数与值为负数进行比较，一元二次方程有实数根与无实数根进行比较，两圆的位置关系与圆心距和半径关系进行外离、外切、相交、内切、内含的比较等。二、 类比旧知，促进正迁移迁移是一种学习情境对另一种学习情境的影响。教师应充分利用学生认知心理的“正迁移”规律，引导学生把具有某些相同或相似结构的对象加以类比，应用已学过的旧知识，以旧引新。通过知识迁移，建立合理、实质性的联系，帮助解决教学中教材的难点。1、 运用类比方法引进新概念例如：在学习分式时，关键是用分数类比的方法导出分式的概念，分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零。把分数的概念引申到代数式来，分式由分子、分母与分数线构成，分母中含有字母，这就是分式，这样就很自然的引入了分式的概念，接着指出分数与分式的区别所在：分数与分式形式相同，但分式中的分子、分母均为整式，且分母是含有字母的整式。类比分数的基本性质，推想分式的基本性质。教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.图1类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）。如图1，在中，顶角A的正对记作，这时。容易知道，一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对定义，解答下列问题：（1）的值为（ ）A、 B、1C、D、2（2）对于，的正对值的取值范围是_（3）已知为锐角，试求的值.2、 运用类比方法引进新定理在几何教学中，相似三角形判定定理可类比全等三角形得到：全等三角形判定定理为：边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等而三角形相似的判定定理为：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，（两角对应相等，两三角形相似）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，（三边对应成比例，两三角形相似）判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似利用类比方法既可以复习已学知识又可以对新知识有进一步的认识，可谓一举两得。3、 运用类比方法理解概念“有比较才有鉴别”数学的各种知识要让学生在比较中去思考、去认识。数学的一些概念和规律，理论性强而且热别抽象，如果能把它与学生熟悉的事物比较，从中理解概念、掌握规律，学生就会对它产生极大兴趣。如关于“轴对称图形”和“轴对称”这两个概念学生很难理解，可让学生观察汽车标志，如奔驰、大众、桑塔纳，商标如工行、农行等，看到它们共同的性质：沿某条直线翻折，左右两边能够完全重合，这样就容易理解轴对称概念。同样让学生观察天上的月亮与水中的月亮，每个人的两只手，中国民间的窗纸、剪纸，发现：一个图形沿着某条直线翻折，与另一个图形完全重合，得到“两个图形成轴对称”。反过来如果把一个图形直线两旁部分看成两个图形，那么它们成轴对称，把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就成了轴对称图形，这样就使学生对这两个比较难懂的概念易于掌握。三、 类比解题方法，实现知识融合有些数学问题的解决方法不是唯一的，既考虑用不同知识去解决，又要打破代数、几何间的界限，因此类比不同的解题方法不仅有利于学生加深理解各部分知识间的联系，掌握各部分知识之间的相互转化，而且是实现知识融合和贯通的有效途径和方法。例如:求一次函数y=3x-1,y=-3x+5的交点坐标，可以利用图像法解，也可以利用方程组的解得出。通过学生的实践和对两种不同解题方法的类比，学生体会到了数与形内在的联系。中考的数学题也考查了类比的数学思想如：25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）（上海2009年中考）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图2所示）（1）当，且点与点重合时（如图3所示），求线段的长；（2）在图2中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；ADPCBQ图2DAPCB（Q）图3图4CADPBQ（3）当，且点在线段的延长线上时（如图4所示），求的大小 解：（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，PBC=PDA，因为A=90。 PQ/PC=AD/AB=1,所以：PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,PADCBQ图5（2）如图5：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H，h，则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2S2=3*h/2 因为两S1/S2=y，消去H,h,得：Y=-(1/4)*x+(1/2), 定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABDQD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：直角三角形AQD中：(3/2)2+(2-x)2=(3t)2直角三角形QBC中：32+x2=(5t)2整理得：64x2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)2(舍去) 所以函数:Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为0，7/8(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ垂直于PC，与AB交于Q点，则：B，Q，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q与点Q重合，所以角