九年级数学网格问题课件.ppt

网格问题 网格是学生从小就熟悉的图形 在网格中研究格点图形 具有很强的可操作性 这和新课程的理念相符合 因此它也成为近几年新课程中考的热点问题 格点图形问题常见的题型有 一 考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 二 在网格中运用勾股定理进行计算 三 分类讨论思想在格点问题中的运用 四 网格中图形变换的画图与描述 五 网格图形的操作方案设计问题 六 利用格点图形探究规律 一 考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 例1 如图 在平面直角坐标系中 点e的坐标 a 1 2 b 2 1 c 1 2 d 1 2 例2 如图 围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋 为记录棋谱方便 横线用数字表示 纵线用英文字母表示 这样 黑棋 的位置可记为 c 4 白棋 的位置可记为 e 3 则白棋 的位置应记为 a d 6 例3 已知 abc在直角坐标系中的位置如图所示 如果 a b c 与 abc关于y轴对称 那么点a的对应点a 的坐标为 a 4 2 b 4 2 c 4 2 d 4 2 解析 根据轴对称的性质 y轴垂直平分线段aa 因此点a与点a 的横坐标互为相反数 纵坐标相等 点a 4 2 因此a 4 2 选d 二 在网格中运用勾股定理进行计算 例4 如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图 小明沿图中所示的折线从a b c所走的路程为 m 结果保留根号 解析 推导两点间的距离公式是以勾股定理为基础的 网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形 可以看到 ab bc分别是直角边为1 2的两个直角三角形的斜边 容易计算ab bc 例5 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示 则sin 的值是 b c d a 解析 本题在网格中考查锐角的正弦的意义 首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长 一般情况下 为了减小计算量 把小正方形的边长设为1 选c 例6 如图5 小正方形边长为1 连接小正方形的三个顶点 可得 abc 则ac边上的高是 b c d a 例7 如图1 直角坐标系中 abc的顶点都在网格点上 其中a点坐标为 2 1 则 abc的面积为 平方单位 解析 如图2 在网格中构造不规则三角形的外接矩形 是计算不规则三角形面积常用的办法 容易计算 abc的面积为7平方单位 图1 图2 例8 如图1 将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形 然后 按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片 制成一副七巧板 用这副七巧板拼成图2的图案 则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的 图1图2 解析 题目中的图2是对思维的干扰 如果直接提问 图1中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几 问题就变得简单明了 在图1中可以体会到 小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三角形的面积之和 计算得小正方形的面积等于 因此小正方形的面积是大正方形面积的 选d 三 分类讨论思想在格点问题中的运用 例9 已知在正方形网格中 每个小方格都是边长为1的正方形 a b两点在小方格的顶点上 位置如图所示 点c也在小方格的顶点上 且以a b c为顶点的三角形面积为1 则点c的个数为 a 3个 b 4个 c 5个 d 6个 解析 怎样选取分类的标准 才能做到点c的个数不遗不漏 按照点c所在的直线分为两种情况 当点c与点a在同一条直线上时 ac边上的高为1 ac 2 符合条件的点c有4个 当点c与点b在同一条直线上时 bc边上的高为1 bc 2 符合条件的点c有2个 选d 例10 如图所示 a b是4 5网络中的格点 网格中的每个小正方形的边长为1 请在图中清晰标出使以a b c为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点c的位置 解析 心动不如行动 赶快拿起圆规 以a为圆心 ab长为半径画圆 圆弧经过格点c1 c2 以b为圆心 ab长为半径画圆 圆弧经过格点c3 例11 已知rt oab在直角坐标系中的位置如图所示 p 3 4 为ob的中点 点c为折线oab上的动点 线段pc把rt oab分割成两部分 问 点c在什么位置时 分割得到的三角形与rt oab相似 注 在图上画出所有符合要求的线段pc 并求出相应的点c的坐标 解析 按照公共锐角进行分类 可以分为两种情况 当 boa为公共锐角时 只存在 pco为直角的情况 当 b为公共锐角时 存在 pcb和 bpc为直角两种情况 如图 c1 3 0 c2 6 4 c3 6 四 网格中图形变换的画图与描述 例12 在5 5方格纸中将图1中的图形n平移后的位置如图2所示 那么下面平移中正确的是 a 先向下移动1格 再向左移动1格 b 先向下移动1格 再向左移动2格 c 先向下移动2格 再向左移动1格 d 先向下移动2格 再向左移动2格 解析 图形的平移归根到底是对应点的平移 图形在平移的过程中对应点的连线平行且相等 图1中的图形n平移到图2 就是点a平移到点a 先向下移动2格 再向左移动1格 选c 图1图2 例13 如图1 点o b的坐标分别为 0 0 3 0 将 oab绕o点逆时针方向旋转90 得到 oa b 画出 oa b 点a 的坐标为 求bb 的长 解析 如图2 点b 的位置很容易确定 如何简捷准确地确定点a 的位置 将oa为对角线的矩形绕o点逆时针方向旋转90 就可以确定点a 的位置 要用坐标描述点a 的位置 先要按点o b的坐标建立坐标系 按照全等形的对应边相等及数形结合思想 点a 的坐标为 2 4 bb 的长就是等腰直角三角形obb 的斜边长 bb 图1 图2 五 网格图形的操作方案设计问题 例14 如图 在网格中有两个全等的图形 阴影部分 用这两个图形拼成轴对称图形 试分别在图 1 2 中画出两种不同的拼法 解析 这是一道人性化的操作型开放题 只要理解了轴对称图形的意义 选取一条适当的直线作对称轴 就可以画出符合题意的图形 例15 如图 在方格纸 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形 中 我们称每个小正方形的顶点为格点 以格点为顶点的图形称为格点图形 如图中的 abc称为格点 abc 1 如果a d两点的坐标分别是 1 1 和 0 1 请你在方格纸中建立平面直角坐标系 并直接写出点b 点c的坐标 2 请根据你所学过的平移 旋转或轴对称等知识 说明图中 格点四边形图案 是如何通过 格点 abc图案 变换得到的 解析 第 2 小题又是一道百花争艳满园春的开放题 格点 abc图案 不论翻折还是旋转 都可以得到 格点四边形图案 条条道路通罗马 同学们在表述时 注意语言的简洁 准确 例如 把 格点 abc图案 向右平移10个单位长度 再向上平移5个单位长度 以点p 11 4 为旋转中心 按顺时针方向旋转180 即得到 格点四边形图案 例16 请阅读下列材料 问题 现有5个边长为1的正方形 排列形式如图1 请把它们分割后拼接成一个新的正方形 要求 画出分割线并在正方形网格图 图中每个小正方形的边长均为1 中用实线画出拼接成的新正方形 小东同学的做法是 设新正方形的边长为x x 0 依题意 割补前后图形的面积相等 有 解得 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长 于是 画出如图2所示的分割线 拼出如图3所示的新正方形 请你参考小东同学的做法 解决如下问题 现有10个边长为1的正方形 排列形式如图4 请把它们分割后拼接成一个新的正方形 要求 在图4中画出分割线 并在图5的正方形网格图 图中每个小正方形的边长均为1 中用实线画出拼接成的新正方形 解析 依葫芦画瓢 是同学们最朴素 最直接的学习方法 设 解得 等于三个小正方形组成的矩形对角线的长 于是 画出如图6所示的分割线 拼出如图7所示的新正方形 本题用方程的思想解决几何问题 又用到勾股定理 是体现新课程理念的 一道好题目 例17 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定距离 这样的图形变换为平移 如图1 将网格中的三条线段沿网格线的方向 水平或垂直 平移后组成一个首尾依次相接的三角形 至少需要移动 a 12格 b 11格 c 9格 d 8格 解析 我们可以通过勾股定理及其逆定理先判断三条线段围成的三角形是等腰直角三角形 再来确定平移的 原则 三条线段同时平移 向目标集中 则效率最快 如图1 点b与点c平移到点m 点a与点e平移到点p 三条线段共平移9格 围成 pmn 在这个过程中 线段ab cd的方向没有改变 线段ef的方向只改变了1次 这是一道很好的研究性学习的题目 可以在活动中激发学生的学习兴趣和探究精神 但不适宜作为中考题 图1 六 利用格点图形探究规律 例18 如图 在10 10的正方形网格纸中 线段ab cd的长均等于5 则图中到ab和cd所在直线的距离相等的网格点的个数有 a 2个 b 3个 c 4个 d 5个 解析 从题目的语气看 似乎要画直线ab与cd夹角的平分线 但是网格中没有画出直线ab与cd的夹角 图形的特殊性就在于ac bd 又已知ab cd 因此四边形abdc是等腰梯形 线段bd的垂直平分线就是这个等腰梯形的对称轴 如图 m n分别为bd ac的中点 直线mn上的点到直线ab cd的距离相等 恰好点m是格点 以mb为斜边的直角三角形的直角边长为3和1 这样 斜边在直线mn上 直角边为3和1的格点直角三角形有3个 符合题意的点有4个 选c 例19 在边长为l的正方形网格中 按下列方式