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1 3 1 2用二分法求方程的近似解 知识探究 一 二分法的概念 思考 从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障 这是一条10km长的线路 如何迅速查出故障所在 如图 设闸门和指挥部的所在处为点a b b 6 这样每查一次 就可以把待查的线路长度缩减一半 1 首先从中点c查 2 用随身带的话机向两端测试时 发现ac段正常 断定故障在bc段 3 再到bc段中点d 4 这次发现bd段正常 可见故障在cd段 5 再到cd中点e来看 思考 函数f x lnx 2x 6在区间 2 3 内有零点 如何找出这个零点 请看下面的表格 f 2 0 2 5 f 2 5 0 2 5 3 f 2 5 0 2 75 f 2 75 0 2 5 2 75 f 2 5 0 2 625 f 2 625 0 2 5 2 625 f 2 5 0 2 5625 f 2 5625 0 2 5 2 5625 f 2 5 0 2 53125 f 2 53125 0 表续 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断的把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 bisection 二分法的定义 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 2 求区间 a b 的中点x1 3 计算f x1 若f x1 0 则x1就是函数的零点 若f a f x1 0 则此时零点x0 a x1 若f x1 f b 0 则此时零点x0 x1 b 4 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复2 4 例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x 3x 7的近似解 精确度0 1 解 原方程即2x 3x 7 令f x 2x 3x 7 用计算器作出函数f x 2x 3x 7的对应值表和图象如下 函数未命名 gsp图象 因为f 1 f 2 0所以f x 2x 3x 7在 1 2 内有零点x0 取 1 2 的中点x1 1 5 f 1 5 0 33 因为f 1 f 1 5 0所以x0 1 1 5 取 1 1 5 的中点x2 1 25 f 1 25 0 87 因为f 1 25 f 1 5 0 所以x0 1 25 1 5 同理可得 x0 1 375 1 5 x0 1 375 1 4375 由于 1 375 1 4375 0 0625 0 1所以 原方程的近似解可取为1 4375 不行 因为不满足f a f b 0 练习 借助计算器或计算机 用二分法求方程0 8x 1 lnx在区间 0 1 内
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