08年湖南省湘潭市高三数学教学研讨会湘潭县一中示范课.ppt

与三角函数有关的最值问题 湘潭县第一中学李小清1968lixiaoqing 2020年3月1日星期日 最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一 需要综合运用三角函数概念 图象 性质以及诱导公式 同角三角函数基本关系式 三角变换等 求与三角函数有关的最值 除了考虑三角函数的性质外 主要还是根据求函数最值的方法 自主探索 2 函数在区间上的最小值为 1 函数在区间的最小值为 1 函数在区间的最小值为 1 2 函数在区间上的最小值为 a 法二 部分分式法 法一 有界性法 法三 而点 sinx 3sinx 在线段y 3x 1 x 1 上 法三 数形结合法 法一 有界性法 法二 点 cosx sinx 在圆x2 y2 1上 数形结合法 变式2 有界性法 法二 点 cos sin 在圆x2 y2 1的一段弧上 设切线pa方程为y kx 2 代入x2 y2 1 得 1 k2 x2 4kx 3 0 得 1 k2 x2 4kx 3 0 变式2 数形结合法 法三 变式2 导数法 2008江苏卷17题改编 某地有三家工厂 分别位于矩形abcd的顶点a b及cd的中点p处 已知ab 20km cb 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形abcd的区域上 含边界 且与a b等距离的一点o处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道ao bo op 设排污管道的总长为ykm 设bao rad 1 将y表示成 的函数关系式 2 确定污水处理厂的位置 使三条排污管道总长度最短 综合应用 2008江苏卷17题改编 某地有三家工厂 分别位于矩形abcd的顶点a b及cd的中点p处 已知ab 20km cb 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形abcd的区域上 含边界 且与a b等距离的一点o处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道ao bo op 设排污管道的总长为km 设bao rad 1 将y表示成 的函数关系式 2 确定污水处理厂的位置 使三条排污管道总长度最短 分析 1 由条件知pq垂直平分ab 若 bao rad 问题转化为前面的变式2 这时点p位于线段ab的中垂线上 且距离ab边km处 求与三角函数有关的最值问题的方法 方法归纳 已知向量 向量则的最大值 最小值分别是 巩固练习 2 求函数y sin2x asinx 3的最值 已知向量 向量则的最大值 最小值分别是 d 巩固练习 有界性法 数形结合法 2 求函数y sin2x asinx 3的最值 巩固练习 2 求函数y sin2x asinx 3的最值 巩固练习 2 求函数y sin2x asinx 3的最值 巩固练习 2 求函数y sin2x asinx 3的最值 巩固练习 当即a 2时 函数在 1 1 上是增函数 2 求函数y sin2x asinx 3的最值 巩固练习 2 求函数y sin2x asinx 3的最值 当即0 a 2时 y的最小值为f 巩固练习 当即 2 a 0时 y的最小值为f 2 求函数y sin2x asinx 3的最值 巩固练习 当即a 2时 函数在 1 1 上是增函数 2 求函数y sin2x asinx 3的最值 巩固练习 综上 当a 2时 y的最小值 为4 a 最大值为 4 a 当0 a 2时 y的最小值为 最大值为 4 a 当 2 a 0时 y的最