高中数学：3.4《等比数列1》课件（旧人教第一册上）.ppt

第一课时等比数列 一 关于国际象棋的传说 大家一定知道除了咱们中国外 印度也是四大文明古国之一 国际象棋就是印度人发明的 传说当年古印度的国王要奖赏国际象棋的发明者 问他有什么要求 发明者说 请在棋盘的第一个格子里放上一颗麦粒 在第二个格子里放上2颗麦粒 在第三个格子里放上4颗麦粒 在第四个格子里放上8颗麦粒 依此类推 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍 直到第64个格子 国王觉得这并不是很难办到的事 就欣然同意了他的要求 结果怎样呢 去荒岛探险的故事 有一个人要到荒岛去探险 走时家人要他多带点干粮 他说只要带一块饼就够了 因为只要每天吃所剩饼的1 2 那么每天都有吃的 而且永远也吃不完 结果呢 这个人不几天就饿死了 看下面的数列 1 1 2 4 8 16 2 81 27 9 3 1 3 125 25 5 1 发现 数列 1 从第二项起每一项与它前一项的比都为常数2 数列 2 从第二项起每一项与它前一项的比都为常数1 3 数列 3 从第二项起每一项与它前一项的比都为常数1 5 1等比数列定义 一般的 如果一个数列从第2项起 每一项与它前一项的比等于同一个常数 这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 an 1 an q q 等比数列的有关概念 观察数列 1 2 4 8 16 32 64 2 1 3 9 27 81 243 3 4 5 5 5 5 5 5 5 6 1 1 1 1 1 以上6个数列的公比分别为 公比q 2递增数列 公比q 3递增数列 公比d x 公比q 1非零常数列 公比q 1摆动数列 因为x的正负性不确定 所以该数列的增减性等尚不能确定 公比q 递减数列 等比数列的与等差数列的相对比 无论等差数列还是等比数列都至少有三项 无论等差数列还是等比数列都是从第二项起与前一项的关系 相同点 不同点 等差数列的公差或某一项可以为 但等比数列的公比或某一项不能为 问 常数列是等比数列吗 答 不一定是等比数列 这是因为 若此常数列为0 则此数列从第二项起 第二项与它前一项的比将没有意义 故非零数列才是等比数列 因此 既是等差数列又是等比数列的是不等于零的常数列 问 如果an 1 anq n n q为常数 那么数列 an 是否是等比数列 为什么 答 不一定是等比数列 这是因为 1 若an 0 等式an 1 anq对n n恒成立 但从第二项起 每一项与它前一项的比就没有意义 故等比数列中任何一项都不能为零 2 若q 0 等式an 1 anq 对n n仍恒成立 此时数列 an 从第二项起均为零 显然也不符合等比数列的定义 故等比数列中的公比q不能为零 所以 如果an 1 anq n n q为常数 数列 an 不一定是等比数列 小结 若一个数是等比数列 则1 an 0 即等比数列的每一项都不为0 2 q 0 公比是非零常数 3 q 1时 等比数列是常数列 若每一项均是非零数列 则这个数列既是等比数列 又是等差数列 如 3 3 3 3 4 q 0时 数列各项同号 q 0时 所有奇数项符号相同 所有偶数项符号相同 如 q 25 满足an 1 qan的数列不一定是等比数列 如 但反之成立 三 等比中项 观察如下的两个数之间 插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列 1 1 9 2 1 4 3 12 3 4 1 1 3 2 6 1 当ab 0时 在a与b中间插入一个数g 使a g b成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 问题2 是a b成等比数列的充要条件吗 思考 问题 是a b成等比数列的充要条件吗 等比数列的中项性质 等比数列从它的第二项起 每一项 有穷数列的末项除外 都是其前后两项的的等比中项 即亦即 3等比数列的通项公式 因为在一个等比数列里 每一项与它前一项的比都等于公比 所以每一项都等于它的前一项乘以公比 等比数列a1 a2 a3 a4 的公比是q 那么 a2 a1q a3 a2q a1q q a1q2 a4 a3q a1q2 q a1q3 由此可知 等比数列 an 的通项公式为 an a1qn 1 其中a1为首项 q为公比 等比数列通项公式的推导方法2 二 学以致用 已知等比数列的公比为q 第m项为 求 4等比数列通项公式的含义 an a1qn q cqn 这里c a1 q是一个不为零的常数 当q是不等于1的正数时 y qx是一个指数函数 而函数y cqx是一个不为零的常数与指数函数的积 因此 表示数列 cqn 各项的点都在函数y cqx的图象上 例如 当a1 1 q 2时 an 2n 2表示数列的点都在函数y 1 2 2x的图象上 注 在一般情况下等比数列不是特殊的指数函数 只有把an a1qn 1化为an qn a1 q且a1 q 1 q是不等于零的正数 时 an qn a1 q才表示一个特殊的指数函数 当c a1 q 1时 等比数列是特殊的指数函数 等比数列的通项公式练习1 求下列等比数列的第4 5项 2 1 2 2 4 4 8 1 5 15 45 例1已知数列的前n项和 求证数列是等比数列 并求出通项公式 an 2n 1 5例题讲解 例1一个细胞进行有丝分裂 每分裂一次个数就加倍 问 分裂5次后有多少个细胞 解 由于每分裂一次个数就加倍 所以 逐次分裂的细胞数组成等比数列 记为 an 其中a1 1 q 2 所以a6 1 25 32答 分裂5次后有32个细胞 例2一个等比数列的第2项与第3项分别是8与12 求这个数列的第1项与第4项 解得q 3 2 a1 16 3 因此a4 a1q3 16 3 3 2 3 18 答 这个数列的第1项是16 3 第4项是18 练习 已知等比数列 例3某种机器配件自投入市场以来 经过三次升价 单价由原来的16元升为128元 这种配件平均每次升价的百分率为多少 解 设平均每次升价的百分率是x 那么每次升价后的单价是升价前的 1 x 倍 将原单价与三次升价后的单价依次排列 就组成一个等比数列 记为 an 其中a1 16 a4 128 n 4 由等比数列的通项公式 得128 16 1 x 4 1 整理