近独立粒子的最概然分布.ppt

第七章近独立粒子的最概然分布 7 1粒子运动状态的经典描述 宏观物体是由大量微观粒子构成的 并且这些微观粒子不停地进行着无规则的运动 研究方法 1 热力学方法 2 统计物理学方法 统计物理是研究热运动的微观理论 它认为宏观物理系统是由大量微观粒子组成的 物质的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现 宏观物理量是相应微观量的统计平均值 微观量 微观状态 我们先看看如何描述粒子的运动状态 根据它遵从的是经典的还是量子的力学运动规律 分为经典描述和量子描述 运动状态是指粒子的力学运动状态 注 原则上说微观粒子是遵从量子力学的运动规律的 经典理论在一定的极限条件下仍具有意义 量子力学情形 经典力学情形 7 1 1经典描述 设粒子的自由度为r 粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q1 q2 qr和相应的r个广义动量p1 p2 pr在该时刻的数值确定 粒子能量 是其广义坐标和广义动量的函数 即 q1 q2 qr p1 p2 pr 更一般 qi pi i i 1 2 r 为非参量 如果存在外场 还是描述外场参量的函数 在分析力学中 一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成h函数 即 h qi pi i 1 2 r 运动方程为 i 1 2 r 当某一初使时刻t0给定了qi pi的初值qi0 pi0之后 由正则运动方程可确定在任何相继时刻t qi pi的数值 因而这个力学系统的运动状态就完全确定了 所以一组qi pi数值把每个粒子的运动状态都完全确定了 这就是微观运动状态 而使用粒子的坐标和动量的方法叫做微观描述法 也可以借助几何表示法讨论力学体系运动状态 用q1 q2 qr p1 p2 pr为直角坐标构成一个2r维空间 这个空间称为相空间 即 空间 相空间任何一点代表力学体系一个运动状态 这个点称为代表点 当粒子运动状态随时间改变时 代表点相应地在 空间中移动 描画出一条轨迹称为相迹 7 1 2具体实例 1 自由粒子 1 一维空间中运动 不受力的作用而作自由运动的粒子 当不存在外场时 理想气体的分子或金属的自由电子都可看作自由粒子 自由度r 1 确定粒子在任一时刻的位置的坐标 x 动量 能量 相空间 2r维 能量为的粒子的相迹十一条直线 三维空间中运动 动量 能量 2 线性谐振子 质量为m的粒子在弹性力f kx作用下 将在原点附近作简谐振动 称为线性谐振子 振动的圆频率为 k m 1 2 取决于弹性力系数k和粒子的质量m 在一定条件下 分子内原子的振动 晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可看作简谐振动 自由度r 1 坐标x 共轭动量 相空间2维 能量是其动能和势能之和 如果给定振子的能量 对应点的相迹就由如下方程确定 即为椭圆方程 对于遵从经典力学规律的谐振子 振子的能量原则上可取任何正值 能量不同 椭圆就不同 7 2粒子运动状态的量子描述 量子描述 德布罗意假说 一切微观粒子都具有波粒二象性 p k 德布罗意关系 能量为 和动量为p的自由粒子联系着圆频率为 和波矢为k的平面波 称为德布罗意波 适用于一切微观粒子 普朗克常数是物理中的基本常数 h 2 h 6 626 10 34j s 1 055 10 34j s 普朗克常数 普朗克常数也称为基本的作用量子 这个作用量子成为判别采用经典描述或量子描述的判据 当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与普朗克常数相比拟的数值时 这个物质系统就是量子系统 如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时 这个系统就可以用经典力学来研究 在量子力学中 微观粒子的运动状态称为量子态 量子态由一组量子数表征 量子数的数目 粒子的自由度数 微观粒子的运动不是轨道运动 微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标 粒子坐标的不确定值 q和粒子动量不确定值 p的乘积满足 q p h 测不准关系 说明 量子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量 因此这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动 微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的 而是用波函数或量子数来描述的 经典力学的理论中 粒子可以同时具有确定的坐标和动量 原则上不允许对这种精确度有任何限制 应理解为在经典范围内 波动量很小 以致于探测不到 因此认为物质有确定的坐标和动量 这并不与测不准关系发生矛盾 7 2 1具体实例 1 自旋状态 考虑一个粒子 质量为m 电荷为 e 具有自旋角动量1 2 粒子的自旋磁矩 与自旋角量子数s之比为 如果加上沿z方向的外磁场 磁感应强度为b 则粒子自旋角动量在外磁场方向的投影sz有两个可能值 即sz 2 自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为 z e 2m 粒子在外磁场中的势能为 将sz表示为sz ms 描述粒子的自旋状态只要一个量子数ms 只能取两个分立的值 1 2 2 线性谐振子 振动的圆频率为 的线性谐振子 能量的可能值为 n 0 1 2 线性谐振子的能级是等间距的 相邻两能级的能量差为 其大小取决于振子的圆频率 其中 n 表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数 上式给出的能量值是分立的 分立的能量称为能级 空间中一个自由运动的粒子 假设此粒子限制在一个边长为l的方盒子中运动 在量子力学中粒子的运动满足薛定谔方程 7 2 2自由粒子 根据周期性边界条件 粒子可能的运动状态 德布罗意波长 的整数倍等于容器的长度 nx 0 1 2 nx 0 1 2 nx 0 1 2 n 0 1 2 nx ny nz表征三维自由粒子运动状态的量子数 其中 nx 0 1 2 同理 以上的式子表示 动量只能取分立的值 总能量 能量是分立的 经典粒子的动量和能量是连续的 而在量子情形中 动量和能量是分立的 这是局域在有理空间范围的量子粒子的特性 相邻两个能级的间距 显然 若l 时 0 即能量此时是连续的 如果某一能级的量子态不止一个 该能级称为简并的 能级的量子态数称为该能级的简并度 如果某能级只有一个量子态 该能级称为非简并的 三个量子数的平方和 1时 量子态有6个 称该能级简并度为6 量子态由量子数nx ny nz来描述 对于一确定的能量 nx ny nz可取不同的值 因此 对于一确定的能量来说 系统有许多量子态 7 2 3半经典近似方法 在所讨论的某些问题中 普朗克常数与有关的物理量相比是一个较小的量时 可以利用半经典近似认为粒子是沿着满足量子化条件的那些轨道运动的 这些量子化轨道与量子描述中的量子状态相对应 由测不准关系可知 坐标和动量不能同时取确定的值 所以量子态不能用相空间的一点来描述 而应用一个体积元 称为相格 相格的大小为 q p h 自由度为r的粒子 相格大小为 如果将 空间划分为若干个体积元 l l 1 2 则在体积元 l中粒子可能的状态数为 l hr 例如 空间中一个自由运动的粒子 假设此粒子限制在一个边长为l的方盒子中运动 容器的体积v l3 其内的动量 能量都是连续的 同理 上式可理解为 三维自由粒子的一个状态对应于 空间中体积为h 的一个体积元 体积 内 动量范围内的三维自由粒子的量子态数为 在 空间的体积为 dpxdpydpz内 自由粒子可能的状态数 常用动量空间中的球极坐标p 来描写自由粒子的动量 p 与px py pz的关系为 用球极坐标 动量空间的体积元为 在体积v内 动量在p到p dp 到 d 到 d 自由粒子可能的状态数为 如果对 和 进行积分 由0到 由0到2 在体积v内 动量绝对值在p到p dp的范围内 自由粒子可能的状态数为 d 表示单位能量间隔内的可能状态数 以能量形式表示 在v内 在 到 d 的范围内 自由粒子可能的状态数为 定义态密度 体积v内 在 到 d 的范围内 自由粒子可能的状态数为 以上的计算没有考虑粒子的自旋 如果粒子的自旋不等于零 还要考虑自旋的贡献 例如 粒子的自旋量子数为1 2 则自旋角动量在动量方向的投影有两个可能值 2 以上求得的结果都应该乘以2 7 3系统微观运动状态的描述 7 3 1全同近独立的粒子系统 全同 是由具有完全相同的属性 相同的质量 自旋 电荷等 的同类粒子所组成的系统 近独立 是指粒子之间的相互作用很弱 因而可以忽略粒子之间的相互作用 将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和 理想气体就是由近独立的粒子组成的系统 所谓系统的微观状态就是它的力学运动状态 7 3 2系统微观运动状态的经典描述 粒子的经典描述中 在任意时刻 第i个粒子的力学运动状态由r个广义坐标和r个广义动量来描述 设粒子的自由度为r 因此确定系统的微观运动状态需要qi1 qi2 qir pi1 pi2 pir 2nr个变量来确定 全同粒子是可以分辨的 因为经典粒子的运动是轨道运动 原则上是可以被跟踪的 对于可分辨的全同粒子 确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个粒子的个体量子态 特点 一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在 空间中用一个点表示 由n个全同粒子组成的系统在某时刻的微观运动状态可以在 空间中用n个点表示 那么如果变化两个代表点在 空间的位置 相应的系统的微观态是不同的 7 3 3系统微观运动状态的量子描述 全同粒子是不可分辨的 在含有多个全同粒子的系统中 将任何两个全同粒子加以对换 不改变整个系统的微观状态 此为微观粒子的全同性原理 特点 确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个体量子态的粒子数 量子力学情形 经典力学情形 光子 1 介子 0 电子 质子 中子 微观粒子依自旋量子数不同可分为两类 1 2 费米子遵从泡利不相容原理 即在含有多个全同近独立费米子的系统中 占据一个个体量子态的费米子不可能超过一个 而玻色子构成的系统不受泡利不相容原理的约束 此外 费米子和玻色子遵从不同的统计 系统微观运动状态的量子描述是由系统量子数来表征 不同的系统来说 对一确定的分布 其微观状态是不同的 设系统由两个粒子组成 粒子的个体量子态有3个 如果这两个粒子是定域子 玻色子 费米子时 试分别讨论系统各有那些可能的微观状态 费米系统 玻色系统 玻耳兹曼系统 7 4等概率原理 对于一个孤立系统 可以用粒子数n 体积v和能量e来表征系统的平衡态 更精确地说 应当认为系统的能量是在e附近的一个狭窄的能量范围内 处在平衡态的系统的所有宏观物理量都具有确定值 但在宏观状态确定的情形下 系统可能的微观状态是大量的 而且微观状态不断地发生着极其复杂的变化 等概率原理是平衡态统计物理的基本假设 等概率原理 对于处在平衡态的孤立系统 系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的 这些微观状态都满足具有确定n e v的宏观条件 没有理由认为哪一个微观状态出现的概率更大一些 这些微观状态应当是平权的 7 5分布和微观状态 设有一个系统 由大量全同近独立的粒子组成 具有确定的粒子数n 能量e和体积v n个粒子的在各能级的一种分布可以描述如下 能级 1 2 l 简并度 1 2 l 粒子数 1 2 l 表示能级 1上有 1个粒子 能级 2上有 2个粒子 通常用数列 al 表示 7 5 1分布 显然 对于具有确定的n e v的系统 分布必须满足 al 表示分布 1 2 l 给定一个分布后 只能确定处在每一个能级 l上的粒子数al 但是粒子在该能级上哪个量子态上还不能确定 例如 v一定 n 2 e 2 求分布 al 能级 1 2 3 4 3 简并度 1 2 3 4 可能有两种分布 1 0 1 0 和 0 2 0 0 7 5 2量子态数 微观状态数 微观状态是粒子的运动状态 分布与微观状态数的区别 分布只表示每一个能级上有几个粒子 如上述例子中的一种分布 1 0 1 0 表示在第1 3个能级上有1个粒子 在第2 4个能级上没有粒子 在1能级上这个粒子是如何占据该能级的量子态 会有不同的占据方式 微观状态 方式数也就是它的微观状态数 就一个确定分布而言 与它相应的微观状态数是确定的 不同的分布 有不同的微观状态数 如上边提到的分布 1 0 1 0 和 0 2 0 0 它们分别有不同的微观状态数 对于非定域系 费米系统和玻色系统 粒子不可分辨 在分布给定后 要确定系统的微观状态 还必须对每一个能级 l确定al个粒子占据其 l个量子态的方式 对于定域系 玻尔兹曼系统 粒子可分辨 在分布给定后 为了确定定域系的微观状态 还必须确定处在每一能级 l上的是哪al个粒子 以及在每一能级 l上al个粒子占据其 l个量子态的方式 在已知分布的情况下 微观状态数对于玻耳兹曼系统 玻色系统 费米系统显然是不同的 下面分别加以讨论 特征 粒子不可分辨 每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子 1 费米系统 al个粒子 简并度 l 第一个粒子占据量子态的可能性为 l种 第二个粒子占据量子态的可能性为 l 种 第al个粒子占据量子态的可能性为 l al 种 l al 分布 al 表示 1 2 al al个粒子占据能级 l上的 l个量子态 相当于从 l个量子态中挑出 l个来为粒子所占据 其可能性为 将各能级的结果相乘 就得到费米系统与分布相应的微观状态数为 l l l al 种 同一能级上al个粒子有al 种交换方式 由于粒子不可分辨 所以状态相同 所以应除以al 特征 粒子不可分辨 每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制 玻色系统 由于个体量子态上容纳的粒子数不受限制 我们可以应用数学中的方法全排列 这个排列表示 量子态1上没有粒子 量子态2上有1个粒子 量子态3上有3个粒子 量子态4上有2个粒子 量子态l上有1个粒子 由于左方第一个固定为量子态1 则其余的量子态和粒子的总数是 l al l al 个量子态或粒子的排列就相当于其中的粒子在量子态上数目的改变 如果交换量子态 和粒子 的位置 其他不变 有 再交换粒子1和粒子4的位置 其他不变 有 al个粒子间交换 但不改变系统状态的方式共有al 种 交换量子态2和3的位置 其他不变 有 l 1 个量子态间交换 量子态1固定 但不改变系统状态的方式共有 l 1 种 微观状态不变 al个粒子占据能级 l上的 l个量子态 可能方式有 将各种能级的结果相乘 就得到玻色系统与分布相应的微观状态数为 l al 1 al l 1 种 玻耳兹曼系统 特征 粒子可分辨 每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制 由于粒子可以分辨 若对粒子加以编号 则al粒子占据能级 l上的 l个量子态时 是彼此独立 互不关联的 每一个粒子占据量子态的方式均为 l种 al个粒子占据能级 l上的 l个量子态可能的方式有 lal种 各能级结果相乘得占据各能级的量子态数共有 lal种方式 对于玻耳兹曼系统 分布相应的系统的微观状态数为 由于粒子可分辨 则交换粒子 系统处于不同的状态 将 个粒子加以交换 可能出现的不同的状态的数目为 其中 l能级上 l个粒子的交换数为 l 已经包含在al个粒子占据能级 l上的 l个量子态可能的方式 lal中 应当从 中除去 4 三个微观状态数之间的关系 如果在玻色系统和费米系统中 任一能级 l上的粒子数均远小于该能级的量子态数 即 称为经典极限条件 也称非简并性条件 表示 在所有的能级 粒子数都远小于量子态数 费米系统 玻色系统 说明 在满足经典极限条件的情况下 每个量子态上的平均粒子数远小于 粒子间的关联可以忽略 个粒子相交换的交换数为 则费米分布和玻色分布都趋近于玻耳兹曼分布 7 5 3经典统计中的分布和微观状态数 由于测不准关系中的p和q在这里是连续变量 粒子和系统的微观状态都是不可数的 假设 q p h0是一个小量 对于自由度为r的粒子 一个状态相应于 空间中的一个相格h0r 那么系统在某一时刻的力学运动状态相应于 空间中的 个代表点 粒子的自由度为r 粒子在任一时刻的力学运动状态相应于 空间中的一个代表点 在相体积内含有多少个相格就有多少个运动状态 处在同一相格的代表点 代表相同的运动状态 显然h0足够小 就可以由粒子的运动状态代表点所在的相格确定粒子的运动状态 h0越小 越精确 将 空间划分为许多个小体积元 l 其中所有粒子的能量均为 l 体积元 l内包含多少个相格h0r 就包含多少个粒子的运动状态 状态数为 l h0r 可见这个量与量子统计中的简并度相当 有了以上的量 可以对 个粒子在各体积元 l的分布描述如下 体积元对应能量 1 2 l 体积元中量子态个数 1 h0r 2 h0r l h0r 体积元对应粒子数 1 2 l 体积元 1 2 l 因为 l h0r对应于量子统计中的简并度 经典粒子可分辨 处在同一相格内的经典粒子数没有限制 经典统计与分布相应的微观状态数为 4 最概然分布中的微观状态数越多 分布出现的几率越大 1 微观状态数都是与分布相对应的 梳理 2 微观状态数最多的分布 出现的概率最大的称为最概然分布 3 根据等概率原理 对于处在平衡状态的孤立系统 每一个可能的微观状态出现的几率是相等的 5 求最概然分布 7 6玻耳兹曼分布 与分布 al 对应的麦克斯韦 玻尔兹曼微观状态数 m b公式 简记为 为 由于玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布是使 为极大的分布 而ln 随 的变化是单调的 所以可以等价地讨论使ln 为极大的分布 对上式两边取对数 n 1 若假设 l 1 l 1 利用斯特林公式可得到 分布要满足约束条件 得 从数学知识可以知道 要想有极大值 必须满足一级变分为0 我们令al发生变化为 al 则ln 将发生变化为 ln 要想使ln 为极大的分布 就必须使 ln 为求在此约束条件下的最大值 取未定因子为 和 乘分布必须满足的条件 并从ln 中减去 得拉格朗日函数为 用拉格朗日乘子法 即 根据拉格朗日乘数法原理 每个 al的系数都等于0 有 即 上式给出了玻耳兹曼系统粒子的最概然分布 称为麦克斯韦 玻耳兹曼分布 表明 最概然分布下 处在能级 l的粒子数 其中确定拉氏乘子为 和 的条件为 在许多实际问题中 也往往将 看作由实验确定的已知参量而由确定系统的内能 或将a和 都当作由实验确定的已知参量 由确定系统的平均总粒子数和内能 能级的 l有 l个量子态处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的 因此处在能量为 s的量子态s上的平均粒子数为 总粒子数和能量可分别表示为 对粒子的所有的量子态求和 可得n和e为 ln 的一级变分为0 表明存在极值 下面对ln 取二级变分 判定它是极大值还是极小值 由于al 0 显然 2ln 0 即玻尔兹曼分布是使ln 为极大值的分布 可以证明 对于微小偏离 al al 10 5 比如n 1023的宏观系统 说明 1 即使与最概然分布仅有极小偏差的分布 它的微观状态数与最概然分布的微观状态数相比已经微不足道 最概然分布的微观状态数 非常接近于全部可能的微观状态数 2 根据等概率原理 每一个可能的微观状态出现的概率相等 忽略其他分布而认为在平衡状态下粒子实质上处在玻尔兹曼分布 所引起的误差是可以忽略的 4 在推导最概然分布时 应用了al 1 l 1 等条件 这些条件实际上是不满足的 但不影响结果正确 经典统计中玻尔兹曼分布的表达式 其中确定拉氏乘子为 和 的条件为 7 7玻色分布和费米分布 分布 al 要满足约束条件 与分布 al 相应的微观状态数 2 玻色系统 1 费米系统 7 7 1费米系统的最概然分布 对取对数得 1 2 n 1 若假设 l 1 l 1 利用斯太林公式可得到 令al发生变化为 al 则ln 将发生变化为 ln 要想使ln 为极大的分布 就必须使 ln 3 分布不是完全独立的 必须满足粒子数守恒和能量守恒 用拉氏变换 将拉氏乘子 和 乘以分布必须满足的条件 并从ln 中减去 得 即 根据拉氏原理 每个 al的系数都等于