大学物理2009年B下学期期末计算题总结.pdf

1 1 20082008年大学物理年大学物理年大学物理年大学物理B B下考试大纲下考试大纲下考试大纲下考试大纲 一 分数比例 一 分数比例 振动和波动振动和波动 26分 光学分 光学 35分 相对论 分 相对论 12分 热学分 热学 9分 量子分 量子 18分 分 考到一维无限深势阱 考到一维无限深势阱 二 题型与考点 二 题型与考点 选择题选择题 填空题 填空题 共计共计51分 分 计算题 计算题 共计共计49分 分 计算题考点 计算题考点 1 振动方程 振动方程 10分 分 2 波动方程 波动方程 10分 分 3 薄膜干涉 薄膜干涉 10分 分 4 光栅衍射 光栅衍射 10分 分 5 相对论 相对论 9 分 分 三 以教材和练习册题目为主三 以教材和练习册题目为主 不考的内容 不考的内容 光的双折射 洛伦兹速度变换 光的双折射 洛伦兹速度变换 2 求解简谐振动的典型问题 求解简谐振动的典型问题 求解简谐振动的典型问题 求解简谐振动的典型问题 1 给出振动系统 证明物体的运动 是简谐运动 给出振动系统 证明物体的运动 是简谐运动 2 已知物体作简谐运动 由系统的力学 性质及初始条件求出振动表达式 或 由振动曲线求出振动表达式 已知物体作简谐运动 由系统的力学 性质及初始条件求出振动表达式 或 由振动曲线求出振动表达式 3 已知振动表达式 求已知振动表达式 求等 及 等 及 FaA 1 振动方程 振动方程 10分 分 注意 注意 1 振动方程用余弦函数的形式 振动方程用余弦函数的形式 2 求初相位或某一时刻相位时 用旋转矢量的方 法较简单 要画出旋转矢量图 求初相位或某一时刻相位时 用旋转矢量的方 法较简单 要画出旋转矢量图 3 m 0 l 0 x x x o 弹簧原长弹簧原长 挂挂m后伸长后伸长 某时刻某时刻m位置位置 f 伸 长伸 长 受弹力受弹力 平衡位置平衡位置 例 例 一个轻质弹簧 竖直悬挂 下端挂 一质量为 一个轻质弹簧 竖直悬挂 下端挂 一质量为m的物体 今将物体向下拉一 段距离后再放开 的物体 今将物体向下拉一 段距离后再放开 证明 证明 物体将作简 谐振动 物体将作简 谐振动 k 4 因此 此振动为简谐运动 因此 此振动为简谐运动 以平衡位置以平衡位置O为原点为原点 证明 证明 找出平衡位置找出平衡位置 mgkx 0 k mg x 0 kx kxkxmg xxkmgF 0 0 m 0 l 0 x x x o f k 5 由题可知 由题可知 k m x0 v0 代入公式可得 代入公式可得 6 02 0 72 0 1 srad m k m v xA04 0 2 2 02 0 又因为又因为 x0 为正 初速度为正 初速度 v0 0 可得 可得0 因而因而简谐振动的方程简谐振动的方程为 为 m 6cos 04 0tx 解 解 要求振动方程 只要确定要求振动方程 只要确定 A 和和 即可 即可 0cos 0 Ax 0cos 或或0 又由又由 0sin 0 A 0sin 例 例 一弹簧振子系统 弹簧的弹性系数为一弹簧振子系统 弹簧的弹性系数为 k 0 72N m 物体的质量为 物体的质量为 m 20 g 今将物体从平衡位置沿桌面向 今将物体从平衡位置沿桌面向 X轴正向拉长到轴正向拉长到 0 04m 处静止释放 处静止释放 求 求 振动方程振动方程 初相位也可以用旋转矢量的方法确定 初相位也可以用旋转矢量的方法确定 6 例 例 已知振动曲线 已知振动曲线 求 求 振动表达式振动表达式 tx 图图 cmx st o 2 2 4 4 1解 解 设振动表达式为 设振动表达式为 cos tAx 由振动曲线知 由振动曲线知 cmA4 初始条件 初始条件 0 20 0 cmxst 1 时 时 cos 0 Ax 即 即 cos42 3 2 又由又由 0sin 0 初相位也可以用旋转矢量的方法确定 初相位也可以用旋转矢量的方法确定 2 7 tx 图图 cmx st o 2 2 4 4 1 3 2 cos 42 即 即 2 33 2 又由又由 0 3 2 sin 1 A 21cmxst 1 时 时 由由 2 1 3 2 cos 注意 这里不能等于 注意 这里不能等于 3 0 3 2 sin 于是于是运动学方程运动学方程为为0 12cos 3 xtm 初相位也可以用旋转矢量的方法确定 初相位也可以用旋转矢量的方法确定 9 3 cos 120 2 t dt d a 3 sin 120 t dt dx 0 19 m s 1 03 m s2 2 当当t 0 5s 时 质点的时 质点的位置 速度 加速度位置 速度 加速度 于是 于是运动学方程运动学方程为为0 12cos 3 xtm 0 12cos 3 xt t 0 5 0 104m t 0 5 t 0 5 10 当当x 0 06m时 由时 由cos xAt 可得可得0 060 12cos 333 tt 质点沿质点沿x 负方向运动到负方向运动到x 0 06m所需时间最短 即所需时间最短 即 0 12 sin 0 3 vt 0 14 由旋转矢量法可知 质点第一次通过平衡位置 时 振幅矢量转过的角度为 由旋转矢量法可知 质点第一次通过平衡位置 时 振幅矢量转过的角度为 5 326 t 83 0st 3 o x y A r 求 求 2 从初始时刻开始第一次通过平衡 位置所需时间 从初始时刻开始第一次通过平衡 位置所需时间 解 例 解 例 A 0 12m T 2s t 0 时 时 x0 0 06m v0 0 15 求 求 3 T 4 时刻质点的位置 速度和加速度 时刻质点的位置 速度和加速度 3 cos 12 0mtx 由振动表达式 由振动表达式 解 解 sin tA dt dx 可得 可得 m s 3 tsin 120 cos 2 tA dt d a 3 cos 06 0 22 smt 将 将t T 4 0 5 s 代入可得 代入可得 m s 18 0 03 1 2 sma 16 3 如果求 如果求 在在x 0 06m 且向 且向x 轴负方向 运动时刻的速度和加速度 轴负方向 运动时刻的速度和加速度 3 cos 120 2 t dt d a 3 sin 120 t dt dx 3 2 2 A 将相位代入得 将相位代入得 3 cos 120 2 t dt d a 3 sin 120 t dt dx 0 33 m s 0 59 m s2 3 t关键是找出相位 关键是找出相位 o x 3 2 17 求 求 4 从从x 0 06m 向向x 轴负向运动 第一次 回到平衡位置所需的时间 轴负向运动 第一次 回到平衡位置所需的时间 思考 思考 3 2 o x y A r 解 解 325 236 t 83 0st 18 解 解 用用解析法 解析法 解析法 解析法 合成后合成后 不变 不变 2cos tAx cos 2 1221 2 2 2 1 AAAAAm1 2211 2211 coscos sinsin AA AA tg 3 3 例 例 求合振动方程求合振动方程 已知两同方向 同频率谐振动 已知两同方向 同频率谐振动 6 2cos 4 1 mtx 6 5 2cos 3 2 mtx 6 12 5 4cos3cos 0 66 xx 合振动方程 合振动方程 mtx 6 2cos 1 因为当因为当t 0时时 4 19 用旋转矢量法 用旋转矢量法 用旋转矢量法 用旋转矢量法 6 5 2 6 1 4 1 cmA r 3 2 cmA r 6 1 cmA r 合振动方程 合振动方程 mtx 6 2cos 1 6 2cos 4 1 mtx 6 5 2cos 3 2 mtx 例 例 求合振动方程 已知两同方向 同频率谐振动 求合振动方程 已知两同方向 同频率谐振动 20 例 例 已知两谐振动的曲线 它们是同频率的谐振动 已知两谐振动的曲线 它们是同频率的谐振动 求 求 合振动方程合振动方程 解 解 由图知由图知 cm5 21 AA s1 0 21 TTT 2 20 0 10 x0 10 v 2 1 2 cm 220cos 5 1 tx cm 20cos 5 2 tx 振动振动1在在t 0时 振动 时 振动2在在t 0时 时 5 20 cmx 0 20 v 5 5 cmx st 0 05 01 0 1 2 xO 1 M 2 M 21 由旋转矢量法 由旋转矢量法 2 2 2 1 00MMA cm25 4 5 cm 4 5 20cos 25 tx xO 1 M 2 M A cm 220cos 5 1 tx cm 20cos 5 2 tx 4 5 22 a b a x x o 例 例 一立方体木块浮于静止的水中 其浸入水中的高 度为 一立方体木块浮于静止的水中 其浸入水中的高 度为a 现用手指将木块轻轻压下 使其浸入水中的 高度为 现用手指将木块轻轻压下 使其浸入水中的 高度为b 然后放手 任其自由振动 然后放手 任其自由振动 1 试证明 若不计水的粘滞阻力 木块将作简谐 振动 试证明 若不计水的粘滞阻力 木块将作简谐 振动 2 求其振动周期和振幅 求其振动周期和振幅 3 若自放手时 开始计时 写出振动方程 若自放手时 开始计时 写出振动方程 23 a a x x o 平 衡 位 置 任 意 位 置 平衡时 平 衡 位 置 任 意 位 置 平衡时 设木块的截面积为 设木块的截面积为 水的 密度为 水的 密度为 木块的质量为木块的质量为m SaFmgg 浮浮 Sam 任意位置木块受到的合外力为 任意位置木块受到的合外力为 gxSgSxagSa FmgF 浮浮 合外力和位移成正比 方向和位移相反 木块作谐振动 合外力和位移成正比 方向和位移相反 木块作谐振动 24 2 2 td xd SagxS gxSF 0 2 2 x a g td xd a g g a T 2 a a x x o 平 衡 位 置 任 意 位 置 平 衡 位 置 任 意 位 置 Sam 而而 由牛顿定律由牛顿定律 amF 5 25 tcos x A设振动方程为 设振动方程为 0 时当 时当 t0 00 abx由初始条件 由初始条件 2 2 02 0 xA则则 ab t a g abxcos 振动表达式为 振动表达式为 0sinA 0 由 由 0 0 0 xQ 26 例 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球 弹簧伸 长量为 的小球 弹簧伸 长量为b 用手将小球上托使弹簧保持自然长度后放手 用手将小球上托使弹簧保持自然长度后放手 求证 求证 放手后小球作简谐振动 并写出振动方程 放手后小球作简谐振动 并写出振动方程 自然 长度 自然 长度 b 平衡 位置 平衡 位置 0 x x 27 静平衡时有 静平衡时有 证明 证明 自然 长度 自然 长度 b 平衡 位置 平衡 位置 0 x x 0 kbmg 在任意位置在任意位置x处 小球所受到的合外力为 处 小球所受到的合外力为 xbkmgF 可见小球作谐振动 可见小球作谐振动 xk 以平衡位置为坐标原点 向下为 轴正向 以平衡位置为坐标原点 向下为 轴正向 28 2 2 td xd mxk 0 2 2 x m k td xd 即 即 b g m k 得 得 tcos x A设振动方程为 设振动方程为 0 时当 时当 t0 00 bx由初始条件 由初始条件 xbkmgFkx 29 tcos x A设振动方程为 设振动方程为 2 2 02 0 xA则则 b 或或0 0 0 x arctg cosSIt b g bx 振动表达式为 振动表达式为 0 时当 时当 t0 00 bx由初始条件 由初始条件 cos k mg SIt m k x 或为 或为 若已知 若已知k m x 此时 此时 初始条件初始条件为 为 自然 长度 自然 长度 b 平衡 位置 平衡 位置 0 x x cos0A 2 0sin 0 AQ 2 0sin t y y 处时处时00 xt 解 解 设原点处质点的振动方程为 设原点处质点的振动方程为 设原点处质点的振动方程为 设原点处质点的振动方程为 y A v O m x ty 2 1 cos 0 1 mtyo 2 cos 0 1 T 2 mA0 1 1 波动方程 波动方程 例 例 一平面简谐波沿一平面简谐波沿O x 轴正方向传播 已知振 幅 在时坐标 原点处的质点位于平衡位置沿 轴正方向传播 已知振 幅 在时坐标 原点处的质点位于平衡位置沿O y轴正方向运动 求 轴正方向运动 求 0 t m0 2 m0 1 As0 2 T 2 求波形方程 求波形方程 3 处质点的振动方程 处质点的振动方程 m5 0 x s0 1 t 波动方程为 波动方程为 波动方程为 波动方程为 33 2cos x T t Ay 2 另解另解写出波动方程的标准式 写出波动方程的标准式 m xt y 2 0 20 2 2cos 0 1 波动方程为 波动方程为 0 0 t y y 处时处时00 xt y A v O 1 波动方程 波动方程 例 例 一平面简谐波沿一平面简谐波沿O x 轴正方向传播 已知振 幅 在时坐标 原点处的质点位于平衡位置沿 轴正方向传播 已知振 幅 在时坐标 原点处的质点位于平衡位置沿O y轴正方向运动 求 轴正方向运动 求 0 t m0 2 m0 1 As0 2 T 2 求波形方程 求波形方程 3 处质点的振动方程 处质点的振动方程 m5 0 x s0 1 t 34 x msin m 0 1 1 2 求波形方程 求波形方程 s0 1 t m 2 cos m 0 1 1 xy 波形方程波形方程 s0 1 t 2 m0 2s0 2 2cos m 0 1 xt y o m y m x 2 0 1 0 1 0 时刻波形图时刻波形图s0 1 t 35 3 处质点的振动方程 处质点的振动方程 m5 0 x scos m 0 1 1 ty 2 m0 2s0 2 2cos m 0 1 xt y 处质点的振动方程处质点的振动方程m5 0 x 0 m y 1 0 1 0 s t2 0 O y 1 2 3 4 1 2 3 4 处质点的振动曲线处质点的振动曲线m5 0 x 1 0 36 解 解 1 比较法 比较法 2 42 2cos 50 xt y T t Ay 2cos o x 波沿 波沿x 轴轴正正方向传播 方向传播 A 0 5m T 2s 1 2Hz 4m u T 2m s 原点的初位相 原点的初位相 o 2 求 求 1 此波的传播方向 波的振幅 周期 频率 波长和波速 以及坐标原点的振动初相 此波的传播方向 波的振幅 周期 频率 波长和波速 以及坐标原点的振动初相 2 x 2m处质点的振动方程 及处质点的振动方程 及t 1s 时该质 点的速度和加速度 时该质 点的速度和加速度 3 x1 1m和和x2 2m两点的相位差 两点的相位差 例 例 已知波动方程 已知波动方程 SI 2 1 2 1 cos50 xt y 7 37 2 将将x 2m代入波动方程就得该处质点的代入波动方程就得该处质点的振动方程振动方程 m 2 cos 50 t y t 1s 时该质点的时该质点的速度和加速度速度和加速度为 为 0 5 sin 2 dy t dt 2 0 5cos 2 d at dt t 1 0 5 m s t 1 0 3 x1 1m 和和x2 2m 两点的相位差 两点的相位差 2 12 xx 2 12 4 2 2 1 2 1 cos50 xt y 38 例 例 平面简谐波沿平面简谐波沿ox轴正向传播 轴正向传播 u 5m s 已知坐标 原点的振动曲线如图 已知坐标 原点的振动曲线如图 求 求 波动方程 波动方程 x 5 4 处质点的振动方程 处质点的振动方程 t 3s 时其波形方程 时其波形方程 解 解 0 0 02cos m 22 yt 由图知 由图知 O点处的振动方程 点处的振动方程 0 02mA 2 s4T 2 2T 波动方程为 波动方程为 cos x yAt u 0 02cos m 252 x t t s y m 0 02 0 02 0 1 2 3 4 39 m20uT 0 02cos m 252 x t 给定 得振动方程给定 得振动方程 54x cos 54 0 02 252 yt cos m0 023 2 t cos x yAt u 波动方程为 波动方程为 给定时间 得波形方程给定时间 得波形方程 s3t x y 0 02cos 3 252 m0 02cos 10 x 如果已知的是某如果已知的是某x0点的振动图形而不是原 点 该如何计算 点的振动图形而不是原 点 该如何计算 40 例 例 如图为如图为t 0时刻的波形 平面简谐波向右移动速 度 时刻的波形 平面简谐波向右移动速 度u 0 08 m s 求 求 原点处的振动方程 波动 方程 原点处的振动方程 波动 方程 P 点的振动方程 点的振动方程 a b 两点振动方向 两点振动方向 解 解 设原点处质点的振动 方程为 设原点处质点的振动 方程为 2 02 m4 0 T 2 u2 0 cos yAt 5 2 4 0 08 02 t 0 时 时 y0 0 v0 P Q又 所以波沿 又 所以波沿x 轴轴负负向传播 设波动方程为 向传播 设波动方程为 cos u x tAy o my mx 1 1 2 4 P 8 43 由波形图知 由波形图知 t 0 5s 时 时 x 0 处质点的处质点的 y0 0 v0 0 2 2 波动方程为 波动方程为 设波动方程为 设波动方程为 cos u x tAy 由旋转矢量可知 由旋转矢量可知 5 0 时的相位处的质点在时的相位处的质点在stx5 00 2 2 5 045 0 可得 可得 2 m x ty 2 8 4cos 1 例 例 如图为一平面简谐波在如图为一平面简谐波在t 0 5 s时刻的波形 此 时 时刻的波形 此 时P点的振动速度点的振动速度vP 4 m s 求 求 波动方程 波动方程 u o my mx 1 1 2 4 P o y 44 例 例 一平板玻璃 一平板玻璃 n1 1 50 上有一层透明油膜 上有一层透明油膜 n2 1 25 要使波长 要使波长 6000 的光垂直入 射无反射 的光垂直入 射无反射 求 求 薄膜的最小膜厚薄膜的最小膜厚e 解 解 先求出两反射光线的光程差 先求出两反射光线的光程差 2 2en 反反 半半 2en2 无反射意味着反射光出现暗纹 所以无反射意味着反射光出现暗纹 所以 2 12 2 2 ken 反反 k 0 1 2 1 50 e 1 25 3 薄膜干涉 薄膜干涉 10分 分 要要e最小 最小 k 0 2 min 4n e 1200 1 2 10 7m 45 例例 为增强镜头的透射光为增强镜头的透射光 往往在镜头 往往在镜头 n3 1 52 上镀一层 上镀一层MgF2 薄膜 薄膜 n2 1 38 使对人眼和感光 底片最敏感的黄绿光 使对人眼和感光 底片最敏感的黄绿光 550 nm 反射最小 假设光 垂直照射镜头 反射最小 假设光 垂直照射镜头 求 求 MgF2 薄膜的最小厚度 薄膜的最小厚度 解 解 2 12 k 321 nnn e 1 n 2 n 46 1 测量金属细丝的直径 测量金属细丝的直径 将金属丝夹在两薄 玻璃片之间 形成劈 尖 用单色平行光照射 形成等厚干涉条纹 将金属丝夹在两薄 玻璃片之间 形成劈 尖 用单色平行光照射 形成等厚干涉条纹 L D sin 由 由 n l 2 sin nL D l 2 有 有 5 劈尖干涉的应用 劈尖干涉的应用 D L l L n D 2 金属丝直径为 金属丝直径为 47 b a 工件工件 标准平面标准平面 例 例 在工件上放一 标准平面玻璃 使其间形成一空气劈尖 并观察到 弯曲的干涉条纹 在工件上放一 标准平面玻璃 使其间形成一空气劈尖 并观察到 弯曲的干涉条纹 试 试 根据条纹弯曲方向 判断工 件表面上纹路是凹还是凸 根据条纹弯曲方向 判断工 件表面上纹路是凹还是凸 并求 并求 纹路深度纹路深度H 解 解 由于同一条纹下的空气薄膜 厚度相同 由图的纹路弯曲情况 知 由于同一条纹下的空气薄膜 厚度相同 由图的纹路弯曲情况 知 工件表面的纹路是凹下去的 工件表面的纹路是凹下去的 H 2 a H b 由图 由图 H a sin 因 因 b sin 2 纹路深度为 纹路深度为 3 检验工件表面的平整度 检验工件表面的平整度 48 i s e 2io sA B 1 1n 2 1 5n 3 3 42n 例 例 A B 处恰为 明纹中心 其间共 有 处恰为 明纹中心 其间共 有8条暗纹 条暗纹 解 解 两束反射光皆 经历半波损失 棱边 两束反射光皆 经历半波损失 棱边A处处e 00级明纹级明纹 8条暗纹分别为条暗纹分别为k 0 7 所以 所以B处明纹应为处明纹应为k 8 L2 1 0 2 12 02 k k k ne 暗纹 明纹 暗纹 明纹 82 2 B en即 即 2 2 8 n eB 4 用劈尖干涉法测膜厚 用劈尖干涉法测膜厚 9 49 另解 另解 由棱边由棱边A 到到B 处 相邻条纹高差 处 相邻条纹高差 2 2n 则 有 则 有N个明纹间隔个明纹间隔 i s e 2io sA B 1 1n 2 1 5n 3 3 42n 例 例 A B 处恰为 明纹中心 其间共 有 处恰为 明纹中心 其间共 有N条暗纹 条暗纹 4 用劈尖干涉法测膜厚 用劈尖干涉法测膜厚 2 2n Nl 2 2n NeB N 8 50 测量未知单色平行光的 波长或透镜的曲率半径 测量未知单色平行光的 波长或透镜的曲率半径 用读数显微镜测量第用读数显微镜测量第k 级和第级和第 k m级暗环半径级暗环半径rk rk m n kR rk 22 n kRRmk rr kmk 22 mR nrr kmk R r r2 n Rmk r mk m nrr R kmk 22 51 解 解 例 例 牛顿环实验测得第牛顿环实验测得第k级暗环的半径 级暗环的半径 k级往上数第级往上数第16 个暗环半径 平凸透 镜的曲率半径 个暗环半径 平凸透 镜的曲率半径R 2 50m 求入射光波长 求入射光波长 3 30 10 m k r 3 16 5 0 10 m k r 16 16 k rkR k rkR 22 16 16 kk rrR 2222 5 0103 010 162 50 7 4 0 10 m 该实验或用已知 波长测曲率半径 该实验或用已知 波长测曲率半径 52 例 例 用氦氖激光器发出的波长为用氦氖激光器发出的波长为633nm的单色光做牛顿 环实验 测得第个 的单色光做牛顿 环实验 测得第个k暗环的半径为暗环的半径为5 63mm 第 第k 5 暗 环的半径为 暗 环的半径为7 96mm 求平凸透镜的曲率半径 求平凸透镜的曲率半径R 解解 kRrk Rkrk 5 5 22 5 5 kk rrR m0 10 nm6335 mm63 5 mm96 7 5 2222 5 kk rr R 53 例 例 如图所示 牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有 一小缝隙 如图所示 牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有 一小缝隙e0 现用波长为 的单色光垂直照射 已知 平凸透镜的曲率半径为 现用波长为 的单色光垂直照射 已知 平凸透镜的曲率半径为R 求反射光形成的牛顿环的 各暗环半径 求反射光形成的牛顿环的 各暗环半径 解 解 设某暗环半径为设某暗环半径为r 由图可 知 根据几何关系 近似有 由图可 知 根据几何关系 近似有 Rre2 2 再根据干涉减弱条件再根据干涉减弱条件 0 e 空气 玻璃 空气 玻璃 1 12 2 1 2 1 22 0 kee 2 式中式中k 为大于零的整数 把式 为大于零的整数 把式 1 代入式代入式 2 可得可得 0 2ekRr k为整数 且为整数 且 2 0 ek 54 S L 1 n 2 n h 问 问 当油膜中 心最高点与玻璃片的上表 面相距 时 干涉条纹如何分布 可见明纹的条数及各明纹 处膜厚 当油膜中 心最高点与玻璃片的上表 面相距 时 干涉条纹如何分布 可见明纹的条数及各明纹 处膜厚 中心点的明暗程 度如何 中心点的明暗程 度如何 若油膜展开条纹 如何变化 若油膜展开条纹 如何变化 例 例 如图所示为测量油膜折射率的实验装置如图所示为测量油膜折射率的实验装置 在平 面玻璃片 在平 面玻璃片G上放一油滴 并展开成圆形油膜 在波长 的单色光垂直入射下 从反射光中可 观察到油膜所形成的干涉条纹 已知玻璃的折射率 上放一油滴 并展开成圆形油膜 在波长 的单色光垂直入射下 从反射光中可 观察到油膜所形成的干涉条纹 已知玻璃的折射率 50 1 1 n 20 1 2 n nm100 8 2 h nm600 油膜的折射率油膜的折射率 G 10 55 解解1 条纹为同心圆 条纹为同心圆 2 2n kdk L 2 1 0 k 油膜边缘油膜边缘0 0 0 dk明纹明纹 kdn k 2 2 反 明纹 反 明纹 hr R o d nm250 1 1 dk nm500 2 2 dk 56 r R o h d 222 dhRrR 2 2 dhRr 2 2 dh r R nm750 3 3 dk nm1000 4 4 dk 当 油滴展开时 条纹间距变 大 条纹数减少 当 油滴展开时 条纹间距变 大 条纹数减少 由于 故可观察到四条明纹 由于 故可观察到四条明纹 nm100 8 2 h 57 1 d sin 1 k d sin 2 k 1 12 sinsin d 10 6 10 6m 2 因第因第4级缺级 由缺级公式 级缺级 由缺级公式 d kk a 4 取 取k 1 因因a 最小最小 最小缝宽为 最小缝宽为 a d 4 1 5 10 6m 例 例 波长 波长 600nm 的单色平行光垂直照射光栅 发 现两相邻的主极大分别出现在 的单色平行光垂直照射光栅 发 现两相邻的主极大分别出现在sin 1 0 2 和和sin 2 0 3 处 第处 第4级缺级 级缺级 求 求 1 光栅常数 光栅常数 2 最小缝宽 最小缝宽 3 屏上实际呈现的全部级次和亮纹条数 屏上实际呈现的全部级次和亮纹条数 解 解 光栅常数为 光栅常数为 4 光栅衍射 光栅衍射 10分 分 58 由光栅方程 由光栅方程 d sin k 最大最大k对应对应 90 于是 于是kmax d 10 44 8 d kkk a 屏上实际呈现 屏上实际呈现 0 1 2 3 5 6 7 9 共共8 级 级 15 条亮纹条亮纹 10在无穷远处 看不见 在无穷远处 看不见 3 求求屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数 屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数 d 6 10 6m a 1 5 10 6m 缺级条件缺级条件 sin kd sin ka 所缺级次为 所缺级次为 59 例 例 用波长为 用波长为 590nm的钠黄光垂直照射在光栅上 该光栅在 的钠黄光垂直照射在光栅上 该光栅在1mm内刻有内刻有500条刻痕 在光栅的焦平面上放 一焦距为 条刻痕 在光栅的焦平面上放 一焦距为f 20 cm的凸透镜 的凸透镜 求 求 1 第一级与第三级 光谱线之间的距离 第一级与第三级 光谱线之间的距离 2 最多能看到第几级光谱 最多能看到第几级光谱 解 解 1 光栅常数为 光栅常数为 500 1 bamm102 3 kba sin Q L 2 1 0 k 由于 很小 由于 很小 f x tg sin 代入上式得 代入上式得 ba f kx 把不同的把不同的k 值代入 值代入 1 1 ba f xk ba f xk 3 3 3 ba f xxx 2 13 12 0m 60 2 kba sin Q ba k max3 3 1059 0 102 39 3 取整 即垂直入射时 最多能看到第三级光谱 取整 即垂直入射时 最多能看到第三级光谱 2 能看到的最大级次对应 能看到的最大级次对应 1sin 即 即 例 例 用波长为 用波长为 590nm的钠黄光垂直照射在光栅上 该光栅在 的钠黄光垂直照射在光栅上 该光栅在1mm内刻有内刻有500条刻痕 在光栅的焦平面上放 一焦距为 条刻痕 在光栅的焦平面上放 一焦距为f 20 cm的凸透镜 的凸透镜 求 求 1 第一级与第三级 光谱线之间的距离 第一级与第三级 光谱线之间的距离 2 最多能看到第几级光谱 最多能看到第几级光谱 11 61 例 例 1 440nm 2 660nm 同时垂直入射在一光栅 上 第二次重合于 同时垂直入射在一光栅 上 第二次重合于 60 0 方向 方向 求 求 光栅常数 光栅常数 解 解 111 sindk 222 sindk 1111 2222 sin2 sin3 kk kk 12 第二次重合第二次重合k1 6 k2 4 0 1 sin606d 1 2 36 24 k k 所以所以 L 3 3 05 10mmd 重合时 重合时 62 解 解 1 光栅常数 光栅常数 mba 63 102500 101 由光栅方程 由光栅方程 kba sin 第一级明纹 第一级明纹 k 1 25 0 102 10500 sin 6 9 1 ba 82140 1 第三级明纹 第三级明纹 k 3 75 0 102 1050033 sin 6 9 3 ba 53480 3 2 理论上能看到的最 高级谱线的极限 对应 衍射角 理论上能看到的最 高级谱线的极限 对应 衍射角 2 ba k max 即最多能看到第即最多能看到第3级明条 纹 考虑缺级 级明条 纹 考虑缺级 a b a a a a 2 第 第2级明纹不出现 从而 实际出现的只有 级明纹不出现 从而 实际出现的只有0 1 3 级 因而只能看到级 因而只能看到5条 明纹 条 明纹 例 例 用波长为用波长为500nm的单色光垂直照射到每毫米有的单色光垂直照射到每毫米有500条刻痕 的光栅上 条刻痕 的光栅上 求 求 1 第一级和第三级明纹的衍射角 第一级和第三级明纹的衍射角 2 若缝宽 与缝间距相等 由用此光栅最能看到几条明纹 若缝宽 与缝间距相等 由用此光栅最能看到几条明纹 4 10500 102 9 6 63 一衍射光栅 每厘米有一衍射光栅 每厘米有2000 条透光缝 每条透光缝 宽 条透光缝 每条透光缝 宽a 2 5 cm 在光栅后放一焦距为 在光栅后放一焦距为1m 的会 聚透镜 现以 的会 聚透镜 现以 600nm 的单色光垂直照射光栅 求 的单色光垂直照射光栅 求 1 透光缝 透光缝a 的单缝衍射中央明纹的宽度 的单缝衍射中央明纹的宽度 2 在上述宽度内光栅光谱线的条数 在上述宽度内光栅光谱线的条数 3 屏上实际出现的光栅光谱线的全部数目 屏上实际出现的光栅光谱线的全部数目 4 10 解 解 1 单缝中央明纹宽度 即为单缝衍射两个 一级极小之间的距离 单缝中央明纹宽度 即为单缝衍射两个 一级极小之间的距离 2xf a 48 cm 练习练习42 计算题计算题1 64 练习练习42 计算题计算题1 2 光栅常数 光栅常数 2 6 1 10 5 10 m 2000 ab sinabk sintan k xf 使用透镜 单缝一级极小处对应的光栅衍射明纹级数 使用透镜 单缝一级极小处对应的光栅衍射明纹级数 k ab x k f 2 只能出现只能出现0 1 共 共3条条 6 6 5 10 2 5 10 ab a 另解 也可以考察缺级条件 另解 也可以考察缺级条件 2 单缝一级极小处对应的光 栅衍射明纹级数为 单缝一级极小处对应的光 栅衍射明纹级数为2 故单缝中央明纹区只能出现故单缝中央明纹区只能出现0 级和 级和 1 级级3 条条 65 3 可能的最高级数出现在衍射角趋近 可能的最高级数出现在衍射角趋近90度方向上度方向上 sin m 90ab k o 即所有偶数级条纹缺级 故只可能看到 即所有偶数级条纹缺级 故只可能看到 0 1 3 5 7共共9条条 8 3 6 6 5 10 2 5 10 ab a 又由缺级条件 又由缺级条件 2 最高可为 最高可为 8 级 级 练习练习42 计算题计算题1 66 例 例 地面参照系地面参照系S 中 在中 在 x 1 0 106 m处 于处 于t 0 02s 时刻爆炸一颗炸弹 一沿时刻爆炸一颗炸弹 一沿 x 轴正方向以速率轴正方向以速率 u 0 75 c 运 动 运 动飞船上的观察者测得这颗炸弹爆炸的地点和时间 飞船上的观察者测得这颗炸弹爆炸的地点和时间 解 解 设飞船为设飞船为S 系 则可求出炸弹爆炸的 空间 时间坐标分别为 系 则可求出炸弹爆炸的 空间 时间坐标分别为 2 1cu utx x 2 86 75 01 02 010375 0101 s cu cxut t0265 0 1 2 2 若按伽利略变换 则 若按伽利略变换 则 mutxx 6 105 3 stt02 0 m 6 1029 5 5 相对论 相对论 9 分 分 12 67 解 解 1 u 0 6 c 5 4 第一个事件发生的时刻为 第一个事件发生的时刻为 sx c u tt 7 1 2 11 1025 1 2 第二事件发生的时刻为 第二事件发生的时刻为 sx c u tt 7 2 2 22 105 3 在 在S 系中测得这两个事件的时间间隔为 系中测得这两个事件的时间间隔为 2 1 1 cu 由洛仑兹坐标变换可得 由洛仑兹坐标变换可得 例 例 设设S 系以速率系以速率u 0 6c 相对于相对于S系沿系沿xx 轴运动 且在轴运动 且在 t t 0 时 时 x x 0 1 若在若在S 系中有一事件发生于系中有一事件发生于 t1 2 0 10 7s x1 50m 处 该事件在处 该事件在S 系中发生于系中发生于何时何时 2 如有另一事件发生于如有另一事件发生于S 系中 系中 t2 3 0 10 7s x2 10m处 在 处 在S 系中测得这两个事件的系中测得这两个事件的时间间隔时间间隔为多少 为多少 sttt 7 12 1025 2 68 例 例 地面观察者测得地面上甲 乙两地相距地面观察者测得地面上甲 乙两地相距8 0 106m 一列火车由甲到乙作匀速运动 历时 一列火车由甲到乙作匀速运动 历时2 0 秒 秒 求 求 在与列车同向对地运行且在与列车同向对地运行且u 0 6 c 的宇宙飞船中观测 该列车由甲到乙的路程 时间和速率 的宇宙飞船中观测 该列车由甲到乙的路程 时间和速率 解 解 100 8 6 12 mxxx sttt0 2 12 sm t x 100 4 6 m cu tux x 8 2 1040 4 1 s cu cxut t48 2 1 2 2 c s m t x 59 010774 1 8 x x y y u r z z ss o o 取地面参照系为取地面参照系为S系 飞船为系 飞船为S 系 飞船运动方向为 系 飞船运动方向为x轴正方向 轴正方向 69 例 例 在惯性系在惯性系S中 观察到两个事件中 观察到两个事件同时同时同时同时发生在发生在 x 轴上 间距是 轴上 间距是1 m 而在 而在S 系中观察这两事件之间的距离是系中观察这两事件之间的距离是2 m 试求 试求 S 系中这两事件的时间间隔 系中这两事件的时间间隔 解 解 22 1 xu t x uc 由洛仑兹变换由洛仑兹变换 22 1 x uc 2 22 1 u tx c t uc x x y y u r z z ss o o x c u 2 c 2 3 x c 3 0 t 1mx 2 mx u t 2 1xxcu s 9 1077 5 70 例 例 一固有长度为一固有长度为L0 90 m 的飞船 沿船长方向相 对地球以 的飞船 沿船长方向相 对地球以u 0 80 c 的速度在一观测站的上空飞过 该站测得的飞船长度及 的速度在一观测站的上空飞过 该站测得的飞船长度及船身通过观测站的时间间隔船身通过观测站的时间间隔 各是多少 船中宇航员测前述时间间隔又是多少 各是多少 船中宇航员测前述时间间隔又是多少 解 解 该观测站测得的飞船长度 该观测站测得的飞船长度 m54 s 1025 2 7 uLt 2 0 1cuLL uLt 0 s 1075 3 7 该过程对宇航员来说 是观测站以该过程对宇航员来说 是观测站以u 的速度通过的速度通过L0 通过观测站的时间 通过观测站的时间 71 s s 火箭参照系火箭参照系 地面参照系地面参照系 解 解 固有长度固有长度 m15 0 ll m15 0 l u v x x y y o o 例 例 设想有一光子火箭 相对于地球以速率 飞行 若以火箭为参考系测得火箭长度为 设想有一光子火箭 相对于地球以速率 飞行 若以火箭为参考系测得火箭长度为15 m 问 问 以地球为参考系 此火箭有多长 以地球为参考系 此火箭有多长 cu95 0 2 1 cull m68 4m95 0115 2 72 m2 2 yx ll m2 2 yy ll在在S 系系 v v x x y y o o x l y l 解 解 在系在系m1 l 45 o S m79 0 22 yx lll o 43 63arctan x y l l 例 例 一长为一长为1 m 的棒静止地放在平面内 在 系的观察者测得此棒与轴成角 的棒静止地放在平面内 在 系的观察者测得此棒与轴成角 问 问 从从 S 系的观察者来看 此系的观察者来看 此棒的长度棒的长度以及棒与以及棒与Ox轴的轴的夹角夹角 是多少 设系相对是多少 设系相对S 系的运动速度 系的运动速度 23cu o 45 yxO xO S S 23cu 4 2 1 22 lcull xx 13 73 例 例 观测者甲和乙分别静止在两个惯性参照系观测者甲和乙分别静止在两个惯性参照系K 和和K 中 中 甲测得在同一地点发生的两个事件间 隔为 甲测得在同一地点发生的两个事件间 隔为4s 而乙测得这两个事件的时间间隔为 而乙测得这两个事件的时间间隔为5s 求 求 K 相对于相对于K 的运动速度 的运动速度 解 解 因两个事件在因两个事件在K 系中同一地点发生系中同一地点发生 甲测量的是甲测量的是 固固固固 有有有有 时时时时 间 间 间 间 t 0 4s 乙测量的是乙测量的是相对论时间 相对论时间 相对论时间 相对论时间 t 5s 解得 解得 ctu 2 122 0 1 8 1 8 10 m s 22 0 1 cu t Q c 2 122 5 41 c 5 3 74 例 例 设想有一光子火箭以的速率相对 地球作直线运动 若火箭上宇航员的计时器记录 他观测星云用去 设想有一光子火箭以的速率相对 地球作直线运动 若火箭上宇航员的计时器记录 他观测星云用去10 min 则 则 地球上的观察者测 得此事用去多少时间 地球上的观察者测 得此事用去多少时间 cu95 0 min min 0132 9501 10 1 2 2 cu t