高中数学2.3数学归纳法课件新课标人教B版选修2.ppt

2 3数学归纳法 b案中的问题 已知数列 an 中 a1 1 an 1 n 1 2 1 求 2 试用归纳推理猜想 an 的通项公式 3 你能证明自己的上述猜想是正确的么 难点所在 逐一验证是不可能的 需要寻求一种方法 通过有限个步骤的推理 达到证明n取所有正整数都成立的目标 研探新知 1 多米诺骨牌游戏蕴含的原理分析 大家知道多米诺骨牌游戏吗 多米诺骨牌视频 这是一种码放骨牌的游戏 码放时保证任意相邻的两骨牌 若前一块骨牌倒下 则一定导致后一块骨牌也倒下 只要推倒第一块骨牌 由于第一块骨牌倒下 就可导致第二块骨牌倒下 而第二块骨牌倒下 就可导致第三块骨牌倒下 最后 不论有多少块骨牌 都能全部倒下 2 思考 这个游戏中 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么 所有骨牌都倒下用不用一块一块人工推倒 1 第一块骨牌倒下 2 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 当第k块倒下时 相邻的第k 1块也倒下 3 用多米诺骨牌原理解决数学问题 思考 你认为证明数列的通项公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗 可以看出 只要满足以下两个条件 所有多米诺骨牌就都能倒下 多米诺骨牌游戏原理 1 第一块骨牌倒下 1 当n 1时猜想成立 2 若第k块倒下时 则相邻的第k 1块也倒下 根据 1 和 2 可知不论有多少块骨牌都能全部倒下 根据 1 和 2 可知对所有的正整数n 猜想都成立 2 若当n k时猜想成立 则当n k 1时猜想也成立 即 证明数列的通项公式是的步骤 利用相似性 规范解题步骤 证明 1 当n 1时 a1 1 猜想成立 2 假设当n k时猜想成立 即 即n k 1时猜想也成立 根据 1 和 2 可知对任意的正整数n 猜想都成立 即数列的通项公式是 则当n k 1时 一般地 证明一个与正整数有关的命题 可按下列步骤进行 2 假设当n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 1 证明当n取第一个值n0时命题成立 归纳奠基 归纳递推 提炼原理 得出概念 用框图表示为 验证当n n0时命题成立 假设当n k k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 命题对所有的自然数n n n0 都成立 归纳奠基 归纳递推 注意 两步一结论 缺一不可 用数学归纳法证题时 两步一结论 缺一不可 步骤 1 是正确的奠基步骤 称之为归纳基础 步骤 2 反映了无限递推关系 即命题的正确性具有传递性 称之为归纳依据 若只有步骤 1 而无步骤 2 只是证明了命题在特殊情况下的正确性 这是不完全归纳法 若只有步骤 2 而无步骤 1 那么假设n k成立的命题就是没有基础的 缺少了递推的基础 也无法进行递推 有了步骤 1 和 2 使递推成为可能 最后的 一结论 是将步骤 1 和步骤 2 结合 完成数学归纳法中递推的全过程 因此两步一结论 缺一不可 为何强调 两步一结论 缺一不可 1 自主完成c案中的五个问题 10分钟 自主合作探究 2 小组内合作交流探究 形成共识并展示小组成果 5分钟 3 各组间点评 师生合作 取得班级成果 8分钟 问题1 用数学归纳法证明 证明 问题1点评 在运用数学归纳法证明本题的过程中 第 2 步的证明是难点所在 要仔细观察等式的结构特征 弄清第二步证明中 已知式 与 目标式 的差异 然后对 已知式 进行变形 最后得到所要求证的 目标式 既 凑假设 又 凑结论 问题2 用数学归纳法证明进行证明时采用了如下的方法 证明 假设当n k时等式成立 即则当n k 1时 请判断上述证明方法的正确与否 所以n k 1时等式成立 根据 1 和 2 等式对任何均成立 问题3 欲用数学归纳法证明 试问n的第一个取值应是多少 问题3点评 在第一步中的初始值不一定从1取起 证明时应根据具体情况而定 解 对n 1 2 3 逐一尝试 可知初始值为n 5 问题2点评 通过此题可以看出 数学归纳法中 第一步是递推的基础 缺少了步骤 1 这个基础 步骤 2 就没有意义了 不要误认为第一步是一个简单的验证 可有可无 解 上述证明是错误的 事实上命题本身是错误的 当n 1时 左边 1 右边 0 左边 右边 则当n k 1时 代入得 求证 证法1 1 当n 1时 左边 1 右边 12 1 等式成立 2 假设当n k时成立 即 所以当n k 1时等式成立 根据 1 和 2 等式对任意均成立 问题4 如下证明方法是数学归纳法吗 为什么 证法2 把上面证法1中的第 2 步第三行换为如下内容 其他内容同证法1 解 以上两种证法都不是数学归纳法 这是因为n k 1时的等式是有待于得用归纳假设和已知条件加以证明的 不能直接将n k 1代入要求证的等式 这相当于没有证明第二步 所以证法1不是数学归纳法 问题4点评 通过此题可以看出 在第 2 步的证明过程中 有下列情况之一者 就不能作为数学归纳法的证明 或者说证明有误 没有写出第二步中的归纳假设或虽写出了的归纳假设 但在证明中没有用上 如证法2 证明中虽用上了归纳假设 但没有进行实质的恒等变形 或虽有中间变形 但中间变形有错误 根本得不到应有的结果 最后只是形式地写出结果 如证法1 证明核心的中间变形没有 数学归纳法要求在第二步推证过程中 即证明n k 1命题成立时 必须用到n k命题成立这一归纳假设 否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系 造成推理无效 而证法2没有用上归纳假设 即 所以也是错误的 问题5 用数学归纳法证明时 从 k到k 1 左端需增乘的代数式为 问题5点评 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题 关键是第二步 如问题5中 用数学归纳法证明等式问题时 要注意观察等式的结构特征 即当n k 1时等式两边的式子与n k时等式两边的式子的差异及联系 特别注意观察等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关系 由n k到n k 1时 等式两边会增加多少项 增加怎样的项 减少了多少项 减少了怎样的项 必要时可将n k和n k 1时的等式都写出来 进行对比 问题就容易解决 用数学归纳法证明 第一步应验证左式是 右式是 从k到k 1时 左表应添加的项是 当堂检测 6分钟 2 用数学归纳法证明不等式时 第 步应验证 用数学归纳法证明 1 2 2 3 3 4 n n 1 3 用数学归纳法证明 1 2 2 3 3 4 n n 1 证明 2 假设n k时命题成立 即1 2 2 3 3 4 k k 1 则当n k 1时 n k 1时命题正确 由 1 和 2 知 当 命题正确 1 当n 1时 左边 1 2 2 右边 2 命题成立 小结 1 了解数学归纳法的原理 特别注意数学归纳法的两个步骤 前者是递推的基础 后者是递推的依据 两步一结论 缺一不可 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 主要是证明与正整数有关的数学问题 3 用数学归纳法证明恒等式的注意事项 必须验证第 步 没有验证第一步或者第一步验证多了 不但验证n 不放心 又验证了n 等 其实这是多余的 究其原因还是对数学归纳法的原理不理解 第 2