数学人教版九年级上册正多边行和圆.doc

24.3正多边形和圆【教学目标】知识与技能1理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念.2理解并掌握正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并会进行正多边形的有关计算.3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形. 过程与方法1.在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中，体会化归思想在解决问题中的重要性. 2.经历动手、探索、画图，体会用工具画图的优势及培养学生的动手能力.3.通过解决实际问题培养学生会从实际问题中抽象出数学模型的抽象能力及用数学意识.情感、态度与价值观1.经历观察、发现、探究等数学活动，感受生活中的数学美，体会事物之间是相互联系、相互作用的.2.通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学活动中获得成功的体验，建立自信心.3.通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力.【重点难点】 重点： 理解正多边形与圆的有关概念及有关计算，会画正多边形.难点 探索正多边形和圆以及有关概念之间的关系的过程、尺规作图画正多边形.【教学准备】 教师准备：多媒体课件14 学生准备：预习课本P105-107【教学过程】教学导入导入一：（课件1展示） 日常生活中我们经常看到正多边形形状的物体，也可以得到许多美丽的正多边形图案.你还能举一些这样的例子吗？（导出新课） 导入二：复习提问：1.什么是正多边形？ 2.正多边形具有轴对称、中心对称的性质吗？ 3.什么叫圆内接正多边形？【设计意图】通过观察事物和图片，知道实际生活中会遇到正多边形问题，体会正多边形在生产生活中广泛应用，从而提高学习兴趣，引出课题.通过复习正多边形的概念及性质，为本节课的学习打下铺垫.二、新知构建过渡语你知道正多边形和圆有什么关系吗？通过今天的学习，我们将了解正多边形和圆的关系.共同探究1 把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形吗？思路一：思考：1.正三角形、正方形有内切圆和外接圆吗？有什么关系？ 教师引导：内心是三个角的平分线交点、外心是三条边的垂直平分线交点，正三角形和正方形的角平分线交点和边的垂直平分线的交点相同，所以内切圆和外接圆是同心圆. 2.正三角形顶点把圆等分成三部分，如何画圆的内接正三角形？正方形顶点把圆等分成四部分，如何画圆的内接正方形？ 师生活动：学生小组合作交流，展示成果，教师归纳把圆三等分，顺次连接各分点可得圆内接正三角形，把圆四等分，顺次连接各分点可得圆内接正方形. 3.如果把一个圆五等分，顺次连接各分点能否得到正五边形？若能，写出证明过程. 师生活动：学生独立思考完成，然后小组交流成果，并板书证明过程，教师巡视时帮助有困难的学生，对学生的展示进行点评.（板书）已知：如图所示，把O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. 求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形. 证明：=，AB=BC=CD=DE=EA，=3=， A=B.同理B=C=D=E.又五边形ABCDE的顶点都在O上， 五边形ABCDE是O的内接正五边形. 4.类比以上探究过程，你能得出什么结论？ 把一个圆分成相等的一些弧，可以作出这个圆的内接正多边形 ，这个圆就是这个正多边形的外接圆.思路二： 将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形是圆内接正五边形.请你证明这个结论. 教师引导：命题中的题设是 ；结论是 .画出图形写出已知条件和求证.已知：如图所示，把O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形. 教师引导分析：要证明五边形ABCDE是正五边形，根据正多边形定义可得需证 和 .在圆中由弧相等可得 相等；要证明圆周角相等，可以证明所对的 相等，由已知的等弧可得. 师生活动：学生独立完成证明过程后，小组互相交流答案，学生板书，教师在巡视过程中帮助有困难的学生，对学生的展示进行点评.（板书）同思路一.思考：1.如果把五分分点改成六等分点、七等分点.n等分点.，上述结论仍然成立吗？ 2.归纳正多边形和圆的关系. （把一个圆分成相等的一些弧，可以作出这个圆的内接正多边形 ，这个圆就是这个正多边形的外接圆.） 学生活动：学生小组合作交流，共同归纳结论.【设计思路】经历由特殊到一般的探究过程，得到正多边形和圆的关系，体会类比思想在数学中的应用，提高学生分析问题的能力和逻辑思维能力.共同探究2： 活动1：自主学习教材105页正多边形的有关概念. 师生活动：学生自学课本教材概念，小组内交流对概念的理解，教师展示课件，对学生的质疑给予帮助.（课件2展示） 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如图） 活动2：1.在纸上画出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的草图，和同桌交流它们的中心、中心角、半径、边心距分别是什么？ 2.分别求出所画正多边形的中心角和外角，完成下表：（课件3展示）正三角形正方形正五边形正六边形.正n边形中心角.外角. 3.通过上边的探究，你能得到哪些结论？师生活动：学生之间交流，归纳结论，教师点评、强化归纳的重要结论.结论：（1）正边形的中心角等于，外角等于，正多边形的中心角与外角相等. （2)正多边形的半径、边心距、边长的一半构成直角三角形. （3）正边形的半径和边心距，把正边形分为个直角三角形.【设计意图】通过自学概念，培养学生自主学习的能力，体会数学中由特殊到一般的数学思想方法，培养学生合作交流的能力及归纳总结能力.共同探究3例题讲解：（课件4展示） 如图有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）. 教师引导分析：欲求周长和面积，可先求什么？怎样作辅助线? 师生活动：学生思考计算，然后小组内交流结果，教师在巡视过程中帮助有困难的学生，学生展示后进行点评.解：如图，连接OB，OC.因为正六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此，亭子地基的周长=64=24（m).作OPBC，垂足为P.在RtOPC中，OC=4m，PC=2（m),利用勾股定理，可得边心距r=（m).亭子地基的面积S=2441.6（m2).拓展：已知正n边形的半径为R,用R填表：边长周长边心距面积正三角形正方形正六边形师生活动：学生独立完成后小组内交流答案，学生展示结果后教师点评，并强调方法、注意事项.【设计意图】该题是正多边形的有关计算，是本节课的重点，是数学知识在实际生活中的应用，让学生体会建模思想在实际问题中的重要作用，感受数学来源于生活，又应用到生活中去.拓展目的是让学生巩固本节课的知识，熟练掌握常用特殊多边形的有关计算，提高应用能力.共同探究4阅读课本107页.思考：如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？ 师生活动：小组合作交流，师生共同归纳画图方法. 方法1：用量角器等分圆周. 对于任意正边形，用量角器作一个等于的圆心角，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆周的n等分点，从而画出正多边形. 方法2：用尺规等分圆周. 对于特殊正多边形，正六边形和正方形等用尺规作法. （在此基础上，还可以进一步作出正三角形、正八边形、正十二边形） 做一做：在图中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形 【设计意图】通过自学归纳画圆内接正多边形的方法，培养学生自主学习的能力和归纳总结及动手操作能力.【知识拓展】 求圆内接正多边形的半径或边心距或边长，就是从正多边形的中心向一边做垂线，连接半径构造直角三角形，综合运用垂径定理和勾股定理解决问题.3、 课堂小结1.正多边形和圆的关系：任意正多边形都有它的外接圆.2.和正多边形有关的概念：中心、半径、中心角、弦心距.3.用等弧法作正多边形.4、 检测反馈1.如图所示，正六边形ABCDEF内接于O，则ADB的度数是（ ）A60 B45 C30 D225 解析：如图，连接OB，多边形ABCDEF是正多边形，AOB=60，ADB=AOB=60=30故选B2.正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A B2 C3D2解析：如图，正六边形的边心距为，OB=，AB=OA，OA2=AB2+OB2，OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2故选B 3. 如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则BAD= 解析：设O是正五边形的中心，连接OD、OB则DOB=360=144，BAD=DOB=72，故填724.等边ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积解析：根据等边三角形的性质求得其等边三角形的边心距，即是正方形的半径，再根据正方形的性质求得正方形的边长，进一步求出其面积 解：等边ABC的边长为a，点O为ABC的内心，OEAB，AE=BE=，EAO=30，OA=2OE，设OE=x，则OA=2x，由勾股定理可得（2x)2=x2+()2,解得x=a,OE=a，正方形的边长是=OE=a则正方形的面积是：a2五、板书设计24.3 正多边形和圆共同探究1 正多边形和圆的关系共同探究2 和正多边形有关的概念共同探究3 例题讲解共同探究4 作正多边形 六、布置作业（一）教材作业 必做题教材第108页习题24.3的1、2、3、4题.选做题教材第108页习题24.3的5、6、7、8题.（二）课后作业【基础巩固】1.如图，正六边形ABCDEF内接于O，则ADB的度数是()A60 B45 C30 D22.52.若一个正多边的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边行的边数（ ） A.4 B.6 C.8 D.103.一正多边形外角为90，则它的边心距与半径之比为()A12 B1 C1 D134.半径为R的圆内接正三角形的面积是（ ）A B C D5.已知正三角形的边长为，其内切圆半径为，外接圆半径为R，则：R等于（ ）A.12 B.12 C.12 D.16.已知正六边形的半径为4 cm，则这个正六边形的边心距为_ cm.7.正十二边形的每个中心角等于_，内角等于 _，外角等于_.8.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，B60，其中由两个正六边形组成的部分种花，则种花部分的图形周长为_.9.如图所示，已知O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积 【能力提升】10. 如图，ABC为O的内接三角形，AB=1，C=30则O的内接正方形的面积为（ ）A2 B4 C8 D16OBAC11.如图，PQR是O的内接正三角形，四边形ABCD是O的内接正方形，BC/QR，则AOQ的度数是_. 12.已知：如图，O的半径为R，正方形ABCD，ABCD分别是O的内接正方形和外切正方形求二者的边长比ABAB和面积比S内S外 【拓展探究】13.图(1)、图(2)、图(3)是分别由两个公共顶点A的正三角形、正四边形和正五边形组成的图形，且其中一个正多边形的顶点B在另一个正多边形的边BC上图(1)中，BCC=_.(直接写出答案)图(2)中，求BCC；（写出解答过程）图(3)中，BCC=_.(直接写出答案)当满足条件的图形为正n边形时(如图(4)，猜想：BCC=_(直接写出答案) (1) (2) (3) (4)【答案与解析】1.C解析：连接OB，多边形ABCDEF是正多边形，AOB=60，ADB=AOB=60=30故选B2.C解析：设多边形有n条边，由题意得：180（n-2）=3603，解得：n=8，故选C3.B解析：因为多边形的外角和是360度，正多边形的一个外角为90，所以正边形的边数是36090=4，即这个多边形是正方形，因而它的边心距与半径之比为1：故选B4. D解析：如图所示，过O作ODBC于D；此三角形是正三角形，BOC=120OB=OC，BOD=120=60，OBD=30；OB=R，OD=，勾股定理可得BD=，BC=2BD=2=，SBOC=BCOD=，SABC=3=故选D5.A解析：等边三角形的一边上的高的倍为它的内切圆的半径，等边三角形的一边上的高的倍为它的外接圆的半径，而高又为边长的倍，raR=12 故选A6.2解析：已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为4cm，连接OA，作OMAB，得到AOM=30，因而AM=OM=2，根据勾股定理可得OM=2cm正六边形的边心距是2cm故填27.30,150,30解析：正十二边形的中心角=外角=30，内角与外角互补可得内角=180-30=150.故填30,150,30.8.20m解析：如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，B=60，BMG是正三角形，BG=MG；又图中种花部分是由两个正六边形组成，GM=GF=EF，AF=GF=BG=2，正六边形的边长为2，又正六边形有一个公共边OE，所以可得两个六边形的周长为62+62-4=20，可得种花部分的图形周长为20m故答案为209. 解：过点O作OHAB于点H，连接OA，OB，AH=AB，O的周长等于6cm，O的半径为：3cm，AOB=360=60，OA=OB，OAB是等边三角形，AB=OA=3cm，AH=cm，OH=（cm），S正六边形ABCDEF=6SOAB=63=（cm2） 10. A解析：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则E=C=30，EAB=90；直径BE=2AB =，圆内接正方形的边长等于，O的内接正方形的面积为2故选A. 11.75解析：连接OD，AR，PQR是O的内接正三角形，PRQ=60，POQ=2PRQ=120，四边形ABCD是O的内接正方形，AOD为等腰直角三角形，AOD=90，BCRQ，ADBC，ADQR，ARQ=DAR，弧AQ=弧DR，PQR是等边三角形，PQ=PR，弧PQ=弧PR，弧AP=弧PD，AOP=AOD=45，所以AOQ=POQ-AOP=120-45=75故选D 解析：连接OA，作OMAD于点M，利用同圆的外切正方形和内接正方形的相关元素之间的关系即可求解 12.解：O的半径为R，OA=R，则OM=R，AB=2OA=2R，AB=2OM=R，AB：AB=R：2R=：2，S内：S外=（）2=（）2= 13. 解：（1）120；（2）延长BC到O，使OC=BB，可证ABBBOC，可得BCC=135；（3）144；（4）当BCC=180-.解析：（1）如图1，由等边三角形的性质，可以得出ABBACC，就可以得出B=ACC，就可以得出结论；（2）如图2，作CGBC交延长线于点G，就可以得出ABBBGC，就可以得出B=G，BB=GC，AB=BG，就可以得出GCC的值，就可以得出结论；（3）如图3，延长BC到G，使CG=BB，就可以得出ABBBGC，就可以得出B=G，BB=GC，AB=BG，就可以得出GCC的值，就可以得出结论；（4）如图4，延长BC到G，使CG=BB，就可以得出ABBBGC，就可以得出B=G，BB=GC，AB=BG，就可以得出GCC的值，就可以得出当正多边形的边数为n时BCC=180- 教学反思成功之处不足之处再教设计 本节课的主要内容是正多边形和圆的关系、正多边形的有关概念、正多边形的有关计算，以及正多边形的有关画法等，在学习正多边形的有关概念和画法时，采用了先自学、再交流、最后学生展示、教师点评的方法，培养了学生自主学习、与人交流的能力，给了学生更广的思考空间，课堂气氛活跃，大部分学生能参与课堂的思考中，体会成功的快乐.对于课本上正五边形的证明结合图形，明确证明思路，然后让学生明白这个结论对于任意的正多边形都成立，在该环节以层层深入的问题展开探究活动，让学生体会由特殊到一般的数学方法是解决数学问题的一种重要方法. 本节课的内容较多，尤其是为了突出去学生的主体作用，自主学习、合作交流的环节较多，造成为了完成教学任务，对知识点的探究时间较短，对于部分基础差的学生来说，只是背过了一些概念，运用解题时有些吃力，虽然针对这种情况，计了一些简单的适合他们的题，让他们从做题中得到一些成就感，但是受时间限制，没有很好的达到理解和掌握知识的目的.需要增加一课时进行训练巩固.本节课的重难点不易突破，在教设计时，分成两个课时完成，探究正多边形和圆的关系后，自主学习和正多边形的有关概念，再探究正多边形的有关计算，将正多边形的应用和画法设计为下一个课时，在课堂上给学生充足的时间思考和交流，数学的学习不是单纯的背概念，而是数学思维的一种体现，课堂上更突出的展示学生亲自经历知识的形成过程，通过数学课堂，达到提高分析问题、解决问题的能力，培养合作、探究精神.课后习题解答练习：教材第106页1.解：矩形、菱形都不是正多边形，只有正方形是正多边形.理由如下：因为正多边形不仅各边相等，而且各角也相等，所以正方形是正多边形.2.解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，例如矩形