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4 3 2空间两点间的距离公式 问题提出 1 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么 2 在空间直角坐标系中 若已知两个点的坐标 则这两点之间的距离是惟一确定的 我们希望有一个求两点间距离的计算公式 对此 我们从理论上进行探究 空间两点间的距离公式 知识探究 一 与坐标原点的距离公式 思考1 在空间直角坐标系中 坐标轴上的点a x 0 0 b 0 y 0 c 0 0 z 与坐标原点o的距离分别是什么 oa x ob y oc z 思考2 在空间直角坐标系中 坐标平面上的点a x y 0 b 0 y z c x 0 z 与坐标原点o的距离分别是什么 思考3 在空间直角坐标系中 设点p x y z 在xoy平面上的射影为m 则点m的坐标是什么 pm om 的值分别是什么 m x y 0 pm z 思考4 基于上述分析 你能得到点p x y z 与坐标原点o的距离公式吗 思考5 在空间直角坐标系中 方程x2 y2 z2 r2 r 0为常数 表示什么图形是什么 知识探究 二 空间两点间的距离公式 在空间中 设点p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 在xoy平面上的射影分别为m n 思考1 点m n之间的距离如何 思考2 若直线p1p2垂直于xoy平面 则点p1 p2之间的距离如何 p1p2 z1 z2 思考3 若直线p1p2平行于xoy平面 则点p1 p2之间的距离如何 思考4 若直线p1p2是xoy平面的一条斜线 则点p1 p2的距离如何计算 思考5 在上述图形背景下 点p1 x1 y1 z1 与p2 x2 y2 z2 之间的距离是它对任意两点p1 p2都成立吗 例1在空间中 已知点a 1 0 1 b 4 3 1 求a b两点之间的距离 理论迁移 例2已知两点a 4 1 7 和b 3 5 2 点p在z轴上 若 pa pb 求点p的坐标 例3如图 点p q分别在棱长为1的正方体的对角线ab和棱cd上运动 求p q
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