人大附中数学第二章平面向量课件 新课标人教B版必修42.3.1 平面向量数量积.ppt

2 3 1平面向量数量积的物理背景及定义 向量数量积的物理背景与定义 问题 观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量 什么影响了功的大小 如何精确的给出数学中的定义 力做的功 w f s cos 是f与s的夹角 其中 f cos 就是f在物体位移方向上的分量的数量 也就是力f在物体位移方向上正射影的数量 力做的功 w f s cos 以计算力做功为背景 我们引入向量的数量积的运算 1 两个向量的夹角 2 向量在轴上的射影 两个向量的夹角 已知两个非零向量a b a b 则 aob称作向量a和向量b的夹角 记作 并规定0 1 求两向量的夹角 应保证两个向量有公共起点 若没有 须平移使它们有公共起点 2 范围0 a b 3 a b b a 4 a b 0时 a b同向 a b 时 a b反向 a b 90 时 a b 5 规定 在讨论垂直问题时 零向量与任意向量垂直 向量在轴上的正射影 1 概念 已知向量a和轴l 作 a 过点o a分别作轴l的垂线 垂足分别为o1 a1 则向量叫做向量a在轴l上的正射影 2 正射影的数量 向量a的正射影在轴l上的坐标 称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量 记作 al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为 则有 1 a在轴l上的射影或在轴l方向上的数量是一个数量 不是向量 2 当 为锐角时 数量为正值 3 当 为钝角时 数量为负值 4 当 为直角时 数量为0 5 当 0 时 数量为 a 6 当 180 时 数量为 a 向量的数量积 内积 定义 叫做向量a和b的数量积 或内积 记作 a b 即a b 1 数量积a b等于a的长度与b在a方向上正投影的数量 b cos 的乘积 2 两个向量的数量积是一个实数 符号由cos a b 的符号所决定 而数乘向量是一个向量 3 两个向量的数量积的性质 设a b为两个非零向量 e是与b同向的单位向量 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 a a a 2或 4 cos a b a b 例1 已知 a 5 b 4 120 求a b 解 a b a b cos 5 4 cos120 10 练习1 已知 a b 当 a b a b a与b的夹角是60 时 分别求a b a b时 a b 18 a b时 a b 0 a与b的夹角是60 时 a b 9 练习2 判断正误 并简要说明理由 a 0 0 0 a 0 a b a b 若a 0 则对任一非零b有a b a b 则a与b中至少有一个为0 对任意向量a b c都有 a b c a b c a与b是两个单位向量 则a2 b2 例2 求证菱形的两条对角线互相垂直 例3 已知 a 2 b 3 且分别满足下列条件 求a b 1 120 2 a b 3 a b 解 1 120 所以a b 2 3 0 5 3 2 a b 所以a b 0 3 a b 所以a b 6或 6 例4 如图 abc为等腰直角三角形 且直角边ab 1 求 解 又 例5 已知 a 3 b 5 且a b 12