.9 高中物理研讨会周志君万有引力与航天

万有引力与航天 江苏省宿迁中学周志君 2008 2009高三物理教研材料 牛顿定律与天体运动的结合涉及我国正大力发展的航天事业 因而一直是高考命题的热点 近几年高考对万有引力定律的考察主要表现在两个方面 一是强调万有引力基本知识的同时加大与其它相关内容的综合 如在其它星球表面上做平抛 竖直上抛 单摆 类似地球上的实验等 如2007全国理综 第14题 2007上海物理第19题 二是应用万有引力定律解决实际问题 涉及题型有计算第一宇宙速度 2007天津理综14题 估算天体质量或平均密度问题 2007山东理综第22题 近几年高考中以天体问题为背景的信息给予题备受命题专家的青睐 如2007全国理综14题中的 宜居 行星 2007山东理综22题中的 类地行星 当然 了解近几年这方面的大事 如神舟系列发射 金星快车发展 彗星撞击等课外知识也非常重要 从知识结构来看 本章内容是牛顿运动定律在天体方面的应用 本章内容建立在学生对力 质量 速度 加速度 向心力 向心加速度等概念的较深刻理解基础之上 并要求学生掌握自由落体 抛体和匀速圆周的运动学规律 能熟练运动牛顿运动定律解决动力学问题 可以说 万有引力定律的学习对于运动和力这部分知识起到进一步深化和综合应用的作用 一 考纲要求 考纲中 表示对所列知识要知道其内容及含义 并能在有关问题中识别和直接使用它们 表示对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系 能够进行叙述和解释 并能在实际问题的分析 综合 推理和判断等过程中运用 就考纲考点具体而言 万有引力定律包括 内容 条件 推导等 应用包括求物体间引力 重力加速度 天体质量 天体密度 卫星发射 天体绕行等 环绕速度即第一宇宙速度 包括含义 数值 推导等 第二宇宙速度和第三宇宙速度要求较低 主要包括物理含义 具体数值 其推导供学有余力同学选学 从高考考察的情况来看 本章内容在江苏和其他省份试卷上每年均有考察 考察的题型有选择题 填空题和计算题等 每年涉及本章的试题基本上均为一题 二 本章重点和难点 1 开普勒第三定律仅适用于绕同一中心天体运转的行星 r为行星运转半径 t为运转周期 k是由中心天体质量决定的常数 中心天体不同 k也不同 如绕地球运转的卫星的k和绕太阳运转的行星的k是不同的 推导如下 行星绕太阳运转时万有引力提供向心力 式中g为万有引力常量 m为中心天体太阳质量 开普勒第三定律可以由万有引力定律推导出来 将行星运动处理成匀速圆周运动以后 开普勒第三定律可以表示为 2 万有引力定律的推导 将行星绕太阳运转简化成匀速圆周运动进行处理 向心力应该由太阳对行星引力提供 又由于 所以 改写成等式 最后推广到任意两个物体间都存在这样的力 进而得到万有引力定律 由开普勒第三定律有 由以上两式得 式中m为行星质量 由 式知太阳对行星引力与行星质量成正比 与他们距离平方成反比 根据牛顿第三定律 太阳吸引行星 行星也吸引太阳 它们是同种性质力 遵循相同规律 所以行星对太阳引力 3 不同公式和问题中的r 含义不同 万有引力定律公式 中的r指的是两个质点间的距离 对于相距不太远不能看作质点的均质球体 指的是两个球体球心的距离 而向心力公式 中的r 对于椭圆轨道等于各处曲率半径 对于圆轨道它等于圆半径 开普勒第三定律 中的r指的是椭圆轨道的半长轴 因此 同一个r在不同公式中所具有的含义不同 4 万有引力与重力的关系 重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的 但重力并不是万有引力 由于地球在自转 地球表面上的物体随地球自转时需要向心力 这个向心力是由万有引力一个分力提供的 另一个分力就是物体的重力 1 物体在赤道上时 重力和万有引力方向相同 指向地心 大小关系为 此时向心力 最大 重力最小 重力加速度也最小 当地球自转加快时 重力 减小 当减小为零时 若继续增加角速度 赤道上物体将做离心运动 所以此时角速度为地球最大自转角速度 2 在两极时由于向心力为零 所以万有引力等于重力 此时重力最大 重力加速度也最大 3 由于地球自转角速度 很小 因此 所以一般情况下可以认为 故 这就是经常用到的黄金代换 5 卫星线速度 角速度 周期和向心加速度与轨道半径关系 卫星绕地球做匀速圆周运动 万有引力提供向心力 1 线速度与轨道半径关系 2 角速度与轨道半径关系 3 周期与轨道半径关系 4 向心加速度与轨道半径关系 涉及v的用 在上述推导过程中 要灵活选用向心力表达式 涉及 的用 涉及t的用 这就要求学生对向心力几种表达形式要掌握得非常熟练 6 卫星绕地球做圆周运动与物体随地球自转做圆周运动的比较 7 三个宇宙速度的推导 考纲对三个宇宙速度提出了具体要求 其中第一宇宙速度是 级 第二和第三宇宙速度是 级 这就要求学生能熟练推导出第一宇宙速度 并知道三个宇宙速度的具体数值和含义 1 第一宇宙速度 又叫环绕速度 是最小发射速度 也是卫星绕地飞行最大速度 2 第二宇宙速度 又叫脱离速度 当卫星速度达到或超过这一值时将脱离地球的引力束缚 3 第三宇宙速度 又叫逃逸速度 是物体挣脱太阳引力束缚的最小速度 4 卫星的发射速度与运动情况总结如下 当卫星发射速度 时 卫星会落回地面 时 卫星绕地球运转 时 卫星脱离地球束缚 绕太阳运转 成为人造行星 时 卫星脱离太阳束缚 逃到太阳系外 当卫星发射速度 当卫星发射速度 当卫星发射速度 8 运行速度与发射速度的比较 1 发射速度指物体在地面附近发射时的初速度 被发射物体仅依靠发射时的能量克服地球的引力 在发射后没有能量补充 要发射一颗卫星 发射速度不能小于第一宇宙速度 把卫星发射得越高 需要的能量越多 所需初速度也就越大 即发射速度越大 2 运行速度是卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度 3 关系 将卫星发射得越高 需要的能量越多 发射速度越大 9 卫星的变轨 卫星绕天体在圆形轨道上的匀速圆周运动是稳定的运动 此时万有引力提供并等于向心力 在不同的轨道上 卫星稳定运行的速度不同 当卫星由于某种原因速度突然改变时 如开启或关闭发动机 万有引力就不再等于所需向心力 卫星将做变轨运行 10 地球同步卫星的几个 一定 地球同步卫星是指在赤道平面内 以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星 它相对于地面静止 主要用于通讯 又叫通讯卫星 1 轨道平面一定 地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面与赤道面重合 同步卫星只能在赤道正上空 假设同步卫星轨道与赤道平面不重合 而与某一纬度面重合 则万有引力的一个分力将使卫星轨道靠向赤道 2 角速度一定 同步卫星角速度等于地球自转角速度 3 周期一定 同步卫星在赤道上空相对地面静止 它的周期等于地球自转周期 即24h 4 高度一定 5 线速度一定 6 向心加速度一定 三 教学内容处理 1 对开普勒三个定律的理解 1 从空间轨道看 行星的轨道都是椭圆 所有椭圆有一个共同的焦点 太阳就在此焦点上 在讨论天体运动问题时 通常将问题简化 将行星的运动处理成圆周 太阳位于圆心 开普勒第一定律回答了天体轨道是什么问题 2 从如何动看 行星与太阳连线在单位时间内扫过的面接相等 即离太阳越远 运动越慢 离太阳越近 运动越快 开普勒第二定律回答了天体运动的快慢问题 3 从所有行星运动的共性看 半长轴三次方与周期平方之比为一常量 理解时要注意三点 一是半长轴不要理解为行星到太阳的距离 二是若将行星椭圆轨道处理成圆周 半长轴用圆周半径r代替 三是开普勒第三定律不仅适用于绕同一中心天体运动的行星 也适用于绕同一中心天体运动的卫星 中心天体不同 常量k也不同 即k与中心天体质量有关 开普勒第三定律回答了绕太阳运转所有行星运动的共性问题 例题1 飞船沿半径为r的圆周绕地球运动 其周期为t 如果飞船要返回地面 可在轨道上某一点a处将速率降低到适当数值 从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行 椭圆与地球表面在b点相切 如图2所示 求飞船由a点运动到b点所需要的时间 已知地球半径为r0 2 万有引力定律及适用条件 两个质点 质量分布均匀两个球体 r为球心间距 例题2 如图 阴影区域是质量为m 半径为r的球体挖去一个小圆球后的剩余部分 所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是r 2 求剩余部分对球体外离球心o距离为2r 质量为m的质点p的引力 3 天体的质量和密度求解 通过观察天体卫星匀速圆周运动的周期 半径 依据万有引力定律提供向心力求解 例题3 2007宁夏 14 天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动 并测出了行星的轨道半径和运行周期 由此可推算出 a 行星的质量b 行星的半径c 恒星的质量d 恒星的半径 例题4 2005广东 5 已知万有引力常量g 地球半径r 月球和地球之间的距离r 同步卫星距地面的高度h 月球绕地球的运转周期t1 地球的自转周期t2 地球表面的重力加速度g 某同学根据以上条件 提出一种估算地球质量m的方法 同步卫星绕地球作圆周运动 请判断上面的结果是否正确 并说明理由 如不正确 请给出正确的解法和结果 请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果 4 星球表面或某一高度重力加速度求解 星球表面重力加速度求解 某一高度重力加速度求解 例题5 2004北京 20 1990年5月 紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星 该小行星的半径为16km 若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体 小行星密度与地球相同 已知地球半径r 6400km 地球表面重力加速度为g 这个小行星表面的重力加速度为 a 400gb c 20gd 例题6 火箭内平台上放有测试仪器 火箭从地面启动以后 以加速度g 2竖直向上做匀加速运动 升到某一高度时 测试仪器对平台的压力为启动前压力的17 18 已知地球半径为r 求火箭此时离地面的高度 g为地面的重力加速度 5 多星问题 宇宙中多颗星体构成的系统由于离其他天体较远 因而彼此只受相互间作用 围绕某一中心而做匀速圆周运动 由此产生的问题成为多星问题 处理此类问题时仍然应牢牢抓住万有引力提供向心力 但需要注意的一个问题是万有引力公式中的距离不再是运转的半径 例题7 2006广东 17 宇宙中存在一些离其它恒星较远的 由质量相等的三颗星组成的三星系统 通常可忽略其它星体对它们的引力作用 已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式 一种是三颗星位于同一直线上 两颗星围绕中央星在同一半径为r的圆轨道上运行 另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行 设每个星体的质量均为m 1 试求第一种形式下 星体运动的线速度和周期 2 假设两种形式星体的运动周期相同 第二种形式下星体之间的距离应为多少 6 万有引力定律与抛体运动知识的综合 例题8 1998全国 21 宇航员站在一星球表面上的某高处 沿水平方向抛出一个小球 经过时间t 小球落到星球表面 测得抛出点与落地点之间的距离为l 若抛出时的初速增大到2倍 则抛出点与落地点之间的距离为 已知两落地点在同一水平面上 该星球的半径为r 万有引力常数为g 求该星球的质量m 四 高考题选 1 05年 广东 第27题 万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律 以下说法正确的是 a 物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的b 人造地球卫星离地球越远 受到地球的万有引力越大c 人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供d 宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用 2 07年 北京 理科综合 第15题 6分 不久前欧洲天文学就发现了一颗可能适合人类居住的行星 命名为 格利斯581c 该行星的质量是地球的5倍 直径是地球的1 5倍 设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人造卫星的动能为 在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的相同质量的人造卫星的动能为 则 为a 0 13b 0 3c 3 33d 7 5 3 06年 全国统招 第16题 6分 我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星 嫦娥1号 设该卫星的轨道是圆形的 且贴近月球表面 已知月球的质量约为地球质量的1 81 月球的半径约为地球半径的1 4 地球上的第一宇宙速度约为7 9km s 则该探月卫星绕月运行的速率约为0 4km sb 1 8km sc 11km sd 36km s 4 06年 北京理科综合 第18题 6分 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行 认为行星是密度均匀的球体 要确定该行星的密度 只需要测量a 飞船的轨道半径b 飞船的运行速度c 飞船的运行周期d 行星的质量 5 2000年 全国 第3题 4分 某人靠地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用 绕地球运转的轨道会慢慢改变 每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动 某次测量卫星的轨道半径为r1 后来变为r2 r2 r1以ek1 ek2表示卫星在这两个轨道上的动能 t1 t2表示卫星在这两个轨道上绕地运动的周期 则 a ek2 ek1 t2 t1 b ek2 ek1 t2 t1 c ek2 ek1 t2 t1 d ek2 ek1 t2 t1 6 07年 重庆 第19题 6分 土卫十和土卫十一是土星的两颗卫星 都沿近似为圆周的轨道线土星运动 其参数如表 两卫星相比土卫十 a 受土星的万有引力较大b 绕土星的圆周运动的周期较大c 绕土星做圆周运动的向心加速度较大d 动能较大 7 05年 河北 河南 安徽 山西理科综合 第16题 6分 把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周 由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得 a 火星和地球的质量之比b 火星和太阳的质量之比c 火星和地球到太阳的距离之比d 火星和地球绕太阳运行速度大小之比 8 01年 上海 第20题 5分 所有的星球有一个最大的自转速率 如果超过了该速率 星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动 由此能得到半径为r 密度为 质组成星球的物质是靠引力吸引在一起的量为m且均匀分布的星球的最小自转周期t 下列表达式中正确的是 a t 2 b t 2 c t d t 9 07年 上海 第19题 10分 宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球 经过时间t小球落回原处