高中数学：第一章：三角函数(复习）课件新课标人教A版必修4.ppt

三角函数 图象性质 任意角三角函数 基本关系式 诱导公式 高中数学知识体系 注意问题 方法指导 首页 结束放映 第三章立体几何初步第四章平面解析几何初步 高中数学总知识体系 第七章不等式第八章数列 极限 数学归纳法第九章复数第十章排列组合 二项式定理 第五章直线和平面第六章多面体和旋转体 第十一章直线和圆第十二章椭圆 双曲线 抛物线第十三章参数方程 极坐标 回首页 第一章集合 第二章函数概念与基本初等函数 2 角的度量 角度制 圆周360等分之一的弧所对的圆心角为1 角 弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度角 换算 180 1 弧度 57 17 45 57 3 1 弧度 一 任意角的三角函数 1 角的概念2 三角函数 3 终边相同的角与象限角的表示 2k k z 或 360 k k z 终边相同 x轴正半轴 2k k z x轴负半轴 2k k z 1 角的概念 1 正角 负角 零角的含义 返回 练习 2 三角函数 1 三角函数的定义 正弦sin 余弦cos 正切tan 余切cot 正割sec 余割csc 4 特殊角的三角函数值 3 三角函数的符号 正弦一二象限取正 余弦一四取正 正切一三取正 2 用线段表示三角函数 正弦线mp 余弦线om 正切线at 余切线 其中a 1 0 试画出其他象限角对应的三线 并说出正负 0 1 0 1 1 0 1 0 不存在 不存在 1 0 0 不存在 0 0 1 0 不存在 不存在 0 1 余切 正割 余割呢 又问 第一象限谁取正 第二 三 四象限呢 自己先试说说它们是怎样用这平面直角坐标系定义的 练习一 4题 c 2 把 75 化成弧度 并以弧度制写出与这个角终边相同的角的集合 b 详解 详解 解题提示 令k 1 0 1 2 3 4等列出几个值即可比较得 返回 回首页 解 设直线上一点p的坐标为 x y 其中x 0 y 2x 则r x2 y2 x2 2x 2 5 x sin 2x y r x 0 x 0 返回 题 简 设 的终边在直线y 2x上 那么sin 的值为 说明 这题极易选错 可判断对定义理解的透彻性 解 为第二象限角 2k 2k k z 2k 2k k z 即 是第三象限角 又k k k z 分别令k为奇数和偶数 可知为第一或第三象限角 同法可求得是第一或第二或第三象限角 注意不等式运算性质 返回 二 同角三角函数的基本关系式 1 关系式2 应用 2 利用上述关系 可以解决以下问题 1 已知某角的一个三角函数值 求其他各三角函数值 2 化简某些三角函数式 3 证明某些三角恒等式 详解 应够熟练吧 要再做3题吗 要 不 这是由定义得出的最基本性质 它与后面的诱导公式结合可出很多题 应充分熟练地掌握 返回 解 sin cos 而sin2 cos2 1 cos sin 2 sin2 cos2 2sin cos 1 又cos cos sin 返回 提示 显然cos 0 分子分母同除以cos 后代入即得 a 1 b 1 c 1 d 以上都不对 提示 原式 sec sec tan tan 又 为第三象限角 sec 0 从而得 c 返回 行了 用公式时都是把 看作锐角 先化简式子 最后再转化 三 诱导公式 1 常用的六组诱导公式2 利用诱导公式求任意角的三角函数值 1 常用的六组诱导公式 2 利用诱导公式求任意角的三角函数值 一般步骤 任意角的三角函数 0 到360 角的三角函数 任意正角的三角函数 0 到90 角的三角函数 查表 看公式 注意 做练习 返回 1 sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan cot 2k cot 2 sin sin cos cos tan tan cot cot 3 sin sin cos cos tan tan cot cot 4 sin sin cos cos tan tan cot cot 返回 还有三组可由这几组化出 较少用 你知道是哪三组吗 相当于第一象限的角都取正号 以下的各组呢 也要找找规律 提示 化简得 tan190 tan 180 10 tan10 tan100 tan 90 10 cot10 tan350 tan 360 10 tan10 sin1590 sin 1590 1440 sin150 sin30 cos 1860 cos 1800 1860 cos 60 cos60 或cos 1860 cos1860 cos 1860 1800 cos60 cot 960 cot 1080 960 cot120 cot60 tan1395 tan 1395 1440 tan 45 tan45 练习二 4题 2 cot10 tan190 tan100 cot350 sin1590 cos 1860 cot 960 tan1395 4 已知tan a2且 cos cos 求sec 2 计算 1 sin210 sin280 tan10 tan80 c 2 1 1 提示 化为sin210 cos210 tan10 cot10 这三小题方法与上题一样 应该能做对 详解 返回 回首页 题 已知tan a2且 cos cos 求sec 返回 四 三角函数的图象与性质 1 函数的图象与主要性质2 周期函数3 正弦型函数y asin x 的一些概念 性质 1 正 余弦函数 正 余切函数的图象与主要性质 r r 1 1 r r x x r且x k k z 在 2k 2k k z 在 2k 2k k z 在 k k k z 上都是减函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 2 2 返回 练习 1 1 2 周期函数和最小正周期的意义 3 正弦型函数y asin x 的振幅 周期 相位 初相及其图象与函数y sinx之间的关系 对于函数y f x 如果存在一个常数t 0 使得当x取定义域中的每一个值时 都有f x t f x 成立 那么函数y f x 叫做周期函数 t叫做f x 的周期 对于一个周期函数来说 如果在所有的周期中存在一个最小的正数 就把这个最小正数叫做最小正周期 三角函数的周期概指最小正周期 1 当a 0 0时 a称为该函数的振幅 t称为函数的周期 为角速度 x 称为函数的相位 称为函数的初相 2 当a 0 0 x r时 y asin x 的图象 可以看作把y sinx的图象上的所有的点向左 当 0 或向右 1 或伸长 01 或缩短 0 a 1 到原来的a倍 横坐标不变 解 函数化为y sin2x 4sinx 2 sinx 2 2 6 1 sinx 1 而二次函数y t 2 2 6在 1 1 上是增函数 sinx 1时 ymin 3 sinx 1时 ymax 5 注意 这里 左加右减 指的是x的位置变换 即 x 变为 x a 或 x a 见第一章 练习三 6题 3 函数y asinx b的最大值为2 最小值为 4 则a b 4 函数y asin x 其中 0 a 0 的图象如右 则函数的解析式为 5 函数y cos2x 4sinx 1的最大值为 最小值为 6 已知函数y log0 5cos2x 1 求定义域 值域 2 判断函数的奇偶性 3 求函数的单调区间 详解 b d 3 1 5 3 详解 详解 详解 返回 回首页 x x 题 下列函数中 既在区间 0 内递增 又是以2 为最小正周期的偶函数是 a y sinx b y 1 cos2 c y 2cosx d y cot 2 2 解 a 答案是以 为周期的函数 且在 上是减函数 可排除 c 答案中 t cosx在 0 单调递减 而y 2t为增函数 故该函数在 0 单调递减 排除 d 答案显然不是偶函数 且在 0 单调递减 也可排除 故选 b 其实 b 中函数可化为y sin2 还可继续化为y 1 cosx 分析可知满足题意 返回 注 用排除法解选择题是常用方法 题 函数y asinx b的最大值为2 最小值为 4 则a b 解 sinx的最大值为1 最小值为 1 该函数的最大值为 a b 而最小值为 a b 由题得 a b 2 a b 4 解得 a 3 b 1 注 利用sinx和cosx的最大值为1 最小值为 1 有时还要结合二次函数图象性质 如后面的第5题 来出题解题是经常的事所以应该经常想起这点 返回 题 函数y asin x 其中 0 a 0 的图象如右 则函数的解析式为 注 利用图象的直观性结合y asin x 曲线的特征确定a 的值 是理解曲线与图象位置关系的重要内容 可培养数形结合 待定系数法解题思想 返回 题 已知函数y log0 5cos2x 1 求定义域 值域 2 判断函数的奇偶性 3 求函数的单调区间 2 f x log0 5cos 2x log0 5cos2x f x x 是偶函数 返回 五 方法指导 1 坐标法2 主元法3 递归法4 几何模型法5 图象变换法 3 递归法 1 诱导公式可化任意角三角函数为锐角三角函数 2 诱导公式中的 角为任意角 确定符号时当锐角处理 3 研究周期函数图象性质时 可先归到一特殊周期研究 1 坐标法 数形结合法的表现 角的概念在平面直角坐标系中出现 能直观地说明角的内涵 终边相同的角 象限角等概念能把众多角归类 2 主元法 当问题涉及多种三角函数或多个角时 据条件选取其中一个三角函数或一个角为主元 把其他各三角函数或角进行变换 化为主元三角函数或同角三角函数 简单说成 化同名 化同角 切割常化弦 返回 证明 在平面直角坐标系中 取单位圆 如图 依定义可知 sin mp tan at 而 即为弧ap的长 考虑三角形omp和oat及扇形oap的面积 有s omp s扇形oap s oat 再据三角形及扇形面积计算得 mp 弧长ap at 故命题成立 注 该结论应记住 4 几何模型法 单位圆能直观地解释三角函数 因而成为几何工具 主要应用有 1 用三角函数射影法作基本三角函数的图象 2 直观地表示简单三角方程或简单三角不等式的解集 3 证明诱导公式及一些重要的三角等式和不等到式 5 图象变换法 讨论正弦型函数y asin x h a 0 0 的图象作法 除了用 五点法 外 还有图象变换法 平移变换 伸缩变换 例 已知 0 90 求证 sin tan 六 注意问题 1 区分 角 2 判断符号3 恒等变换4 活用公式5 由形察数6 对称问题 1 区分 角 主要指当角相同时 三角函数值相等 而当三角函数值相等时 角不一定相等 特别是终边相同的角并不就是相同的角 初学三角函数时常会把它们混在一起 2 判断符号 一指诱导公式中各符号的判断 二指利用 一倒二商三平方 的 平方关系 求值时 需根据角的范围来确定平方根号前的 或 号 看个例题 如 sin 0 5 360 450 则 390 千万不能写成了30 如果用弧度制写更易出错 返回 3 恒等变换 主要指在化简或证明过程中 必须在定义域上对式子进行保 值 变 形 避免会改变定义域的变换 这在下一章里更多出现 要注意 4 活用公式 在化简求值等变形中 要合理决定变换的简捷程序 善于观察角 如x 30 和60 x互余 x 45 与135 x互补等 这也在下一章更多见 5 由形察数 这是数形结合思想的一个方面 既可从图形中发现一些函数性质 又可从图形中得到函数解析式 看个例题 试做一题 答案为 1 你做对了吗 返回 这章又结束了 你学到了什么