数学人教版九年级上册待定系数法求二次函数的解析式.docx

待定系数法求二次函数的解析式1.通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求二次函数解析式的方法.2.能灵活根据条件恰当地选择解析式,体会二次函数解析式之间的转化.3.能根据函数图象确定二次函数的表达式,并由此进一步体会数形结合的思想.1.通过引入待定系数法求一次函数解析式的过程,向学生渗透转化的思想,培养学生分析问题、解决问题的能力,提升数学思维意识.2.通过一题多解,培养学生的合作探究意识及发散思维能力.1.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.2.理论联系实际,让学生充分体验数学知识与生活实际的联系,从而激发学生热爱生活、热爱学习.【重点】用待定系数法求二次函数的解析式.【难点】灵活根据条件恰当地选择解析式及与一次函数的综合应用.【教师准备】导入一投影图片.【学生准备】预习教材P3940.导入一:有一个抛物线形的立交桥,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应取多长?过渡语你能解决这个实际问题吗?通过本节课的学习,我们就可以解决这个实际问题.导入二:复习回顾:(1)已知一个一次函数的图象与x轴交于点(3,0),与y轴交于点(0,6),求此一次函数的解析式.(2)用待定系数法求一次函数解析式的步骤是什么?(设出解析式;根据条件列出方程或方程组;解方程(组)得出未知系数)(3)二次函数的解析式有哪几种形式?(一般式:y=ax2+bx+c;顶点式:y=a(x-h)2+k;交点式:y=a(x-x1)(x-x2)设计意图让学生知道二次函数是刻画某些实际问题的模型,为下节课的学习做铺垫,同时以生活实例导入新课,激发学生学习本节课的兴趣.通过复习待定系数法求一次函数解析式,让学生用类比的方法从已有的知识体系中构建出新知识.过渡语函数解析式中有几个独立的系数,就需要相同个数的独立条件才能求出函数解析式,如:我们在确定正比例函数解析式时,需要一个独立的条件;确定一次函数解析式时,通常需要两个独立的条件.下面我们探讨,要确定二次函数解析式,需要几个条件?一、一般式求二次函数解析式如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式.思路一教师引导,共同探究(1)已知二次函数图象经过三点,有三个独立条件,所以可设二次函数的解析式为.(2)将三点坐标代入得方程组为.(3)解这个方程组得.所以所求的二次函数的解析式为.思路二类比待定系数法求一次函数解析式的方法,学生独立思考完成,然后小组讨论交流,共同归纳解题方法,学生板书解答过程,教师点评.解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得关于a,b,c的三元一次方程组a-b+c=10,a+b+c=4,4a+2b+c=7.解这个方程组,得a=2,b=-3,c=5.所求的二次函数的解析式是y=2x2-3x+5.设计意图通过对已知二次函数图象上三点坐标求函数解析式的探究,掌握待定系数法求函数解析式的方法,提高学生计算能力.二、顶点式求二次函数解析式已知二次函数图象的顶点为(2,-4),且与y轴交于点(0,3),求这个二次函数的解析式.思路教师引导:二次函数解析式的顶点式为,二次函数图象顶点为(2,-4)的二次函数的解析式可设为,点(0,3)在二次函数的图象上,所以点的坐标满足函数解析式,所以将点(0,3)代入得,解得,所以所求二次函数的解析式为.【师生活动】学生独立思考完成,教师适当点评.解:设所求二次函数的解析式为y=a(x-2)2-4.已知函数图象经过点(0,3),所以4a-4=3.解得a=74.所以所求二次函数的解析式为y=74(x-2)2-4,即y=74x2-7x+3.归纳:用顶点式求二次函数解析式的一般方法和步骤.三、交点式求二次函数解析式已知二次函数的图象与x轴交点的坐标为(-3,0),(1,0),且与y轴的交点为(0,-3),求这个二次函数的解析式.学生先思考,可能考虑代入一般式求函数解析式,教师引导交点式求函数解析式.教师引导:当二次函数图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)时,可设所求函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2),所以二次函数图象与x轴交点坐标为(-3,0),(1,0)时,可设函数解析式为,点(0,-3)在二次函数图象上,所以点的坐标满足函数解析式,所以将点(0,-3)代入得,解得,所以所求的二次函数的解析式为.解:设所求的二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1),由已知函数图象经过点(0,-3),所以-3a=-3,解得a=1.所以所求的二次函数的解析式为y=(x+3)(x-1),即y=x2+2x-3.设计意图通过教师引导,共同探究求二次函数解析式的方法,并归纳总结求二次函数解析式的一般步骤,培养学生归纳意识,提高分析问题、解决问题的能力.归纳:用交点式求二次函数解析式的一般方法和步骤.当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c的形式;当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k的形式;当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标及抛物线上另一点时,通常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2).四、例题讲解过渡语我们总结了用待定系数法求二次函数解析式的方法,那么尝试解决课前导入一的实际问题吧!【师生活动】学生独立完成后,小组交流讨论,教师巡视过程中,帮助有“困难”的学生,学生展示后教师进行点评.解:由题意,知抛物线的顶点坐标为(20,16),点B(40,0),可设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+16.点B(40,0)在抛物线上,0=a(40-20)2+16,a=-125,y=-125(x-20)2+16.竖铁柱的点为(15,0)或(25,0),当x=15时,y=-125(15-20)2+16=15;当x=25时,y=-125(25-20)2+16=15.铁柱应取15 m长.设计意图学生归纳方法后设计解决实际问题,让学生体会数学在实际生活中的应用,培养学生应用数学意识,拓宽学生的思维,提高学生解决问题的能力,同时整节课达到首尾呼应,整体完整.知识拓展1.求二次函数解析式的几种方法之间是相互联系的,而不是孤立的,不同的函数解析式的设法是根据不同的已知条件来确定的.2.在选用不同的设法时,应具体问题具体分析,特别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时,应灵活选用不同的方法来求解,以达到事半功倍的效果.1.二次函数解析式常用的三种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a0);(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a0);(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0).2.当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c的形式;当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k的形式;当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标及抛物线上另一点时,通常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2). 1.已知二次函数的图象过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是()A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3D.y=x2-3x+2解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(1,0),(2,0)和(0,2)分别代入得a+b+c=0,4a+2b+c=0,c=2,解得a=1,b=-3,c=2,所以该函数的解析式是y=x2-3x+2.故选D.2.过坐标原点,且顶点坐标是(1,-2)的抛物线的解析式为.解析:设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2,把(0,0)代入,得0=a-2,a=2,所求的抛物线的解析式为y=2(x-1)2-2,即y=2x2-4x.故填y=2x2-4x.3.已知二次函数的图象与x轴交于点(2,0),(-1,0),与y轴交于点(0,-1),那么这个二次函数的解析式是.解析:设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x+1),把(0,-1)代入得-1=-2a,a=12,所求二次函数的解析式为y=12(x-2)(x+1),即y=12x2-12x-1.故填y=12x2-12x-1.4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,那么这个二次函数的解析式是.解析:函数解析式为y=ax2+bx+c,因为其图象过A,B两点,所以把(0,-5),(5,0)代入,得-5=c,0=25a+5b+c,又对称轴直线x=-b2a=2,解得a=1,b=-4,c=-5,所以二次函数的解析式为y=x2-4x-5.故填y=x2-4x-5.5.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4),且经过点(-2,-5),求此二次函数的解析式.解:设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4,其图象经过点(-2,-5),a(-2-1)2+4=-5,a=-1,y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.第2课时一、一般式求二次函数解析式二、顶点式求二次函数解析式三、交点式求二次函数解析式四、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第42页习题22.1的10,11题.【选做题】教材第57页复习题22的6题.二、课后作业【基础巩固】1.二次函数y=ax2+k的图象经过点(1,-6)和(2,3),则此二次函数的解析式为()A.y=3x2-9B.y=3x2+9C.y=-3x2-9D.y=-3x2+92.若二次函数的图象的顶点坐标为(2,-1),且过点(0,3),则此二次函数的解析式是()A.y=-(x-2)2-1B.y=-12(x-2)2-1C.y=(x-2)2-1D.y=12(x-2)2-13.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点()A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)4.如图所示的是函数y=-(x-h)2+k的图象,则其解析式为.5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,它们的横坐标分别为-1和3,与y轴的交点C的纵坐标为3,那么这个二次函数的解析式是.6.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式:.7.已知二次函数的图象经过(0,0),(1,2),(-1,-4)三点,那么这个二次函数的解析式是.8.已知二次函数的图象关于直线x=3对称,最大值是0,与y轴的交点是(0,-1),则这个二次函数的解析式为.9.已知当x=1时,二次函数有最大值5,且图象过点(0,3),求此函数的解析式.10.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).(1)求a的值;(2)若点A(m,y1),B(n,y2)(mn3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.【能力提升】11.如图所示,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C,D是二次函数图象上的关于对称轴对称的点,一次函数的图象过点B,D.(1)求出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值时x的取值范围.12.如图所示,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0),请解答下列问题:(1