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2 2 3向量数乘运算及其几何意义 问题提出 1 如何求作两个非零向量的和向量 差向量 2 相同的几个数相加可以转化为数乘运算 如3 3 3 3 3 5 3 15 类似地 相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢 现在我们就探究这个问题 探究一 向量的数乘运算及其几何意义 思考1 已知非零向量a 如何求作向量a a a和 a a a o a b c o m n p a a a a a a 思考2 向量3a和 3a与向量a的大小和方向有什么关系 的长度是的3倍 方向与同向 的长度是的3倍 方向与异向 思考3 设a为非零向量 那么a和a还是向量吗 它们分别与向量a有什么关系 定义 一般地 我们规定 实数 与向量a的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记作 a 其长度与方向规定如下 1 a a 2 0时 a与a方向相同 0时 a与a方向相反 0时 a 0 练习 如图 设点m为 abc的重心 d为bc的中点 那么向量与 与分别有什么关系 探究二 向量的数乘运算性质 一 数乘向量的运算律 设 为实数 则 特别地 思考1 对于非零向量a a 0 和向量b 若存在实数 使b a 则向量a与b的方向有什么关系 它们共线吗 思考2 若非零向量a a 0 与b共线 则一定存在实数 使b a成立吗 共线向量定理 非零向量a a 0 与向量b共线 当且仅当有唯一一个实数 使b a 作用 判定向量是否共线和判定点共线 思考1 若存在实数 使 则a b c三点的位置关系如何 这是用向量证明三点共线的方法 这是中点的向量式 p是ab的中点 定义 向量的加 减 数乘运算统称为向量的线性运算 对于任意向量a b 以及任意实数 x y 恒有 例2如图 已知任意两个非零向量a b 试作 a b a 2b a 3b 你能判断a b c三点之间的位置关系吗 为什么 例1 计算 例2 判定对错 例3 在 abc中 若点d满足 则 例4 已知非零向量不共线 1 如果求证 a b d三点共线 2 欲使和共线 试确定实数k的值 则 常用结论 例5如图 平行四边形abcd的两条对角线相交于点m 且 a b 试用a b表示向量 练习 如图 已知abcd的边bc cd上的中点分别为k l 且 试用表示 例6 如图 在 abc中 d f分别是bc ac的中点 1 用表示向量 2 求证 b e f三点共线 小结作业 1 实数与向量可以相乘 其积仍是向量 但实数与向量不能相加 相减 实数除以向量没有意义 向量除以非零实数就是数乘向量 2 若 a 0 则可能有 0 也可能有a 0 3 向量的数乘运算律 不是规定 而是可以证明
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