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浅谈最值问题解题思路金清中学 管韶喜【摘要】：函数的最值是高考常考的内容之一，并且在处理最值问题时，技巧性强，方法多样。学生往往遇到具体问题不知该如何选择方法解决。最值问题的处理常用的方法有不等式法，消元法，换元法，判别式法等。由于学生对于最值问题处理不当往往在高考中失分。教师在课堂教学中一方面注重解题技巧的培养，另一方面也应注重数学本质的渗透。【关键词】：最值求解；解题技巧；应用意识高中数学课程标准的课程理念中指出，应发展学生的数学应用意识。高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活的联系。在大量的日常生活和社会实践中，我们经常会碰到一些最优问题，例如利润最高、成本最低、时间最少等。其实这些最优的实际应用问题，隐含着数学中变量之间的相互关系，我们可建立相关的函数关系，转化成求函数的最值问题。同时，最值问题也是高中数学函数性质研究中最重要的问题之一，在高考各类题型中如数列、三角函数、解析几何、立体几何等渗透地越来越多。所以，研究函数的最值问题显得尤为重要。因其涉及的知识面广，方法因题而异，本文就几种常见解法谈谈在最值问题中的应用，与同行商榷。1、基本不等式在最值问题的应用苏格拉底说过，“我假定我们承认有这么个事物叫相等，不是砖头与砖头、石头与石头的相等，而是没有任何差别的绝对相等”。我想，在大多数数学人的眼中相等只是相对的，不等才是绝对的。不等关系与相等关系都是客观存在的基本数量关系，也是数学研究的重要内容。基本不等式是解决最值问题的其中一个方法，也是辅助解决某些问题的工具性手段。1.1二元倒数，乘1展开例1（1）、已知正实数满足则的最小值为 ；学生常见错解： 即 分析：为什么学生会犯这种错误？其实本质上是对应用基本不等式求最值“问题需要适当的情境”即“一正、二定、三相等”理解的还不够透彻。多次应用不等式求最值必须满足等号能否同时成立。倘若本题能巧妙利用“1”，则可一步到位求解最值。正解如下： 当且仅当时等号成立，即取到最小值。例1（2）、求函数的最小值.分析：本题看似没有任何的条件，只是简单求三角函数的最值，这时就需要我们充分挖掘题目隐含的条件。在三角函数中有，那么本题就转化成跟上题结构相似的，进而转化运用基本不等式求最值。解： 下面展开跟上题类似，在此不再详细解答。上述方法，适用于是在有一个已知条件的前提下可以考虑，特别是已知条件可以转化成1的情况，而对于一些隐含的条件需要我们充分挖掘和利用。1.2待定系数，配凑所求例2（1）、求函数的最值.分析：函数最值包括了最大值和最小值，通过观察可发现这是一个奇函数，即.我们只需求出其最大值，那么最小值也相应的可以知道。此函数是一个乘积的形式，去寻找和是否为一个定值，可发现平方和并非是一个定值，此时不能直接采用重要不等式，需通过配凑进而使用. 解： 当且仅当时，等号成立.例2（2）、设则的最小值为 .分析：式子结构较多，这时可整体解决或分离单独求解。通过观察发现含有分式，可去凑一个倒数使得乘积是一个定值。则，（由符合一正的条件才可使用基本不等式）。发现经过配凑多了一个，因此原式还剩。将上述联立，原式.当且仅当 即 时，取到最小值为4.由此可以发现，基本不等式本质上就是和积之间的相互转化，转化过程中会遇到系数和次数的问题。而待定系数法去配凑就可以使得积或者和得到一个定值进而使用基本不等式。2、换元、消元在最值问题的应用数学问题的解决，通常是将一系列的问题进行转化、化归及化简。换元、消元的本质是进行转化，转化成我们熟悉或者能够解决的函数，其蕴含的分析和解决问题是最为基本的数学思想方法。将复杂的问题简单化、将陌生的问题熟悉化、将未知的问题已知化。2.1换元2.1.1上下异次，低次换元例3、函数的最小值为 .分析：此函数是一个分式函数，可以发现上下次数是不同的，这时将低次的整体换元，但换元之后应特别关注换元之后变量的取值范围。 解：设，则2.1.2二元两组，同步换元例4、已知则的最小值为 .分析：此函数含有两个未知量，并由两个分式所构成，可将两个分母同时进行换元。解：设 即 ，则原式= ，当且仅当取到等号。2.2消元在一个式子中，当出现未知量个数为两个、三个甚至四个以上时，第一个想法是先将未知量减少。倘若减少到一个则就是普通函数，如若减少到两个则可通过不等式倒数的形式求解（前面已经提到过，不再详细说明）。例5、已知实数满足且则的最小值为 .分析：发现目标函数中含有两个未知量，优先进行消元，可用前面等式关系得到达到消元目的。则原式=，一经整理发现其实问题转化为求解分式函数中最值问题上下异次，低次换元。此法在上面已详细讲过，故不再重复。通过上面几个例题可以发现，解决数学问题的方法有千种万种。但每个知识点并不是独立存在的，而是相互关系，相关贯穿。需要学生站在一个宏观的角度去整体把握一道题目，切忌生搬硬套。3、判别式法在最值问题的应用例6（1）、求函数的最大值.分析：本题分式函数为上下同次型分式，可进行适当转化为上下异次进而求最值，在此不再详解。本题将利于判别式法来求解二次分式函数最值。 解： 又时， 时，且综上可知，函数最大值为.例6（2）、设为实数，若，则的最大值为 .分析：此等式最高次为两次，可令整体打包，将代换进等式得到关于的一元二次方程，进而利用判别式法求出的取值范围，即的取值.在应用判别式法求最值时，特别注意以下几点：式子最高次为二次；关注变量的取值范围，最好在实数范围内，如若限定变量的开闭区间则不可用判别式法。4、其他方法解决最值问题常用的还有配方法、三角参数法、数形结合法等，遇到具体的题目还需具体分析。在实际的解题过程中，观察有方向，分析有重点，知识用得上，方法有效力，才可在数学海洋中游刃有余。总之，在新高考改革下，数学教学要由原来的因材施教走向因材施学，让学生学习