不定积分的方法总结.doc

不定积分的方法总结不定积分在高等数学中占有非常重要的地位，不管是在教师资格考试还是教师招聘考试中都有出题，另外不定积分的学习为以后学习定积分计算打下了坚实的基础，所以对于这方面的内容，下面是小编精心收集的不定积分的方法总结，希望能对你有所帮助。不定积分的方法总结教学过程：在实际问题的解决过程中，我们不仅要用到求导数和微分，还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本问题之一-求不定积分.一、原函数引例1：已知物体运动方程s s(t)，则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过来,已知物体的速度v是时间t的函数v v(t),求物体的运动方程s s(t),使它的导数s (t)等于v v(t),这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P是时间t的函数P P(t),则该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P (t).反之,若已知某产量的变化率是时间t的函数P (t),求该产品产量函数P(t),也是一个求导数运算的逆运算的问题.2.【定义5.1】（原函数）设f(x)是定义在区间I上的函数若存在可导函数F(x)，对 x I均有F (x) f(x)ordF(x) f(x)dx,则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数.例如：由(sinx) cosx知sinx是cosx的一个原函数；又(sinx 5) cosx,(sinx c) cosx（c是常数），所以sinx 5,sinx c也都是函数cosx的一个原函数.再如：由(2x3) 6x2知2x是6x的一个原函数；32(2x3 c) 6x2，所以2x3 c（c是常数）也是6x2的一个原函数注意：没有指明区间时，应默认为区间就是函数定义域二、不定积分1原函数性质观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质(1)若f(x) C(I),则f(x)存在I上的原函数F(x).(2)若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则F(x) C都是f(x)的原函数,其中C为任意常数.(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x) G(x) C.证明： F(x) G(x)F (x) G (x) f(x) f(x) 0.C R, s.t.F(x) G(x) C.(4)设F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数为F(x) C（其中C为任意常数）.2.【定义5.2】函数f(x)在I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分,记作 C R,s.t. f(x)dx.即若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则有 f(x)dx F(x) C,C为任意常数.说明：(1) -积分号；(2)f(x)-被积函数；(3)f(x)dx-被积表达式.(4)x-积分变量.3.结论：连续函数一定有原函数f(x)若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.提问：初等函数在其定义区间上是否有原函数？例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx）（一定有原函数，但原函数不一定还是初等函数.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2解（1）(x) 3x，32233xdx x C.x6 x655（2） C. x, xdx 6 6例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x1 1 x2dx arctanx C.1提问： dx arccotx C对吗？1 x21例3求 dx.x11解: (lnx) , dx lnx C.xx例4:某商品边际成本为100 2x,则总成本函数为C(x) (100 2x)dx 100x x2 C.3导数与不定积分的关系f (x)dx f(x) C.(1)* df(x) f(x) C.(1)df(x)dx f(x). dx(2)*d f(x)dx f(x)dx.(2)可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.提问:如何验证积分的结果是正确的?(积分的导数是被积函数时正确)二、不定积分的几何意义如图： f(x)dx F(x) C，函数f(x)的不定积分表示斜率为f(x)的原函数对应的一簇积分曲线.在同一点x0处积分曲线簇的切线平行.此曲线蔟可由F(x)沿y轴上下平行移动而得到积分曲线：函数f(x)原函数y F(x)的图形称为f(x)的积分曲线.不定积分的几何意义：f(x)的不定积分是一簇积分曲线F(x) C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线互相平行.例5设曲线通过点P(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线为y f(x),依题意知x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,2于是f(x) x C,由f(1) 2 C 1,所求曲线方程为y x 1.提问：如何验证积分的结果是正确的？（结果求导必须是被积函数）小结：F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数F(x) c为f(x)的不定积分，即2f(x)dx F(x) c注意当积分号消失时常数产生熟记积分公式，注意将被积函数恒等变形后用公式计算不定积分课后记：存在的问题不能正确理解几何意义；计算错误较多，找不对原函数，写掉积分常数C.【提问】判断下列结论是否正确（不正确说明理由）(1)3dx 3x C.(2)xdx(3)515x C6 C.(4) 1x2 1x C.(5) 1x lnx C.(6) 5xdx 5xln5 C.(7) 2exdx ex C.(8) 2sinxdx cosx C.(9) 11 x2dx arctanx c ar