教你如何做出最佳选择——简单线性规划求最优解.doc

教你如何做出最佳选择简单的线性规划求最优解在线性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”。目标函数取得最值时，变量的对应解称为最优解。若时，z 取得最值，称为最优整数解，简称整解。点的横、纵坐标都是整数，称为整点。求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1）给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大；（2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最小。因为研究的对象是人、物等个体，故往往是整数，较不是整数时求解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两种寻找最优整解的方法与大家探讨。这两种求解方法分别是：调整优值法(简称调值法)、枚举整点法(简称枚举法)。调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从中选取系数的绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值，代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用。 例1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 解析：设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数z张，则 目标函数 作出可行域如图所示，作出直线。作出一组平行直线（其中为参数）。 其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 和直线 的交点，直线方程为。 由于和都不是整数，而最优解中，必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解。 经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），且与原点距离最近的直线是。 经过的整点是B（3，9）和C(4，8)，它们是最优解。 故要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张。两种方法都最少要截两种钢板共12张。点评：在解线性规划问题时，常有一些实际问题需要变量取整数解时才有实际意义，而当可行域中的最优解不是整数解时，需作出可行域的整点作出判断。当直接观察比较困难时，应对可能的情况进行检验。线性规划整数解问题的一般处理方法是：若区域“顶点”处恰为整点，那么它的最优解在“顶点”处取得（在包括边界的情况下）；若区域的“顶点”不是整数点也不包括边界时，可以先算出目标函数的值，在可行域内适当放缩目标函数的值，使他为整数，且与最接近，在这条对应的直线，取可行域内的整点。如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。这种方法称为调整优值法。也可以通过画出网格，平移直线，运用图解法求得。例2(枚举法) 某人有楼房一栋，室内面积共180 ,拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15 ，可住旅客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元，如果他只能筹款8000元用于装修，且假设游客能住满客房，它隔出大房间和小房间各多少间会获得最大收益？最大收益是多少？解：设隔出大、小房间分别为间，间，收益为元， 则，其中满足如图所示，由图解法易得，过点时，目标函数取得最大值。但必须是整数，还需在可行区域内找出使目标函数取得最大值的整点。显然目标函数取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧，则利用枚举法即可求出整点最优值。这些整点有：(0, 12), (1, 10),(2, 9), (3, 8), (4, 6), (5, 5), (6, 3), (7,1 ), (8, 0)，分别代入。 逐一验证，当取整点(0, 12)或(3, 8)时，获得最大收益。所以获得最大收益有两种方案：I只隔出小房间12间。II隔出大房间3间，小房间8间，最大收益均为1800元。注：如果把装修考虑在内，则选择第一方案好。 枚举整点法的主要步骤是验算-筛选，而优值调整法更注重推理计算。它们的共同步骤是：1.建模(审题