数学人教版九年级上册杨辉三角的奥秘及应用.doc

活动 智慧教案设计第一篇 数学之史数学王子高斯活动设计从数学家高斯的故事说-等差数列【活动目标】1.通过数学家高斯的生平事迹,初步了解数学发展史中的一些挫折.2.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路,会用等差数列前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.3.通过公式推导的过程教学,使学生掌握倒序求和法,并使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法.【活动准备】课前让学生图书馆或网上查阅高斯在数学上的成就和有关高斯的故事。【活动过程】一、问题情境请学生讲“小故事”：高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+3+4+100=？”过了两分钟，正大家在：1+2=3，3+3=6，4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+4+100=5050”老师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：“因为配套对求和1+100=1012+99=10150+51=101所以10150=5050”(1)这个个故事告诉我们：作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。(2)这个故事还告诉我们：求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法：“配对思想”。我们接着高斯的思想来求下列类似问题：这时我们发现运用“配对思想”求和9+12+15+17+2017=?时，还需要考虑和准确找出“中间数”1005，这不是一件容易的事！有没有更好的方法来解决问题呢？考虑到9+2016=2025，12+2013=2025，=将配对竖写9+12+15+2013+2016=S2016+2013+15+12+9=S竖直方向两个数的和均相等，而横直方向各数的总和相同，等号左边的数清楚，右边的数就可以求了，就是下面我们要介绍的“倒序相加”方法。二、活动与探究观察：1,2,3,4,5,6,7，8，9,10,11,12，n；这一列数，每相邻的两个数有什么特点？你会计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+n？学生通过认真观察和高斯数学的故事,马上可以发现我们马上可以算出：【知识凝炼】我们可以看到，这一列数，从第2开始，后面的每一个数与前一个数的差均为1，象这样的一列数，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。如果数列是等差数列，那么这个数列前n项的和为： 其中，n为正整数。三、知识应用1 如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？分析与解析 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数 第一层有点数：1；第二层有点数：16；第三层有点数：26；第四层有点数：36；第n层有点数：(n-1)6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1)6个n层共有点数为四、作业布置网上收集或图书馆查阅资料，回答下列问题：（1）高斯为什么有“数学王子”的美誉？（2）你认为高斯有哪些品质是值得学习的？【活动评述】通过本节课的学习,学生学到等差数列前n项和和公式同时,也掌握了“倒序求和”这一方法,对高斯也有了更深地了解,激发了学生的求知兴趣,在探索的过程中提高了学生的观察能力和合作能力,增强了学好数学的信心。杨辉三角的奥秘及应用活动设计活动目标：1掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法。2通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。3鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感。【活动重点】重点是掌握二项展开式中二项式系数性质，难点是探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。【活动难点】如何发现、证明规律。通过本节课的学习，学生可以深刻地感知知识的形成过程，对于规律性的结论可以做出判断，并上升到理性的思考。通过小组合作学习的方式，学生更加感受到在互助中学习，在竞争中学习的重要性，达到培养学生团结协作精神的目的。【活动过程】（一）创设情境播放视频：22岁数学奇才刘路成为国内最年轻的教授观看视频通过了解刘路的事迹，培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学奥秘的欲望，同时为本节课探究“杨辉三角”中蕴含的数字规律做铺垫，使学生有迫不及待试试身手的愿望。（二）活动一第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行第7行第8行1.数学家的故事请同学介绍数学家杨辉和“杨辉三角”2.思考 请同学们认真观察“杨辉三角”,你能发现它有哪些性质呢？（教师应充分引导学生从不同的角度观察，如整体看、局部看；横看、斜看。还可以计算每一横行或斜行中各数字的和，看结果是否有规律。）计算下列多项式的积,你能发现什么规律?展开式的系数恰好是杨辉三角的第n行.利用以上规律,你能写出的展开式吗？（三）活动二如右图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律?1,1,2,3,5,8,13,21,34,这就是著名的斐波那契数列.中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案。（四）练习反馈“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题图1是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系? 第二篇 数学之美几何就在你身边活动设计地面装修中的数学问题活动设计数学组 唐有辉【设计理念】实际情景动手操作合作探究数学结论创新设计实际发现问题认真观察抽象概括应用通过学生亲自动手操作和多媒体辅助教学，使学生亲身感受以下探究过程： 使学生充分感受到知识的产生和发展过程，促使学生积极思考，主动探究，勇于探索，并在获取知识的过程中形成良好的学习品质，发展学生的思维能力。【活动目标】1. 在实验与探究的学习活动中，使学生能判断出正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，用一种正多边形镶嵌有哪些，用两种正多边形有哪些，并能解释其中的道理。2. 培养学生动手操作、自主探索、合作学习的能力。3. 通过观察、实验、归纳、推断等学习活动，使学生体验数学活动充满着探索性和创造性，进而培养学生学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心。【活动准备】1. 课前让每小组准备多个形状、大小完全相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片和全等的一般三角形、四边形。2. 教师准备多媒体课件。【活动过程】问题情境幻灯片展示地板砖铺设的图片，引发思考:这些地砖是如何铺设的？用一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，在数学中叫做平面图形的镶嵌。引出课题：今天我们就来“自己动手拼地板-镶嵌”。活动一：用一种正多边形进行镶嵌问题1：小明想把自己的房间装饰的漂亮些，他决定买一种同样大小的正多边形地砖铺地，那么小明去市场买地砖有几种?分别是哪几种？（让学生拿出课前准备的正多边形纸片，分组进行拼图活动）根据实验结果填写以下表格：正多边形能否镶嵌一顶点周围正多边形的个数正三角形正四边形正五边形正六边形小明可选的地砖是 ；想一想，议一议：用边长相同的正十边形能否镶嵌？为什么？归纳总结：平面镶嵌的条件是 ；活动二：用正三角形、正五边形、正方形、正六边形中的两种进行镶嵌问题2：小明是一个很有个性的人，他想用正三角形、正五边形、正方形、正六边形中的两种多边形来铺地，请你帮忙设计一下，可以有哪些铺法？（让学生分组进行拼图活动） 根据实验结果填写以下表格：两种正多边形组合方式能否平面镶嵌一个顶点周围正多边形的情况小明可以选的两种地板砖是 ； 议一议：用正四边形和正八边形能进行镶嵌?如果能，请说出每个顶点处两种正多边形的个数?如果不能，请简单说明理由。活动三： 用形状大小相同的三角形、四边形进行镶嵌问题3：小明是一个很节约的人，他想用装修余下的一些形状不规则，但大小一样的三角形、四边形余料铺庭院里的地面，请大家帮忙想一想，可以吗？在这一次镶嵌探索中，你发现，用任意多边形进行镶嵌不仅要满足在同一个顶点处，各正多边形的内角 ，还要使相邻的多边形有 边。（让学生先猜一猜，再动手拼一拼，试一试。通过对一般三角形、四边形的镶嵌拼图，使学生对镶嵌的条件有了更深地认识。）思维拓展: 1. 另类镶嵌图片的欣赏（幻灯片放映）2. 让学生动手设计有关镶嵌的图案。小结：1.请同学们总结这一节我们所学的知识。2. 归纳总结平面镶嵌的条件。【活动评述】整个活动以“小明铺地砖”为主线，让学生通过“动手实验、填写表格、观察思考、得出结论、探究原理”这五个环节，很快了解怎样的一种正多边形以及两种或两种以上正多边形围绕一点能否铺满地板，进而得出平面镶嵌的条件，在活动的过程中既获得了知识，又体验了帮助同学的满足感！在整个活动过程中，教师要关注小组长活动任务的分工是否到位，同时注意活动结果能否做到充分的交流与分享；另外，在拼图时，教师应给以指导，如学生拼不出，则打出图片，让学生用所学知识解释。第三篇 数学之用双十一巧购物活动设计活动课题：双十一巧购物设计理念：.数学知识来源于现实生活，而又用于解决现实生活中的问题。随着改革开放的深入，经济的发展，商品经济活动已渗透到初会的方方面面。我们的学生生活在一个充满活力的商业社会，他们的衣食住行无不与消费相关，每到节假日，各商家使出浑身解数学，采取多种促销手段，有跳楼大甩卖的，有几折，有满额减的等等。在这众多的优惠活动中，往往使人无所适从，学生对这些问题都比较感兴趣，并且有自己独到的见解，而且，在数学学习中，学生也能够以他们的亲身经历解释课本中有关商品营销中的问题。我作为数学教师受到了很大的触动，促使我和我的学生一起上了这样一节综合实践活动课“双十一巧购物”。活动目标：在双十一活动期间，让学生深入到商场（包括实体店和网店）了解各种优惠方式，并结合所学数学知识，明白各种促销方式，学会运用数学知识来购物，从而使学生更深刻地体会到数学知识是有用的，有价值的。并且在整个活动中，指导学生收集有用的信息，整理信息，分析数据，和学生共同探讨解决与购物相关的问题，从而提高学生学习数学知识的兴趣。进一步体会数学来源于生活，服务于生活，培养学生学数学，用数学的思想。活动准备1.收集资料资料的收集以学习小组为单位，组长作好任务的分工与合作，资料收集包括两部分内容：第一，是与商品营销有关的数学词语、公式，例如，成本价，标价，售价，利润，利润率等的含义和相关公式；第二，利用周末，运用摄像、拍照等对商场的广告，标语等进行记录，也可采用口头交流等方式对消费者、营业员随访调查。2.整理素材组长组织组员对数字信息进行整理归类，并准备素材汇报调查结果。3.分析数据结合自己的实际购物或是收集到的实际营销问题，选择合适的购物方式。活动过程引入：在日常生活中买东西是必不可少的，但是东西怎么买也是有学问的。双十一到了，各商家使出浑身解数，采取多种促销手段招揽顾客，以求获得可观的利润，在这众多的优惠方式中，我们该如何做到明白消费、合理消费呢？今天，让我们就来一起走进“双十一”这个大卖场，去研究购物中的数学问题吧！活动展示一：与购物有关的数学概念、公式（1）数学概念：商品的进价、商品的标价、商品的售价、利润、利润率、折扣、盈利、亏损等。商品的进价（成本价）：商店购进商品时的价格。商品的标价：商店营销时标出的价格。商品的售价：商店销售商品时的成交价格。利润：商店在销售商品时所赚取的钱。利润率：商店在销售商品时所赚取的钱占商品进价的百分比。折扣：商店在销售商品时销售价占商品标价的百分比。（2）数学公式：利润售价成本价 售价标价折扣 盈亏总利润活动展示二：认识各种优惠方式议一议：你所了解的购物中都有哪些优惠方式？1.小组交流展示各种优惠方式；2.讨论以下各种优惠方式的含义：A商场：满100元送30元现金 B超市：全场七折让利 C百货大楼：全场五折起 D购物中心：一律降价25%注意比较：“满100元送30元礼券”和“满100元送30元现金”之间的异同。“满100元送30元现金”和“打七折”的区别。归纳总结：1.打折销售：有1件打几折的，有折上再打折的，还有1件几折2件几折的等。2.满额减的：3.直接让利销售：活动三 双十一购物问题（1）售价问题1.一件衣服标价为120元，打八折出售，则售价为 元。2.某商品的进价为200元，提价10出售，则售价为 元。3. 某商品的标价为1800元，降价20出售，则售价为 元。4.一台电视机原价为a元，降价5后为 元。5.某商品现在的售价为34元，比原来的售价降低了15，问原来的售价是多少元？利润问题1.某商品成本价为100元，售价120元，则利润是 元，利润率为 。2.某商品的进价为1000元，利润率为30，则利润为 元。3.一家具店今天卖出一书柜，进价为3000元，利润率为20，书柜的售价为 元，利润为 元。盈亏问题某商店在 “双十一”期间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25，另一件亏损25，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？决策问题1.小明想买一套定价为90.00元的曹文轩小说阅读与鉴赏，由于商家在“双十一”搞促销活动，小明决定在网上购买，他发现京东网上是打7折，而当当网上是7.5折，但是，小明是当当网的钻石VIP，他可以享受在7.5折的基础上再打9折，问小明在哪家网站买书优惠？第四篇 数学之思4.1活用三角形的三边关系4.2全等三角形的应用4.3三角形可分为两个等腰三角形的条件第五篇 数学之趣七桥问题和一笔画活动设计5.2文学中的数学游戏活动设计第一篇 数学之史计算工具的历史活动设计第二篇 数学之美折纸中的数学活动设计第三篇 数学之用手机选用哪种套餐活动设计第四篇 数学之思探究多面体的面数，棱数，顶点数之间的关系【学习目标】1.了解科学家欧拉及欧拉公式。2.学会探究多面体面数，棱数，顶点数关系。3.利用欧拉公式探究复杂多面体。【学习重点】学会欧拉公式的应用。【学习难点】探究复杂多面体。【学习过程】一、学生自己阅读欧拉简介二、活动探究一让学生看演示，然后填空。图（1）是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图（2）、（3）、（4）、（5）的木块图顶点数棱数面数（1）8126（2）（3）（4）（5）我们知道，图（1）的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图（2），（3），（4），（5）中木块的顶点数，棱数，面数填入下表：欧拉发现：正多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用F，E，V分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有F+V-E=2十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.三、活动探究二讨论探究下面问题填空。（老师提示）（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体44长方体86正八面体812正十二面体2030你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值_。四、欧拉公式的应用：有一种叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱请问它有_条棱，_个顶点，每个顶点处有_条棱发现：（1）简单几何中，V+F-E=2；（2）简单几何中，每条棱都是2个面的公共边；（3）在正方体中，每个顶点处有3条棱，每条棱都有2个顶点，所以有2E=3V勾股定理活动设计【活动目标】1.了解勾股定理的背景历史，了解毕达哥拉斯的贡献，2.了解勾股定理的更多证明。3.利用勾股定理解决实际问题。【活动重点与难点】重点是勾股定理的应用，难点是勾股定理的证明。【活动过程】一、 数学小故事演讲将图书馆查阅或是网上收集有关勾股定理的故事或是证明在小组内交流,然后找代表在班内讲述。二、拼一拼,剪一剪让学生剪纸片，拼图，利用面积得出一种勾股定理的证明方法。这就是传说的毕达哥拉斯的证明方法。有图可列等式化简得用同样的方法得出赵爽弦图和茄菲尔德的证法。图2三、学以致用例1 如图2，小刚准备测量一条河的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5米远的水底，竹竿高出水面0.5米，再把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐；请计算并推断河水的深度为几米？解：若假设竹竿长米，则水深（0.5）米，由题意得，x2+1.52=(x-0.5)2解之得，x=2.5所以水深2.50.5=2米M图3例2.小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图3位置摆放，A、B、D在同一直线上，EFAD，A=EDF=90，C=45，E=60，量得DE=8，试求BD的长解:过点F作FMAD于M，EDF=90，EFD=30，DE=8EF=16，DF=EFAD，FDM=30，FM=，MD=C=45，MFB=B=45FM=BM=，BD=DMBM=四 做一做国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线让学生到黑板上演示练习，老师巡视，可作简单提示，然后进行评讲。5 作业：如图，A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30方向，B城市的北偏西45方向上已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？奇妙的中点四边形活动设计延津县初级中学 唐有辉中点四边形是在学生已经学习了平行四边形、特殊的平行四边形的基础上进一步去探究的。活动目标：1、复习巩固特殊四边形和三角形中位线定理的相关知识。2、认识中点四边形，探究决定中点四边形形状的主要因素。活动方法：观察操作大胆猜想推理证明拓展延伸活动过程：由伸缩门的动态演示，引出课题中点四边形，然后出示学习目标。一、知识回顾：1、三角形中位线定理：几何语言：2、平行四边形、矩形、菱形、正方形在对角线方面具有哪些性质？3、矩形、菱形、正方形的判定方法？二、自主学习：探究一：请同学们画一画、看一看、猜一猜并证一证。已知：如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点；求证：四边形EFGH为形。中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。结论：任意四边形的中点四边形是探究二、其它各种四边形的中点四边形又是形状呢？先画一画，再观察并猜一猜，最后选其中一种加以证明。（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（让学生先画图并填写，然后口答，几何画板演示，最后分组证明。）三、能力提升：结合刚才的证明过程，小组讨论并回答：（1）、中点四边形的形状与原四边形的什么有着密切的关系？（2）、要使中点四边形是菱形，原四边形一定是矩形吗？（3）、要使中点四边形是矩形，原四边形一定是菱形吗？结论：（1）、中点四边形的形状与原四边形的有着密切关系。（2）、只原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱形。（3）、只原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形。（4）、要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是。（几何画板演示，验证猜想。）四、课堂小结：这一课你学到了什么？你还有困惑？五、检测反馈：1、四边形四边中点依次连接能得到的图形是矩形，则原四边形是（ ）A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、对角线垂直的四边形2、四边形ABCD中，AC=6，BD=8,且ACBD，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形A1B1C1D1又依次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2 ，依次类推，得到四边形AnBnCnDn。（1）四边形A1B1C1D1 是；四边形A2B2C2D2是；四边形A11B11C11D11是；（2）四边形AnBnCnDn 是；教学反思：近几年来，随着新课程的改革，教师的教育理念和教学方式都发生了很大的变化，课堂教学也从关注知识的传授转变为更加关注学生能力的发展，课堂成为一个生生互动、师生互动的场所，打造高效课堂更是每一名教师追求的终极目标；同时，我县积极倡导了“学案导学”这一模式，在实际工作中，发挥了其引领作用，让我们的课堂不再是老师的一言堂，而真正地成为学生的课堂，学生的自学能力、合作能力、创新能力等都有了长足的进步，但是在教学的实践中，我还是发现了许许多多的问题，比如：部分教师对这一模式学的比较僵硬，对不同内容、不同特点的课均采用这一模式，错误地认为只要是问题就得学生去探究，不需要讨论的问题也让学生讨论交流，从而不能把握住知识的重点与深度，不能真正的实现课堂的高效；再比如，有了学案，强调了学生在学习中的主体地位，让学生在交流展示中提升，大大提高了黒板的作用，而教师的教学艺术得以淡化，现代教育技术也没有了用武之地，甚至有的人就认为不需要这一节课，就是在这样的课改背景下设计的。本节课特点：第一，本节课的学习方式主要是采用学案导学的模式，让学生通过动手操作、自主学习、合作探究、交流展示、能力提升、反馈检测等环节达到掌握知识的目的，但又不拘泥于这种模式，比如，在学生画出各类四边形的中点四边形时，借助几何画板的强大功能将动态图形呈现给学生，有利于学生进行观察、总结、证明。第二，数学课往往给人以枯燥、抽象的印象，为了使学生课堂生动有趣，我充分利用多媒体技术，将知识生动化、形象化。第三，本节课的重点放在中点四边形性质的探究上，力求通过动手操作（画图）、观察猜想、证明，使学生的合情推理和演绎推理得以发展，探究知识的过程是从“一般”到“特殊”，再由从“特殊”到“一般”的认知过程，感悟分类、归纳、运动与变化的数学思想。在实际的授课中。骗人的平均数【活动目标】1.通过活动,使学生对平均数有了更深地了解,不再被平均数欺骗。2.通过本次活动,使学生进一步体会到数学来源于生活,生活中处处离不开数学，从而对数学产生更浓厚的兴趣。【活动过程】一、 数学小故事狐狸开了一家小工厂，工厂的管理人员由狐狸，他的弟弟及他的6个亲戚组成，工作人员由5个领工和10个工人组成现在需要一个新工人狐狸正和小熊谈招聘问题。狐狸说：“我们的报酬不错，平均每人的的薪金是每周300元，但学徒期间每周是75元，不过很快可以加工资。”小熊上了几天班后要求找厂长谈谈。小熊说：“你骗人，工人们说没有一个人的工资超过每周100元，每人平均工资怎么可能是一周300元呢？”狐狸奸笑着回答：“每人平均工资确实是300元，不信你自己算一算。”