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2 4 2抛物线的简单几何性质 2 复习 1 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y r x 0y r y 0 x r y 0 x r 0 0 x轴 y轴 1 2 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 pf x0 p 2 f p 通径的长度 2p p越大 开口越开阔 3 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式 通过焦点的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦 f a 补 焦点弦 焦点弦公式 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式 b y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 例1 斜率为1的直线经过抛物线的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 求线段ab的长 例2 已知过抛物线的焦点f的直线交抛物线于两点 1 是否为定值 呢 2 是否为定值 这一结论非常奇妙 变中有不变 动中有不动 x y o a b d f l 例3 过抛物线焦点f的直线交抛物线于a b两点 通过点a和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点d 求证 直线db平行于抛物线的对称轴 x y o f a b d 变式题 2001年高考题 设抛物线的焦点为f 经过点f的直线交抛物线于a b两点 点c在抛物线的准线上 且bc x轴 证明 直线ac经过原点o x o a b d f l y 由此可得 y1 y2 即线段ab关于x轴对称 因为x轴垂直于ab 且 例4 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线上 求这个三角形的边长 解 如图 设正三角形oab的顶点a b在抛物线上 且坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 则 又 oa ob 所以x12 y12 x22 y22 即x12 x22 2px1 2px2 0 x12 x22 2p x1 x2 0 a b x1 x2 x1 x2 2p 0 x1 0 x2 0 2p 0 x1 x2 所以 x1 y1 x2 y2 例5 已知抛物线y x2 动弦ab的长为2 求ab中点纵坐标的最小值 x o y f a b m 解 1 过抛物线的焦点f作一直线交抛物线于p q两点 若pf与fq的长分别是 a 2a b c 4a d y x f 2 已知a b是
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