高等数学武大社教案09第九章向量代数与空间解析几何.docx

第九章 向量代数与空间解析几何一、教学目标1.熟悉向量、数量积、向量积的概念；2.掌握用向量解决空间问题的方法，特别是平面与直线的方程；3.了解曲面方程、空间曲线的方程及其建立的方法.二、课时分配本章节共6个小节，共安排12个学时.三、教学重点1.数量积；2.向量积；3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面；4.平面方程及直线方程的求法.四、教学难点母线平行于坐标轴的柱面方程和空间曲线在坐标平面上的投影方程.五、教学内容第一节 空间直角坐标系一、空间直角坐标系通常过空间一点O作三条互相垂直的数轴,它们以O为原点,并取相同的长度单位.这三条数轴分别称为x轴(横轴)、y轴（纵轴）和z轴（竖轴），统称为数轴.它们的正方向符合右手规则：以右手握住z轴，让右手的四指从x轴的正方向逆时针旋转/2角度到y轴正方向时，则大拇指所指的方向即为z轴的正方向.一般将x轴和y轴放在水平面上，z轴垂直于水平面.这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系，记Oxyz坐标系.点O称为坐标原点，x轴、y轴和z轴统称为坐标轴.每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标面.由x轴和y轴所确定的平面称为xOy坐标面.类似有yOz坐标面和zOx坐标面.三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限，其中第,卦限位于xOy面上方，含有x轴、y轴、z轴正方向的部分为第卦限，从第卦限开始逆时针依次为第，卦限；第，卦限位于xOy面下方，分别与第，卦限对应.在空间任取一点M，过点M分别作垂直于坐标轴的三个平面，分别交x轴、y轴、z轴于点P，Q，R，设点P，Q，R在坐标轴的坐标分别为x,y,z.于是点M就唯一确定了一组有序三元数组（x,y,z）.反之，给定一有序三元数组（x,y,z）,在x轴、y轴和z轴上分别确定以x,y,z为坐标的三个点P，Q，R.过这三个点分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，这三个平面的交点M，便是由有序的三元数组（x,y,z）在空间确定的唯一的点.这样就建立了有序三元数组（x,y,z）与空间点M的一一对应关系，我们称有序三元数组（x,y,z）为点M的坐标，记作M（x,y,z）.并称x,y,z分别为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.特别地，坐标原点O的坐标为（0，0，0），x轴、y轴、z轴上的点的坐标分别为（x,0,0）,(0,y,0),(0,0,z),xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面上的点的坐标分别是（x,y,0）,(0,y,z),(x,0,z).设点M(x,y,z),则点M关于xOy面的对称点的坐标为（x,y,-z）,关于x轴的对称点的坐标为（x,-y,-z）,关于坐标原点的对称点的坐标为（-x,-y,-z）.类似地，可得到点M关于其他坐标面及坐标轴的对称点的坐标.二、空间两点间的距离公式给定空间两点M1（x1,y1,z1）,M2（x2,y2,z2）,过点M1，M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，这六个平面构成一个以M1M2为对角线的长方体.由初等几何和平面解析几何知识，求得空间两点间的距离公式为M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2如果点M2为坐标原点，即x2=0,y2=0,z2=0,则得点M1（x1,y1,z1）与坐标原点O的距离公式为OM1=x12+y12+z12第二节 向量的概念及基本运算一、向量的概念我们常常遇到一些既有大小又有方向的量，如力、速度、加速度等.我们称既有大小又有方向的量为向量.向量有两个要素:大小和方向.它可用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的指向表示向量的方向.二、向量的线性运算由力学上合力的平行四边形法则，我们来定义向量的加法运算.定义1 以定点O为起点作向量a和b，以它们为邻边作平行四边形，则以O为起点作平行四边形的对角线向量c称为a与b的和，记作a+b.向量相加也可以用三角形法则：以b的起点连接a的终点，则由a的起点到b的终点的向量c就是a与b的和.如果空间有多个向量相加，只要将它们依次由前一个向量的终点为起点作下一个向量，则由第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量即为所求的和向量.定义2 实数m与向量a的乘积是一个向量，记作ma，其模为|m|a|，其方向为：当m0时，ma与a同向；当m0时，ma与a反向；当m=0时，ma=0，方向任意.这种运算也简称为向量的数乘.三、向量的坐标表示式设在空间直角坐标系中的一个向量a，将a平行移动使其起点为坐标原点O，终点为M（a1,a2,a3）,过M点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，交三坐标轴于点P，Q，R，根据向量的加法法则，有a=OM=OP+OQ+OR设i,j,k分别为x轴、y轴、z轴正向的单位向量，则有OP=a1i,OQ=a2j,OR=a3k从而向量a可表示为a=a1i+a2j+a3k或记为a=a1,a2,a3上式称为向量a的坐标表示式（或坐标分解式），其中a1,a2,a3称为向量a的坐标.【例1】已知向量a=4,-1,3,b=5,2,-2,求a+b,a-b,2a-3b.【解】a+b=4+5,-1+2,3+(-2)=9,1,1a-b=4-5,-1-2,3-(-2)=-1,-3,52a-3b=8,-2,6-15,6,-6=-7,-8,12【例2】已知空间两点M1（2,1,-1）,M2（3,4,-2）,求向量M1M2的模和方向余弦.【解】M1M2=3-2,4-1,-2-(-1)=1,3,-1从而M1M2=12+32+(-1)2=11方向余弦为cos=111,cos=311,cos=-111四、两向量的数量积定义3设任意两向量为a与b，它们的夹角为,称乘积abcos为向量a与b的数量积，记作ab,即ab=abcos于是有W=FAB向量的数量积有如下的运算规律.（1）交换律:ab=ba.（2）结合律:(a)(b)=()(ab).（3）分配律:a(b+c)=ab+ac.利用向量的数量积的坐标式，可得两向量夹角的余弦的坐标表达式及两向量互相垂直的充分必要条件的坐标表示式.【例3】设|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为/4,求（a-b）(2a+b).【解】a-b2a+b=2a2+ab-2ab-b2=21-12cos4=2-1-2=-1五、两向量的向量积定义4设有两个向量a，b，它们的夹角为，由a，b可确定一个向量c，其模为|c|=|a|b|sin，其方向垂直于向量a与向量b所确定的平面，它的指向按右手规则从a转向b来确定，则称这样所确定的向量c为向量a与b的向量积，记作ab，即c=ab.由此可见，|ab|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积.向量积又称“叉积”或“外积”.由定义4可知，力F对支点O所产生的力矩M=OPF.向量积的运算符合下列规律.(1) 反交换律:ab=-ba,表示交换律对向量积不成立.(2) 结合律:(a)b=(ab)(为数).(3) 分配律:(a+b)c=ac+bc.【例5】设|a|=2,|b|=3,ab=3,求|ab|.【解】由数量积定义,当a与b的夹角为时,有cos=abab=323=12于是sin=1-cos2=32 (0,也可由cos=12,求出=13)从而ab=absin=2332=33第三节 空间平面及其方程一、平面的点法式方程在几何学中，通过一定点M0(x0，y0，z0)，且与一非零向量n=A,B,C垂直的平面是唯一确定的.若设平面上一动点M(x,y,z)，我们来建立动点所满足的轨迹方程，此即平面方程.A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.由点M的任意性可知，平面上点的坐标都满足上述方程，而不在此平面上的点其坐标不满足该方程，因此，上述方程就是所求的平面方程，称它为平面的点法式方程，其中的非零向量n称为平面的法向量.一个平面的法向量并不是唯一的，任何一个与该平面垂直的非零向量都可以作为该平面的法向量.【例1】求过点M(1,-2,2)且法向量为2,3,-1的平面方程.【解】因n=2,3,-1，于是由平面的点法式方程，得所求平面方程为2(x-1)+3(y+2)-(z-2)=0即2x+3y-z+6=0二、平面的一般式方程将平面的点法式方程中的括号去掉，并记D=-(Ax0+By0+Cz0)，则该方程可改写成Ax+By+Cz+D=0.所以，平面方程是关于x,y,z的三元一次方程.反之，任何一个关于x,y,z的三元一次方程Ax+by+Cz+D=0(A,B,C不全为零)一定表示一平面，事实上，若假设M(x0,y0,z0)是该方程的一组解，即Ax0+By0+Cz0+D=0.解出D=-(Ax0+By0+Cz0)，并代入方程Ax+By+Cz+D=0，整理得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.这正表示一个通过点M(x0,y0,z0),以n=A,B,C为法向量的平面方程.我们称方程Ax+By+Cz+D=0为平面的一般式方程.【例2】求通过三点A(0,1,2),B(3,-1,2)，C(-1,3,4)的平面方程.【解】AB=3,-2,0，AC=-1,2,2，而平面的法向量nAB，且nAC，则n=ABAC=ijk3-20-122=-4,-6,4又因为平面过点A(0,1,2),于是所求平面方程为-4x-6(y-1)+4(z-2)=0即-4x-6y+4z-2=0化简，得-2x-3y+2z-1=0三、平面的截距式方程利用平面的一般式方程，我们来讨论平面在空间直角坐标系中的一些特殊位置.(1)若D=0，方程为Ax+By+Cz=0，平面过原点；(2)若C=0，方程为Ax+By+D=0，因为n=A,B,0k，平面平行z轴或垂直于xOy面.特别地，当C=D=0时，方程为Ax+By=0，平面通过z轴.(3)若A=B=0,方程为Cz+D=0，因n=0,0,Ck，所以，平面垂直于z轴或平行于xOy面.特别地，当A=B=D=0时，方程z=0，此为xOy面.(4)若A，B，C，D均不为零，方程可化为x/-D/A+y/-D/B+z/-D/C=1.设a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,方程为x/a+y/b+z/c=1，平面与x轴、y轴、z轴分别有交点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，此方程称为平面的截距式方程，数a,b,c分别称为平面在x轴、y轴、z轴上的截距.四、两平面的夹角设两平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0和2：A2x+B2y+C2z+D2=0，则平面1和2的法向量分别为n1=A1,B1,C1和n2=A2,B2,C2，称法向量之间的夹角或-为平面1与2的夹角.由两向量垂直和平行的充要条件可得1和2垂直A1A2+B1B2+C1C2=0.1和2平行A1A2=B1B2=C1C2.【例4】求过点M0(1，4,3)且平行于平面1:x+4y-z=0的平面2的方程.【解】平面1的法向量n=(1,4,-1).因为12,所以可取n为平面2的法向量.根据平面的点法式方程有x-1+4(y-4)-(z-3)=0即x+4y-z-14=0五、点到平面的距离设平面:Ax+By+Cz+D=0，现求平面外一点P(x0,y0,z0)到该平面的距离.在平面上任取一点M(x,y,z),作向量PM=x-x0，y-y0，z-z0，它在的法向量n=A,B,C上的投影为PMn=PMn0=PMnn=Ax-x0+By-y0+Cz-z0A2+B2+C2=-Ax0+By0+Cz0+Ax+By+CzA2+B2+C2=-Ax0+By0+Cz0-DA2+B2+C2点到平面的距离为：d=PMn=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2【例5】求点(1,-1,2)到平面2x+y-2z+1=0的距离d.【解】d=21+1-1-22+122+12+(-2)2=23第四节 空间直线及其方程一、空间直线的一般式方程一般地，空间直线可以用不平行的两个平面的交线来表示.设有两个不平行的平面其方程为A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，则联立方程组A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0(A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例)称此为直线的一般式方程.二、空间直线的点向式方程设直线上任意一点M(x,y,z),作向量M0M=x-x0，y-y0，z-z0，那么有sM0M,由两向量平行的条件，可得该直线的方程为x-x0l=y-y0m=z-z0n上述方程称为直线的点向式方程(或对称式方程)，其中s=l,m,n称为直线的方向向量，而l,m,n称为方向数.若方向数l,m,n中有一个为零，如l=0，方程x-x0/0=y-y0/m=z-z0/n应理解为y-y0m=z-z0nx=x0这时因s=0,m,ni，所以该直线垂直于x轴或平行于yOz面.若直线方程为x-x0/l=y-y0/0=z-z0/0，此即y=y0，z=z0，该直线平行于x轴或垂直于yOz面.【例1】(1) 求过点P(1,0,0)，以s=-2,2,1为方向向量的直线l的方程；(2) 求过点P1(1,0,1),以s=0,2,-1为方向向量的直线l1的方程.【解】(1) l的点向式方程为x-1-2=y2=z1 (2) l1的点向式方程为x-10=y2=z-1-1即y2=z-1-1x=1三、空间直线的参数式方程在直线的点向式方程中，如果令比值为t，则有x=x0+lty=y0+mtz=z0+nt t(-,+)其中，t为参数，称为直线的参数式方程.四、三种直线方程的相互转化1. 点向式转化成一般式设直线点向式方程中方向向量的坐标分量l,m,n都不等于0，分列两个等号为两个等式，得ny-y0-mz-z0=0nx-x0-lz-z0=0或ny-mz+mz0-ny0=0nx-lz+lz0-nx0=0所得到的两个方程表示过点M0(x0，y0，z0),分别平行于x轴和y轴的平面.也就是说，以连续两个等号连接的等式组表示的直线，实际上表示了分列成两个等式后所表示的平面的交线.2. 一般式转化成点向式设相交成直线l的平面1，2的方程如前，则它们的法向量n1=A1,B1,C1,n2=A2,B2,C2,因为n1l，n2ln1n2l，所以可取s=n1n2=B1C1B2C2,-A1C1A2C2,A1B1A2B2为l的方向向量.任取z=z0，代入上式，解方程组A1x+B1y=-(C1z0+D1)A2x+B2y=-(C2z0+D2)得解(x0,y0)，点M0(x0,y0,z0)为交线l上一点.于是交线l的点向式方程为x-x0B1C1B2C2=y-y0-A1C1A2C2=z-z0A1B1A2B23. 点向式转化成参数式当点M在直线l上变动时，动向量M0M=x-x0，y-y0，z-z0与方向向量s=m,n,p的坐标成比例.现以t表示比值，即x-x0m=y-y0n=z-z0p=t转化为参数方程为x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt t(-,+)【例2】将x-y+z=22x+3y-z=1化为直线的点向式方程和参数式方程.【解】先求直线上一点，不妨设y=0，代入直线一般式方程，有x+z=22x-z=1，解得x=1，z=1，由此得直线上一点M0(1,0,1).又直线为两平面的交线，其方向向量s必同时垂直于两平面的法向量n1=1,-1,1，n2=2,3,-1，可取s=n1n2=ijk1-1123-1=-2,3,5于是，直线的点向式方程为x-1-2=y3=z-15参数式方程为x=1-2ty=3tz=1+t t(-,+)五、两直线的夹角设空间两直线L1,L2的方向向量分别为s1=l1,m1,n1,s2=l2,m2,n2,称它们的夹角或-为该两直线的夹角.因而有L1与L2垂直l1l2+m1m2+n1n2=0L1与L2平行l1l2+m1m2+n1n2cos=s1s2s1s2=l1l2+m1m2+n1n2l12+m12+n12l22+m22+n22六、直线与平面的夹角设平面的法向量n=A,B,C和直线L的方向向量s=l,m,n,以及它们的夹角,称/2-或-/2为直线L与平面的夹角.则有与L垂直Al+Bm+Cn与L平行Al+Bm+Cn=0cos=nsns=Al+Bm+CnA2+B2+C2l2+m2+n2【例4】求直线x-21=y-31=z-42与平面2x+y+z-6=0的交点.【解】直线的参数式方程为x=2+ty=3+tz=4+2t，代入平面方程并解得t=-1，于是，求得直线与平面的交点为(1,2,2).【例5】一直线过点(3,-4,0),且同时平行于平面2x+3y-z+1=0和平面x-4y+2z=0,求此直线的点向式方程.【解】由题意,直线的方向向量s同时垂直于两平面的法向量n1=2,3,-1和n2=1,-4,2,从而可取s=n1n2=ijk23-11-42=2,-5,-11于是求得直线的点向式方程为x-32=y+4-5=z-11第五节 曲面及其方程一、曲面方程的概念一般空间曲面也是满足某约束条件的点的轨迹.在建立了坐标系后，以M（x,y,z）表示动点，以F（x,y,z）=0表示构成的约束条件，则称x,y,z的三元方程F(x,y,z)=0为曲面的方程.在坐标系中描出满足三元方程的点，得到的就是曲面的图像.空间解析几何对曲面的研究主要有以下两个方面：据已给定的条件，求动点的轨迹，即建立曲面的方程；已知曲面的方程，研究曲面的形状和几何性质.二、球面球面是空间中到定点M0（球心）的距离为常数R（半径）的动点M的轨迹.若已经建立了空间直角坐标系Oxyz,M0坐标为（x0,y0,z0）,动点M的坐标为（x,y,z），则根据空间两点距离公式，有Mx,y,zx-x02+y-y02+z-z02=R2或=(x,y,z)(x-x0)2+y-y02+z-z02=R2上式称为球面在给定坐标系中的方程，简称球面方程.特别地，当定点M0是原点时，球面方程为x2+y2+z2=R2.【例1】方程x2+y2+z2-4x+2z=0表示怎样的曲面？【解】通过配方，把原方程写成（x-2）2+y2+(z+1)2=5,由此可知该方程表示球心为（2，0，-1）、半径为5的球面.三、柱面若动点在直线L上移动，同时直线L又沿给定曲线平行移动（简称动直线L沿定曲线平行移动），称这样的动点所形成的轨迹为柱面.定曲线称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线.【例2】指出下列方程所表示的曲面，并作出示意图.(1)x-12+z+22=9(2)x2a2+y2b2=1(3)z2=-y+a(4)-x2b2+z2a2=1【解】(1) 方程缺变量y，所以方程表示准线为xOz平面的圆x-12+z+22=9y=0,母线平行y轴的圆柱面，其图像如图所示.(2) 方程缺变量z，所以方程表示准线为xOy平面的椭圆x2a2+y2b2=1z=0,母线平行于z轴的椭圆柱面，其图像如图所示.（3） 方程缺变量x，所以方程表示准线为yOz平面的抛物线z2=-y+1x=0,母线平行于x轴的抛物柱面，其图像如图所示.(4) 方程缺变量y，所以方程表示准线为xOz平面的双曲线-x2b2+z2a2=1y=0,母线平行于y轴的双曲柱面，其图像如图所示.四、旋转曲面若动点在曲线上移动，同时曲线又绕定直线l旋转（简称曲线绕一条定直线l旋转一周），称这样的动点所形成的轨迹为旋转曲面，称曲线为旋转曲面的母线，称定直线l为旋转曲面的轴.考虑用如下一类特殊的旋转面:母线在某坐标平面上,旋转轴是该坐标面两坐标轴之一,通过类似的推导,的方程都可从母线方程按上述相同的规律得到.具体结果如下表所示:旋转轴母线方程x轴y轴z轴fx,y=0fx,y2+z2=0fx2+z2,y=0fx,z=0fx,y2+z2=0fx2+y2,z=0fy,z=0fy,x2+z2=0fx2+y2,z=0【例4】求出下列旋转曲面的方程：（1）xOy平面上的椭圆x2b2+y2a2=1绕x轴和y轴旋转；（2）xOz平面上的抛物线x2=az绕对称轴旋转；（3）yOz平面上的双曲线-y2b2+z2a2=1绕实轴和虚轴旋转；（4）xOy平面上直线y=ax+b绕x轴和y轴旋转.【解】(1) 绕x轴、y轴旋转所得旋转面的方程依次为x2b2+y2+z2a2=1,x2+z2b2+y2a2=1称此曲面为旋转椭球面(见图（a）).（2）绕对称轴（z轴）旋转所得旋转面的方程为x2+y2=az称此曲面为旋转抛物面(见图（b）).(3)绕实轴（z轴）旋转所得旋转面的方程为-x2+y2b2+z2a2=1称此曲面为双叶旋转双曲面(见图（c）)；绕虚轴（y轴）旋转所得旋转面的方程为-y2b2+x2+z2a2=1称此曲面为单叶旋转双曲面(见图（d）).(4)绕x轴旋转所得旋转面的方程为y2+z2=ax+b,即y2+z2=ax+b2是顶点在-ba,0,0的圆锥面(见图（e）)绕y轴旋转所得旋转面的方程为y=ax2+z2+b，即(y-b)2=a2(x2+z2)它是顶点在（0,b,0）的圆锥面.特别地，若b=0，母线为经过原点的直线y=ax,则绕x或y轴旋转而成的圆锥面的顶点都在原点(见图（f）)，则以x轴为旋转轴所得旋转面方程为a2x2=y2+z2以y轴为旋转轴所得旋转面方程为y2=a2(x2+z2)五、二次曲面若其方程为x,y,z的二次方程，则称它为二次曲面.可以证明，所有的二次曲面如果有意义，那么它的图像只有五类：椭球面、抛物面、双曲面（单叶或双叶）、锥面以及我们还没有学过的双曲抛物面（标准的方程形式为x2a2-y2b2=z,只是曲面的位